高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提綱同濟(jì)大學(xué)下冊(cè)

1、高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提綱一、考試題型1 .填空題6題2 .計(jì)算題8題、知識(shí)點(diǎn)1.平面及其方程。例題：一平面過(guò)點(diǎn)(1-01)且平行于向量a=(21.1)和b=(110).試求這平面方程.解所求平面的法線向量可取為ijkn=aKb=211=i+j3k1-10所求平面的方程為(x-1)+(y-0)-3(z+1)=0即x+y-3z-4=0.2.空間直線及其方程例題：求過(guò)點(diǎn)(2p-3)且與直線jxy2一iro垂直的平面方、3x+5y-2z+1=0程解所求平面的法線向量n可取為已知直線的方向向量.即ijkn=(1,-2,4)x(3,5,-2)=1-24=-16i+14j+11k-35-2所平面的方程為-16(x-

2、2)14(y-0)11(z3)=0即16x-14y-11z-65=0例題：求過(guò)點(diǎn)(3.1-2)且通過(guò)直線二=3=?的平面方程.521解所求平面的法線向量與直線1=3=母的方向向量521Si=(5.2.1)垂直,因?yàn)辄c(diǎn)(3.1.-2)和(4.-3.0)都在所求的平面-所以所求平面的法線向量與向量S2=(4.-3.0)-(3.1.-2)=(1.-4.2)也是垂直的.因此所求平面的法線向量可取為ijkn=s1Ms2=521=8i9j22k1-42所求平面的方程為8(x-3)-9(y-1)-22(z2)=0即8x-9y-22z-59=03 .旋轉(zhuǎn)曲面。例題：將zOx坐標(biāo)面上的拋物線z2=5x繞x軸旋轉(zhuǎn)

3、一周.求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程解將方程中的z換成可產(chǎn)？得旋轉(zhuǎn)曲面的方程y2z2=5x例題：將zOx坐標(biāo)面上的圓x2+z2=9繞z軸旋轉(zhuǎn)一周.求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程解將方程中的x換成土瓜可得旋轉(zhuǎn)曲面的方程x2y2z2=94 .多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，隱函數(shù)求導(dǎo)。y例題：求函數(shù)z=e的全微分dz =zZzdxdy二一-x ：yy12exdx eyxdyx2x例題：設(shè)z=u2ln v.而u = X yv=3x-2y.求 N .冬 x 二y例題:；z _ ；z ；u ；z v:x ：u :x v ;x= 2uln v 1 u- 3 y vz z u z vL,L,LjL,. y 二 u y v ：y=2x

4、y2ln(3x-2y)= 2ulnv(-jx2) u(-2)=y v2x2y3(3x-2y)y2ln(3x-2y)-(3x-2y)y2設(shè)z=ex/y.而 x=sin t3.求普dz :z dx :z dy dt :x dt :y dtycost exy (-2) 3t2=ex，y(cost-6t2)=esint23(cost-6t2).例題：設(shè)siny+ex-xy2=0.求dy.dx解令F(x,y)=siny+exxy：則Fx=exy2.Fy=cosy-2xy-dy_Fx_e2-y2_y2-exdxFycosy-2xycosy-2xy例題：設(shè)InJx2+y2=arctany.求dy.x yx2

5、 y2令F(x,y)=lnJx2+y2-arctan則xF=12x1(xx2y22、x2y21(町：xY)21一y-x2xx2y2dy=Fx_xydxFyx-y5.重積分(直角坐標(biāo)，極坐標(biāo))例題：口(x2+y2)d。.其中D(x.y)|x|Ml.|y|Ml；D解積分區(qū)域可表示為D：-1x1.-1y1,于是11(x2y2)d二D11co1c二dx(x2y2)dy=Jx2y3y31idx例題：JJxcos(x+y)d。.其中D是頂點(diǎn)分別為(0.0).(n,0).和(弘笈)的三D角形閉區(qū)域解積分區(qū)域可表示為D：0xn.0Wy=x,于是.：,x二JJxcos(x+y)d。=0xdx0cos(x+y)d

6、y=xsin(x+y)xdxD冗=1x(sin2x-sinx)dx=一rxd(-2cos2x-cosx),113_.=-x(2cos2x-cosx)|0+(-cos2x-cosx)dx=例題：利用極坐標(biāo)計(jì)算下列各題(1)HexF2d。，其中D是由圓周x2+y所圍成的閉區(qū)域；解在極坐標(biāo)下A(P.即0e2.0P2.所以ex2y2d。=e：2:ddDD2二2-2=0d叫e仔PdP=2n11(e4-1)=n(e4-1).(3)Ifarctan-da.其中D是由圓周x2+y24x2+y2=1及直線y=0.y=x所圍成Dx的第一象限內(nèi)的閉區(qū)域.,y, 11 arctand r x D解在極坐標(biāo)下D=(P,

7、|0wew：,1wPw2.所以=arctan(tan)DdPd?-二PdPd?二 2= 4d-W二20-3=4毋廿=301645.求曲頂柱體體積。例題：求由曲面z=x2+2y2及z=6-2x2-y2所圍成的立體的體解由好=x2+22消去z.得x2+2y2=6-2x2-y2.即x2+y2=2.z=6-2x-y故立體在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)閤2+y22.因?yàn)榉e分區(qū)域關(guān)于x及y軸均對(duì)稱.并且被積函數(shù)關(guān)于x.y都是偶函數(shù).所以V=(6-2x2-y2)-(x22y2)d；-(6-3x2-3y2)d。DD=12- 2dx；2 (2x2_y2)dy =8/J(2x2)3dx=6r .例題：計(jì)算以xOy平面上

8、圓域x2+y2=ax圍成的閉區(qū)域?yàn)榈?而以曲面z=x2+y2為頂?shù)那斨w的體積解曲頂柱體在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈(x-y)|x2y2ax在極坐標(biāo)下D=(：；)|0|-,0Pg12n31sinnlim2-n,二_2n71而級(jí)數(shù)312n=i2n收斂故所給級(jí)數(shù)收斂，3233+2223233n解級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為un3nn2n因?yàn)閘imun=limn；unn一；二3n1n2n所以級(jí)數(shù)發(fā)散n2n=13n解因?yàn)?n1)2n13n3nlim-n2n1limun=limn.二Unn.二(n1)23n3n1n2lim1(nn,3n1)2413所以級(jí)數(shù)收斂oOz2nn!n=1nn解因?yàn)閘im照二lim仆用手n:=

9、unn二(n1)n12nn!2lim(d;)n=21nn1e所以級(jí)數(shù)收斂QO,ntan行.n=12因?yàn)閘imn ，二un 1 ;un(n 1)tan-lim2JIntan2n1limn，二兀n 1 2n 2n 二2門(mén)1所以級(jí)數(shù)收斂例題：判定下列級(jí)數(shù)是否收斂？如果是收斂的.是絕對(duì)收斂還是條件收斂?TH解這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)1-1)n,Un=1-1)n -1 1,n其中Un= 1、n因?yàn)轱@然Un之Un+并且limun=0.所以此級(jí)數(shù)是收斂的.n二又因?yàn)閨(-優(yōu)|=1；是p1的p級(jí)數(shù)，是發(fā)散的，nWnwT-n所以原級(jí)數(shù)是條件收斂的I)#n13解IL)#1c於n13n斗3因?yàn)橄肫酵?.所以級(jí)數(shù)三上是收斂的

10、.3M從而原級(jí)數(shù)收斂.并且絕對(duì)收斂7 .哥級(jí)數(shù)例題：求下列哥級(jí)數(shù)的收斂域：22(1)n Xnn2a一 ”lim |1A 卜 limn an n一.二1(n 1)21n2: lim n22-1n，二(n 1)2故收斂半徑為R=1因?yàn)楫?dāng)x=1時(shí).哥級(jí)數(shù)成為1h)nh是收斂的；當(dāng)x=-1時(shí).哥級(jí)數(shù)成為n=1n2 也是收斂的.所以收斂域?yàn)?1 100、(. 1)nn =12n 1 X2n 1解這里級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為4=(一。n X2n 12n 1Un1X2n32n112因?yàn)閚im|丁|1里|京3尹|2.由比值審斂法.當(dāng)X21.即|X|1.即|X|)1時(shí).事級(jí)數(shù)發(fā)散.故收斂半徑為R1因?yàn)楫?dāng)x=1時(shí).哥級(jí)數(shù)成

11、為工（一1）”白7.是收斂的；當(dāng)n=12n1x=-1時(shí).哥級(jí)數(shù)成為:1）-1/！也是收斂的.所以收斂域?yàn)?1.1.8 .函數(shù)展開(kāi)成事級(jí)數(shù)例題：將下列函數(shù)展開(kāi)成x的哥級(jí)數(shù).并求展開(kāi)式成立的區(qū)間(1)sin2x解因?yàn)榧?一2。0必.二2ncosx=x(-1)nx(-二二)n護(hù)(2n)!x)2n：:c2n2n所以山十2n尸產(chǎn)品，（一爐工X（-：1）例題：將函數(shù)f(x)=cosX展開(kāi)成(x+M)的曷級(jí)數(shù).3解cosx=cos(x-)-3=cos(x)cossin(x)sin=1c0s僅3)223sin(x-)/ 一： 2n 1(x 3)一1；二生（x二產(chǎn).旦二（一優(yōu)2n=o（2n）!32n=o（2n1）!=1(一暝U(x32nA(xf2n1(-x：二)2n(2n)!3(2n1)!3例題：將函數(shù)f(x)J展開(kāi)成(x-3)的曷級(jí)數(shù).x解1=qJJ=1”(_1尸(冷(_1-1)x3x-331Kz33n=0333即1=10(-1)n(x3)n(0x6)，x3n=03例題:解而即將函數(shù)f(x)=21。展開(kāi)成(x+4)的哥級(jí)數(shù)x23x2111f(X)2x23x2x1x21_1x1-3(x4)