三角形全等的證明

1、三角形全等的判定三角形全等的判定一、邊角邊一、邊角邊 （SAS）二、角邊角二、角邊角 (ASA)三、角角邊三、角角邊 (AAS)四、邊邊邊四、邊邊邊 (SSS)五、綜合練習(xí)五、綜合練習(xí)制作人：王一豹互相重合的頂點(diǎn)叫做 。互相重合的角叫做 ?；ハ嘀睾系倪吔凶?。其中2. 叫做全等三角形。 1.能夠重合的兩個(gè)圖形叫做 。全等形全等形4.全等三角形的 和 相等對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)復(fù)習(xí)提問復(fù)習(xí)提問 能夠重合的兩個(gè)三角形3.“全等”用符號(hào)“ ”來表示，讀作“ ”對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)角5.書寫全等式時(shí)要求把對(duì)應(yīng)字母放在對(duì)應(yīng) 的位置上全等于全等于全等三角形的判定（一）全等三角形的判定（

2、一）SAS（邊角邊定理（邊角邊定理)畫畫ABC,使使AB=3cm，AC=4cm。畫法：畫法：2. 在射線在射線AM上截取上截取AB= 3cm3. 在射線在射線AN上截取上截取AC=4cm 這樣畫出來的三角形與同桌所畫的三角形進(jìn)行比這樣畫出來的三角形與同桌所畫的三角形進(jìn)行比較，它們互相重合嗎？較，它們互相重合嗎？若再加一個(gè)條件，使若再加一個(gè)條件，使A=45，畫出，畫出ABC1. 畫畫MAN= 454.連接連接BC則則ABC就是所求的三角形就是所求的三角形把你們所畫的三角形剪下來與同桌所畫的三角形進(jìn)行把你們所畫的三角形剪下來與同桌所畫的三角形進(jìn)行比較，它們能互相重合嗎？比較，它們能互相重合嗎？再任

3、意畫一個(gè)再任意畫一個(gè)ABC和和DEF，使，使AB=DE , AC=DF , A=D , 把畫好的把畫好的ABC和和DEF比比較，它們?nèi)葐幔枯^，它們?nèi)葐?？ABCDEFABC DEF由前邊的作圖比較過程，我們可以得出什么結(jié)論？由前邊的作圖比較過程，我們可以得出什么結(jié)論？用符號(hào)語言表達(dá)為：用符號(hào)語言表達(dá)為：在在ABC與與DEF中中AB=DEA=DAC=DFABC DEF（SAS）ABCDEF 兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。等。簡(jiǎn)寫成簡(jiǎn)寫成“邊角邊邊角邊”或或圖 1已知：如圖1，AC=AD，CAB=DAB求證：ACBADBAC=AD（已知）CAB=

4、DAB（已知）AB=AB（公共邊）ACBADB（SAS） 例1證明：在ACB和ADB中例例 題題 講講 解解A B C D 圖2已知：如圖2，ADBC，AD=CB求證：ADC CBA分析分析：觀察圖形，結(jié)合已知條件，知，AD=CB，AC=CA，但沒有給出兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角（1，2）相等。所以，應(yīng)設(shè)法先證明1=2，才能使全等條件充足。AD=CB（已知）1=2（已知）AC=CA （公共邊）ADC CBA（SAS）例2證明：ADBC 1=2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） 在DAC和BCA中DC1AB2BB2DC1A動(dòng)動(dòng) 態(tài)態(tài) 演演 示示圖3已知：如圖3 ，ADBC，AD=CB，AE=CF求證：AFD CE

5、B 證明：ADBC（已知） A=C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） 又 AE=CF AE+EF=CF+EF（等式性質(zhì)） 即AF=CE 在AFD 和CEB 中AD=CB（已知）A=C（已證）AF=CE（已證）AFD CEB（SAS）若求證D=B ，如何證明？分析分析：本題已知中的前兩個(gè)條件，與例2相同，但是沒有另一組夾邊對(duì)應(yīng)相等的條件，不難發(fā)現(xiàn)圖3是由圖2平移而得。利用AE=CF，可得：AF=CE變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1問問：ADBEFCB2DC1A動(dòng)動(dòng) 態(tài)態(tài) 演演 示示練習(xí)練習(xí)：已知：如圖4，點(diǎn)A、B、C、D在同一條直線上，AC=DB，AE=DF，EAAD，BCAC，垂足分別為A、D圖4求證：（1）EAB

6、 FDC、（2）DF= AEBECDFA解解 題題 小小 結(jié)：結(jié)：解題思路解題思路1、根據(jù)“邊角邊（SAS）”條件，可證明兩個(gè)三角形全等；2、再由“全等”作為過渡的條件，得到對(duì)應(yīng)邊等或?qū)?yīng)角等； A D B E C 12圖5變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2 已知：如圖5：AB=AC，AD=AE，1=2 求證：ABD ACE證明：1=2（已知） 1+BAE = 2+BAE（等式性質(zhì)） 即 CAE= BAD在CAE和BAD 中 AC=AB（已知）CAE=BAD（已證）AE=AD ABD ACE（SAS）分析分析：兩組對(duì)應(yīng)夾邊已知，缺少對(duì)應(yīng)夾角相等的條件。 由BAE 是兩個(gè)三角形的公共部分，可得：CAE=BAD。

7、變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2：拓拓 展展（1）求證：E=D（2）若ACE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使1=900時(shí)，直線EC，BD的位置關(guān)系如何？給出證明。當(dāng)EAD 為平角時(shí)呢？圖5DBAECMF已知：如圖5：AB=AC，AD=AE，1=2 A D B E C 12解解 題題 小小 結(jié)：結(jié)：解題思路解題思路1、根據(jù)“邊角邊（SAS）”條件，可證明兩個(gè)三角形全等；2、再由“全等”作為過渡的條件，得到對(duì)應(yīng)邊等或?qū)?yīng)角等；3、由“邊”等，再根據(jù)等式性質(zhì)得到其它線段相等；由“角”等，再證明兩直線平行、兩直線垂直或延伸的外角和等變換。1在證明三角形全等時(shí)，要善于觀察圖形，運(yùn)用已學(xué)知識(shí)挖出隱含條件。 總結(jié)概括，知識(shí)拓寬總結(jié)概

8、括，知識(shí)拓寬 2明確全等三角形“邊角邊”公理的運(yùn)用方法。 全等三角形的判定（二）全等三角形的判定（二）ASA（角邊角定理）（角邊角定理）創(chuàng)設(shè)情景,實(shí)例引入一張教學(xué)用的三角形硬紙板不小心一張教學(xué)用的三角形硬紙板不小心被撕壞了，如圖，你能制作一張與原來被撕壞了，如圖，你能制作一張與原來同樣大小的新教具？能恢復(fù)原來三角形同樣大小的新教具？能恢復(fù)原來三角形的原貌嗎？的原貌嗎？怎么辦？可以幫幫我嗎？CBEAD 先任意畫出一個(gè)ABC，再畫一個(gè)A/B/C/，使A/B/=AB， A/ =A， B/ =B 。把畫好的A/B/C/剪下，放到ABC上，它們?nèi)葐?？探?:已知：任意 ABC，畫一個(gè) A/B/C/，使

9、A/B/AB， A/ =A， B/ =B ：畫法：2、在 A/B/的同旁畫DA/ B/ =A ， EB/A/ =B， A/ D，B/E交于點(diǎn)C/。1、畫A/B/AB； A/B/C/就是所要畫的三角形。問：通過實(shí)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)什么事實(shí)？引入新課： 作圖：已知：ABC，(讓同學(xué)們自己畫）再畫一個(gè)三角形A/B/C/,使B/C/=BC, B/= B, C/= C.1、畫線段A/B/=AB2、在A/B/的同旁，分別以A/、B/為頂點(diǎn)畫D A/B/=A, E B/A/=B , A/D 、B/E交于點(diǎn)C/,得 A/B/C/現(xiàn)在同學(xué)們把我們所畫的兩個(gè)三角形重合在一起，你發(fā)現(xiàn)了什么？完全重合角邊角公理：有兩角和它們

10、的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫為“ASA”)講解新課：例1、已知：如圖，DAB=CAB，C=D求證：AC=AD證明： DAB=CAB，C=DABD=ACD (三角形內(nèi)角和定理）在ACB和ADB中 DAB=CAB AB=AB （共用邊） ABD=ACD ACBADB （ASA)AC=AD講解新課: 例2、已知：點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，BE和CD交于O點(diǎn)，AB=AC，B=C. 求證：BD=CE證明：在ABE和ACD中 A= A AB=AC B=C ABE ACD （ASA)AD=AE AB=AC BD=CE講解新課如圖，要證明如圖，要證明ACE BDF,根據(jù)給定的條件根據(jù)給定的條件和指明

11、的依據(jù)，將應(yīng)當(dāng)添設(shè)的條件填在橫線上。和指明的依據(jù)，將應(yīng)當(dāng)添設(shè)的條件填在橫線上。（1）ACBD，CE=DF， (SAS) ( 2) AC=BD， ACBD (ASA) ( 3) CE=DF， (ASA) ( 4) C= D， (ASA)C BAEFDAC=BDA=B C=DAC=BDA=BAEC=BFD課堂練習(xí)課堂練習(xí)1、如右圖：已知，ABE=CBD, BCE=DBA,EC=AD求證：AB=BE,BC=DB2、如右圖：已知，AD, EF,BC交于O，且AO=OD，BO=OC，EO=OF求證：AEB DFC變式練習(xí)：全等三角形的判定（三）全等三角形的判定（三）AAS（角角邊定理）（角角邊定理）定理

12、的引入:如圖在ABC和DEF中，A=D， B=E ，BC=EF，ABC與DEF全等嗎？ABCDEF證明：證明：A+B+C=180 D+E+F=180又又A=D B=E C=F C=FBC=EFB=EABCABCDEF (ASA)DEF (ASA)ABCDEF如圖所示，如圖所示，ABC DEF,那么那么角角邊定理得證。角角邊定理得證。三角形的判定定理三三角形的判定定理三 在兩個(gè)三角形中，在兩個(gè)三角形中，如果有二個(gè)角和任意一如果有二個(gè)角和任意一條邊相等，那么這兩個(gè)條邊相等，那么這兩個(gè)三角形全等。三角形全等。A=DB=EBC=EFABC DEF (AAS)例題講解：例題講解：例例1.已知：點(diǎn)已知：點(diǎn)

13、D在在AB上，點(diǎn)上，點(diǎn)E在在AC上，上，BE和和CD相交于相交于 點(diǎn)點(diǎn)O，AD=AE，B=C。 求證：求證：BD=CE 證明證明 ：在：在ADC和和AEB中中A=A（公共角）（公共角）AD=AE（已知）（已知）C=B（已知）（已知）ACD ABE（AAS） AB=AC （全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）又又 AD=AE （ 已知）已知） BD=CEDBEAOC鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)如圖，如圖，1=2，D=C 求證：求證：AC=AD證明：在證明：在_和和_中中_ （ ）_ （ ） _ （公共邊）（公共邊） _ _（ ） _（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） CADB12A

14、BDABC1=2 D=CAB=ABABDABCAC=AD 已知已知 已知已知AAS全等三角形的判定（四）SSS（邊邊邊定理）定理的引入:ABCD已知：AC=DE AB=DF BC=FE求證：ABC DFEE思考F定理的引入:ABCD已知：AC=DC AB=DB 求證：ABC DBC證明：連接AD， AC=DC CAD= CDA同理， BAD= BDA BAC= BDC AC=DC A= D AB=DB ABC DBC（SAS）ACDB如圖所示， ABC DBC ，那么邊邊邊定理得證。 在兩個(gè)三角形中，在兩個(gè)三角形中，如果有三條邊相等，如果有三條邊相等，那么這兩個(gè)三角形全那么這兩個(gè)三角形全等。等

15、。三角形的判定定理四三角形的判定定理四AC=DC AB=DBBC=BCABC DBC（SSS） 例1：如圖，已知AB=CD，BC=DA。說出下列判斷成立的理由：（1）ABC CDA（2）B=DABCD解（1）在ABC和CDA中 AB=CD（已知） BC=DA（已知） AC=CA（公共邊）ABC CDA（SSS）（2） ABC CDAB=D（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）練習(xí)1 如圖，已知點(diǎn)B、E、C、F在同一條直線上，ABDE，ACDF，BECF。求證：AD。證明：BECF（已知）即 BCEF在ABC和DEF中ABDE（已知）ACBF（已知）BCEF（已證）ABC DEF（SSS）AD(全等三角形對(duì)

16、應(yīng)角相等）FABECD小結(jié)：欲證角相等，轉(zhuǎn)化為證三角形全等。 BE+EC=CF+EC例2，如圖，已知ABCD，ADCB，求證：BD證明：連結(jié)連結(jié)AC,ABCD（已知）ACAC（公共邊）BCAD（已知） ABC CDA（SSS） BD（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）ABCD在ABC和 ADC中問：此題添加輔助線，若連結(jié)BD行嗎？在原有條件下，還能推出什么結(jié)論？答：ABCADC，ABCD，ADBCABCD小結(jié)：四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形小結(jié)：四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題解決。問題解決。對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)相等相等的元的元素素兩邊一角兩邊一角兩角一邊兩角一邊 三角三角 三邊三邊兩邊及其兩邊及其夾角夾角兩邊及其兩邊及其中一邊的

17、中一邊的對(duì)角對(duì)角兩角及其兩角及其夾邊夾邊 兩角及其兩角及其中一角的中一角的對(duì)邊對(duì)邊 三角形三角形是否全是否全等等 一定一定（SAS）不一定不一定一定一定(ASA)一定一定(AAS)不一定不一定一定一定(SSS)歸納：二個(gè)三角形全等的判定方法五、綜合練習(xí)題五、綜合練習(xí)題全等三角形的應(yīng)用全等三角形的應(yīng)用：利用全等三角形證明線段（或角）相等利用全等三角形證明線段（或角）相等例1：如圖，直線AC、 BD交于點(diǎn)O，OA=OC OB=OD 直線EF過點(diǎn)O且分別交AB、 CD于E、F O F E D C B A求證：OE=OF在AOB和COD中OB=OD AOB=CODOA=OC AOB COD （SAS）

18、 B=D （全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）在BOE和DOF中B=DOB=OD BOE=COF BOE DOF （ASA） OE=OF （全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等） 證明AB=DCAC=DBBC=CB證明證明：在在ABC和和DCB中中如圖：如圖：AB=DC，AC=DB 求證：求證：ABO=DCO ABCDCB （SSS） A=D (全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)在在AOB和和DOC中中 A=DAOB=DOCAB=CD AOB DOC （AAS） ABO=DCO （全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）OCDBA鞏固練習(xí)：鞏固練習(xí)：如圖：如圖：ACBC ADBD ，AD=BC CEAB DFAB，垂足分別為，垂足分別為E、F，求證：，求證：CE=DFFEDCBA分析：分析： 由已知可推出由已知可推出ABC BAD 要證要證CE=DF，需證，需證ACE ADF，所缺條件可由，所缺條件可由ABC BAD推出推出二：利用全等三角形證明線的垂直關(guān)系二：利用全等三角形證明線的垂直關(guān)