信號(hào)與系統(tǒng)(第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換)

1、信號(hào)與系統(tǒng) (Signals and Systems) 第四章：連續(xù)時(shí)間傅里葉變換第四章：連續(xù)時(shí)間傅里葉變換 n連續(xù)時(shí)間傅里葉變換連續(xù)時(shí)間傅里葉變換; ;n傅里葉級(jí)數(shù)與傅立葉變換之間的關(guān)系傅里葉級(jí)數(shù)與傅立葉變換之間的關(guān)系; ;n傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì); ;n系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及系統(tǒng)的頻域分析. .本章內(nèi)容本章內(nèi)容: 在工程應(yīng)用中有相當(dāng)廣泛的信號(hào)是非周期信號(hào)，在工程應(yīng)用中有相當(dāng)廣泛的信號(hào)是非周期信號(hào)，對(duì)非周期信號(hào)應(yīng)該如何進(jìn)行分解，什么是非周期信對(duì)非周期信號(hào)應(yīng)該如何進(jìn)行分解，什么是非周期信號(hào)的頻譜表示，線性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)非周期信號(hào)的響號(hào)的頻譜表示，線性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)

2、非周期信號(hào)的響應(yīng)如何求得，就是這一章要解決的問(wèn)題。應(yīng)如何求得，就是這一章要解決的問(wèn)題。4.0 引言引言 Introduction 在時(shí)域可以看到，如果一個(gè)周期信號(hào)的周期在時(shí)域可以看到，如果一個(gè)周期信號(hào)的周期趨于無(wú)窮大，則周期信號(hào)將演變成一個(gè)非周期趨于無(wú)窮大，則周期信號(hào)將演變成一個(gè)非周期信號(hào)；反過(guò)來(lái)，如果將任何非周期信號(hào)進(jìn)行周信號(hào)；反過(guò)來(lái)，如果將任何非周期信號(hào)進(jìn)行周期性延拓，就一定能形成一個(gè)周期信號(hào)。期性延拓，就一定能形成一個(gè)周期信號(hào)。 我們把非周期信號(hào)看成是周期信號(hào)在周期趨我們把非周期信號(hào)看成是周期信號(hào)在周期趨于無(wú)窮大時(shí)的極限，從而考查連續(xù)時(shí)間傅立葉于無(wú)窮大時(shí)的極限，從而考查連續(xù)時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)

3、在級(jí)數(shù)在 T T趨于無(wú)窮大時(shí)的變化，就應(yīng)該能夠得趨于無(wú)窮大時(shí)的變化，就應(yīng)該能夠得到對(duì)非周期信號(hào)的頻域表示方法。到對(duì)非周期信號(hào)的頻域表示方法。4.1 非周期信號(hào)的表示非周期信號(hào)的表示連續(xù)時(shí)間傅立葉變換連續(xù)時(shí)間傅立葉變換一一. .從傅立葉級(jí)數(shù)到傅立葉變換從傅立葉級(jí)數(shù)到傅立葉變換 我們已經(jīng)看到，周期性矩形脈沖，當(dāng)周期我們已經(jīng)看到，周期性矩形脈沖，當(dāng)周期 增大時(shí)，頻譜的幅度隨增大時(shí)，頻譜的幅度隨 的增大而下降；譜線的增大而下降；譜線間隔隨間隔隨 的增大而減??；但頻譜的包絡(luò)不變。的增大而減??；但頻譜的包絡(luò)不變。0T0T0T 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，周期性矩形脈沖信號(hào)將演變成為時(shí)，周期性矩形脈沖信號(hào)將演變成為非周期的單

4、個(gè)矩形脈沖信號(hào)。非周期的單個(gè)矩形脈沖信號(hào)。 0T （a）（b）(a)014TT(b) 0ka0202ka14140018TT再次考察周期性矩形脈沖的頻譜圖：再次考察周期性矩形脈沖的頻譜圖：102 由于由于 也隨也隨 增大而減小，并最增大而減小，并最終趨于終趨于0 0，考查，考查 的變化，它在的變化，它在 時(shí)應(yīng)該時(shí)應(yīng)該是有限的。是有限的。0 1100 1sin2kkTTaTkT0T0kT a0T 于是，我們推斷出于是，我們推斷出: :當(dāng)當(dāng) 時(shí)，離散的頻譜將時(shí)，離散的頻譜將演變?yōu)檫B續(xù)的頻譜。演變?yōu)檫B續(xù)的頻譜。0T 000/20/2( )TjktkTT ax t edt由由當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,0T 00

5、2,dT0,k()( )j tX jx t edt00lim()kTTaX j如果令如果令則有則有001()kaX jkT與周期信號(hào)傅立葉級(jí)數(shù)對(duì)比有：與周期信號(hào)傅立葉級(jí)數(shù)對(duì)比有： 這表明這表明: :周期信號(hào)的頻譜就是與它相對(duì)應(yīng)的非周期周期信號(hào)的頻譜就是與它相對(duì)應(yīng)的非周期信號(hào)頻譜的樣本。信號(hào)頻譜的樣本。根據(jù)傅立葉級(jí)數(shù)表示：根據(jù)傅立葉級(jí)數(shù)表示： 000000011( )()()2jktjktjktkkkkx ta eX jkeX jkeT連續(xù)時(shí)間傅立葉變換連續(xù)時(shí)間傅立葉變換當(dāng)當(dāng)0T 時(shí)，時(shí)，( )( ),x tx t002,dT0k于是有：于是有：1( )()2j tx tX jed傅立葉反變換傅

6、立葉反變換 此式表明，非周期信號(hào)可以分解成無(wú)數(shù)多個(gè)頻率此式表明，非周期信號(hào)可以分解成無(wú)數(shù)多個(gè)頻率連續(xù)分布、振幅為連續(xù)分布、振幅為 的復(fù)指數(shù)信號(hào)之和。的復(fù)指數(shù)信號(hào)之和。 由于由于 具有頻譜隨頻率分具有頻譜隨頻率分布的物理含義，因而稱布的物理含義，因而稱 為為頻譜密度函數(shù)頻譜密度函數(shù)。1()2X jd0000,00()limlimkkTTfaX jTaf()X j1( )()2j tx tX jed()( )j tX jx t edt于是，我們得到了對(duì)非周期信號(hào)的頻域描述方法于是，我們得到了對(duì)非周期信號(hào)的頻域描述方法這一對(duì)關(guān)系被稱為連續(xù)時(shí)間傅立葉變換對(duì)。這一對(duì)關(guān)系被稱為連續(xù)時(shí)間傅立葉變換對(duì)。 可見(jiàn)

7、，周期信號(hào)的頻譜是對(duì)應(yīng)的非周期信號(hào)可見(jiàn)，周期信號(hào)的頻譜是對(duì)應(yīng)的非周期信號(hào)頻頻譜的樣本譜的樣本；而非周期信號(hào)的頻譜是對(duì)應(yīng)的周期信；而非周期信號(hào)的頻譜是對(duì)應(yīng)的周期信號(hào)號(hào)頻譜的包絡(luò)。頻譜的包絡(luò)。 既然傅立葉變換的引出是從周期信號(hào)的傅立葉既然傅立葉變換的引出是從周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)表示出發(fā)，討論周期趨于無(wú)窮大時(shí)的極限得級(jí)數(shù)表示出發(fā)，討論周期趨于無(wú)窮大時(shí)的極限得來(lái)的，傅立葉變換的收斂問(wèn)題就應(yīng)該和傅立葉級(jí)來(lái)的，傅立葉變換的收斂問(wèn)題就應(yīng)該和傅立葉級(jí)數(shù)的收斂相一致。數(shù)的收斂相一致。二二. 傅立葉變換的收斂傅立葉變換的收斂這表明能量有限的信號(hào)其傅立葉變換一定存在。這表明能量有限的信號(hào)其傅立葉變換一定存在。2.

8、Dirichlet 條件條件( )x t dt a. 絕對(duì)可積條件絕對(duì)可積條件1. 若若2( )x tdt 則則 存在。存在。()X j也有相應(yīng)的兩組條件：也有相應(yīng)的兩組條件：b. 在任何有限區(qū)間內(nèi)，在任何有限區(qū)間內(nèi)， 只有有限個(gè)極值點(diǎn)，只有有限個(gè)極值點(diǎn)， 且極值有限。且極值有限。( )x tc. 在任何有限區(qū)間內(nèi)，在任何有限區(qū)間內(nèi)， 只有有限個(gè)第一類間只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)。斷點(diǎn)。( )x t 應(yīng)該指出應(yīng)該指出: :這些條件只是傅立葉變換存在的充分條件這些條件只是傅立葉變換存在的充分條件。( )x t( )x t 和周期信號(hào)的情況一樣，當(dāng)和周期信號(hào)的情況一樣，當(dāng) 的傅立葉變換存的傅立葉變換存

9、在時(shí)，其傅立葉變換在在時(shí)，其傅立葉變換在 的連續(xù)處收斂于信號(hào)本的連續(xù)處收斂于信號(hào)本身，在間斷點(diǎn)處收斂于左右極限的平均值，在間斷身，在間斷點(diǎn)處收斂于左右極限的平均值，在間斷點(diǎn)附近會(huì)產(chǎn)生點(diǎn)附近會(huì)產(chǎn)生Gibbs 現(xiàn)象。現(xiàn)象。 sin tt 這兩組條件并不等價(jià)。例如：這兩組條件并不等價(jià)。例如： 是平方可積是平方可積的，但是并不絕對(duì)可積。的，但是并不絕對(duì)可積。三三. .常用信號(hào)的傅立葉變換：常用信號(hào)的傅立葉變換：1.( )( ),0atx teu ta01()atj tX jeedtaj221()X ja-1()tgX ja ( )x tt01aa01/a()X j12a/2/2aa()X j/4/42

10、.( ),0atx tea 結(jié)論：結(jié)論：實(shí)偶信號(hào)的傅立葉實(shí)偶信號(hào)的傅立葉變換是實(shí)偶函數(shù)。變換是實(shí)偶函數(shù)。此時(shí)可以此時(shí)可以用一幅圖表示信號(hào)的頻譜。用一幅圖表示信號(hào)的頻譜。對(duì)此例有對(duì)此例有()()X jX j()0X j()X j2a1aaa( )x tt100022()112atj tatj tX je edteedtaajaja3.( )( )x tt()( )1jtXjt edt0( ) tt 這表明這表明 中包括了所有的頻率成分，且所有頻中包括了所有的頻率成分，且所有頻率分量的幅度、相位都相同。因此，系統(tǒng)的單位沖率分量的幅度、相位都相同。因此，系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)激響應(yīng) 才能完全描述一個(gè)才能

11、完全描述一個(gè)LTI系統(tǒng)的特性，系統(tǒng)的特性， 才在信號(hào)與系統(tǒng)分析中具有如此重要的意義。才在信號(hào)與系統(tǒng)分析中具有如此重要的意義。( ) t( )h t( ) t()X j0111111111112sin2sin()2Sa()2Sinc()Tj tTTTTX jedtTTTTT 顯然，將顯然，將 中的中的 代之以代之以 再乘以再乘以 ，即，即是相應(yīng)周期信號(hào)的頻譜是相應(yīng)周期信號(hào)的頻譜()X j0k01T011101000sin22Sa()kkTTTakTTTkT4. 矩形脈沖矩形脈沖: :( )x t 1,1tT0,1tT1T1Tt( )x t1( )x tt1T1T1 10 0( )x tt12T1

12、2T1 10 0()X j0 01T12T12T()X j14T0 0不同脈沖寬度對(duì)頻譜的影響不同脈沖寬度對(duì)頻譜的影響可見(jiàn)，可見(jiàn)，信號(hào)在時(shí)域和頻域之間有一種相反的關(guān)系信號(hào)在時(shí)域和頻域之間有一種相反的關(guān)系。( (稱為稱為理想低通濾波器理想低通濾波器) ) 與矩形脈沖情況對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)與矩形脈沖情況對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)信號(hào)在時(shí)域和頻信號(hào)在時(shí)域和頻域之間存在一種對(duì)偶關(guān)系。域之間存在一種對(duì)偶關(guān)系。5.1，0，()X jWW1sin( )Sa()sinc()2Wj tWWtWWWtx tedWtt()X jWW1 10 0( )x tt(/)W0 0W對(duì)偶關(guān)系可表示如下對(duì)偶關(guān)系可表示如下:( )x tt1T1

13、T1 10 0()X jWW1 10 0()X j0 01T12T( )x tt(/)W0 0W 同時(shí)可以看到，同時(shí)可以看到，信號(hào)在時(shí)域和頻域之間也有一種信號(hào)在時(shí)域和頻域之間也有一種相反的關(guān)系相反的關(guān)系。即信號(hào)在時(shí)域脈沖越窄，則其頻譜主。即信號(hào)在時(shí)域脈沖越窄，則其頻譜主瓣越寬，反之亦然。瓣越寬，反之亦然。 對(duì)例對(duì)例5. 我們可以想到，如果我們可以想到，如果 ，則，則 將趨于將趨于一個(gè)沖激。一個(gè)沖激。W ( )x t6. 若若 則有則有( )1x t ()2( )X j 因?yàn)橐驗(yàn)?1()22Wj tWed 所以所以( )12( )Fx t 四四. 信號(hào)的帶寬信號(hào)的帶寬( Bandwidth of

14、 Signals ): 由信號(hào)的頻譜可以看出：信號(hào)的主要能量總是由信號(hào)的頻譜可以看出：信號(hào)的主要能量總是集中于低頻分量。另一方面，傳輸信號(hào)的系統(tǒng)都集中于低頻分量。另一方面，傳輸信號(hào)的系統(tǒng)都具有自己的頻率特性。因而，工程中在傳輸信號(hào)具有自己的頻率特性。因而，工程中在傳輸信號(hào)時(shí)，沒(méi)有必要一定要把信號(hào)的所有頻率分量都有時(shí)，沒(méi)有必要一定要把信號(hào)的所有頻率分量都有效傳輸，而只要保證將占據(jù)信號(hào)能量主要部分的效傳輸，而只要保證將占據(jù)信號(hào)能量主要部分的頻率分量有效傳輸即可。為此，需要對(duì)信號(hào)定義頻率分量有效傳輸即可。為此，需要對(duì)信號(hào)定義帶寬。通常有如下定義帶寬的方法帶寬。通常有如下定義帶寬的方法:2. 對(duì)包絡(luò)是

15、對(duì)包絡(luò)是 形狀的頻譜，通常定義主瓣寬形狀的頻譜，通常定義主瓣寬度度(即即頻譜第一個(gè)零點(diǎn)內(nèi)的范圍頻譜第一個(gè)零點(diǎn)內(nèi)的范圍)為信號(hào)帶寬。為信號(hào)帶寬。Sa( ) x 下降到最大值的下降到最大值的 時(shí)對(duì)應(yīng)的頻率范圍時(shí)對(duì)應(yīng)的頻率范圍, ,此時(shí)帶內(nèi)信號(hào)此時(shí)帶內(nèi)信號(hào)分量占有信號(hào)總能量的分量占有信號(hào)總能量的1/2。1.()X j12 以矩形脈沖為例，按帶寬的定義，可以得出，以矩形脈沖為例，按帶寬的定義，可以得出，脈寬乘以帶寬等于常數(shù)脈寬乘以帶寬等于常數(shù)C (脈寬帶寬積脈寬帶寬積)。這清楚地。這清楚地反映了頻域和時(shí)域的相反關(guān)系。反映了頻域和時(shí)域的相反關(guān)系。 4.2 周期信號(hào)的傅立葉變換周期信號(hào)的傅立葉變換 到此為

16、止，我們對(duì)周期信號(hào)用傅立葉級(jí)數(shù)表示，到此為止，我們對(duì)周期信號(hào)用傅立葉級(jí)數(shù)表示，非周期信號(hào)用傅立葉變換表示。因?yàn)閿?shù)學(xué)描述方法非周期信號(hào)用傅立葉變換表示。因?yàn)閿?shù)學(xué)描述方法的不一致，在某些情況下的不一致，在某些情況下, , 會(huì)給我們帶來(lái)不便。但會(huì)給我們帶來(lái)不便。但由于周期信號(hào)不滿足由于周期信號(hào)不滿足 Dirichlet 條件，因而不能直條件，因而不能直接從定義出發(fā)，建立其傅立葉變換表示。接從定義出發(fā)，建立其傅立葉變換表示。 001( )()()2jtj tj tx tX jedede 所對(duì)應(yīng)的信號(hào)所對(duì)應(yīng)的信號(hào)0()2()X j 考查考查 這表明這表明周期性復(fù)指數(shù)信號(hào)的頻譜是一個(gè)沖激周期性復(fù)指數(shù)信號(hào)的

17、頻譜是一個(gè)沖激。于是當(dāng)把周期信號(hào)表示為傅立葉級(jí)數(shù)時(shí)，因?yàn)橛谑钱?dāng)把周期信號(hào)表示為傅立葉級(jí)數(shù)時(shí)，因?yàn)?( )jktkkx ta e就有就有0()2()kkX jak 周期信號(hào)的傅立葉變換表示周期信號(hào)的傅立葉變換表示0( )jktx te0()2()X jk 若若 則則 這表明：周期信號(hào)的傅立葉變換由一系列沖激組這表明：周期信號(hào)的傅立葉變換由一系列沖激組成，每一個(gè)沖激分別位于信號(hào)的各次諧波的頻率處，成，每一個(gè)沖激分別位于信號(hào)的各次諧波的頻率處，其沖激強(qiáng)度正比于對(duì)應(yīng)的傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)其沖激強(qiáng)度正比于對(duì)應(yīng)的傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù) 。ka例例1： 0001( )sin2jtjtx tteej00() ()()X

18、 jj ()X j00jj000() ()()Xj 22222111( )( )TTjktTkTTat edtt dtTTT()X j0000001( )cos2jtjtx ttee例例2： ( )()nx ttnT例例3： 均勻沖激串均勻沖激串TT2T2T0( )x tt1()X j02T2T2T( )()nx ttnT22()()kX jkTT 22()()kX jkTT 例例4. 周期性矩形脈沖周期性矩形脈沖10022sin()2()()kkTTXjkkT 1011002sin22Sa()kTkTTakTTTk10212TT()X j02T1T1T01( )x tt0T0T4.3 連續(xù)時(shí)

19、間傅立葉變換的性質(zhì)連續(xù)時(shí)間傅立葉變換的性質(zhì) 討論傅立葉變換的性質(zhì)，旨在通過(guò)這些性質(zhì)揭示討論傅立葉變換的性質(zhì)，旨在通過(guò)這些性質(zhì)揭示信號(hào)時(shí)域特性與頻域特性之間的關(guān)系，同時(shí)掌握和信號(hào)時(shí)域特性與頻域特性之間的關(guān)系，同時(shí)掌握和運(yùn)用這些性質(zhì)可以簡(jiǎn)化傅立葉變換對(duì)的求取。運(yùn)用這些性質(zhì)可以簡(jiǎn)化傅立葉變換對(duì)的求取。1. 線性線性: Linearity則則( )( )()()ax tby taX jbY j( )(),( )()x tX jy tY j若若2. 時(shí)移時(shí)移: Time Shifting這表明信號(hào)的時(shí)移只影響它的相頻特性，其相頻這表明信號(hào)的時(shí)移只影響它的相頻特性，其相頻特性會(huì)增加一個(gè)線性相移。特性會(huì)增加

20、一個(gè)線性相移。( )()x tX j則則00()()j tx ttX je若若3. 共軛對(duì)稱性共軛對(duì)稱性: Conjugate and Symmetry 若若 ( )()x tX j則則*( )()x tXj*()( )j tXjx t edt所以所以*()( )j tXjx t edt即即*( )()x tXj 若若 是實(shí)信號(hào)，則是實(shí)信號(hào)，則( )x t*( )( )x tx t于是有于是有:*()()X jXj由由()( )j tX jx t edt可得可得Re()Re()X jXj即即實(shí)部是偶函數(shù)實(shí)部是偶函數(shù)虛部是奇函數(shù)虛部是奇函數(shù) 若若()()()j X jX jX je則可得出則可得

21、出()()X jXj()()X jXj 即：即：模是偶函數(shù)，相位是奇函數(shù)模是偶函數(shù)，相位是奇函數(shù) 若若則可得則可得()Re()Im()X jX jjX jIm()Im()X jXj 如果如果( )()x txt即信號(hào)是偶函數(shù)。則即信號(hào)是偶函數(shù)。則()( )j tX jx t edt()( )()j tjxt edtxedtXj表明：表明： 實(shí)偶信號(hào)的傅立葉變換是偶函數(shù)。實(shí)偶信號(hào)的傅立葉變換是偶函數(shù)。表明表明 是實(shí)函數(shù)。是實(shí)函數(shù)。()X j 若若 即信號(hào)是奇函數(shù)，同樣可以得出即信號(hào)是奇函數(shù)，同樣可以得出:( )()x txt *()()XjXj所以所以*()()X jXj又因?yàn)橛忠驗(yàn)?)()X

22、jXj 表明表明 是奇函數(shù)是奇函數(shù)()X j*()()X jXj ()X j表明表明 是虛函數(shù)是虛函數(shù) 若若( )( )( )eox tx tx t則有則有:()()()eoX jXjjXj( )()eex tXj()Re()eXjX j( )()oox tjXj()Im()oXjX j例例: 的頻譜的頻譜:( )u t( )( )( )eou tu tu t1( )2eu t 10( )u tt1/20( )eu tt-1/21/20( )ou tt將將 分解為偶部和奇部有分解為偶部和奇部有( )u t1( )Sgn( )2ou ttSgn( ) t 1,1,0t 0t ( )( )eu t

23、 22022limajaj1( )()u tj 0Sgn( )lim( )()atatate u te ut011limaajajSgn( )tF1j1( )Sgn( )2ou tt11tSgn( ) tateate4.時(shí)域微分與積分時(shí)域微分與積分: Differentiation and Integration(可將微分運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)運(yùn)算可將微分運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)運(yùn)算)(將將1( )()2j tx tX jed兩邊對(duì)兩邊對(duì) 微分即得該性質(zhì)微分即得該性質(zhì))t由時(shí)域積分特性從由時(shí)域積分特性從( )1t也可得到也可得到:1( )( )u tj 1( )()(0) ( )txdX jXj （時(shí)域積分特性

24、）（時(shí)域積分特性）( )()x tX j則則( )()dx tjX jdt若若5.時(shí)域和頻域的尺度變換時(shí)域和頻域的尺度變換: Scaling當(dāng)當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有1a ()()xtXj 尺度變換特性表明：尺度變換特性表明：信號(hào)如果在時(shí)域擴(kuò)展信號(hào)如果在時(shí)域擴(kuò)展 a 倍，倍，則其帶寬相應(yīng)壓縮則其帶寬相應(yīng)壓縮 a 倍，反之亦然。倍，反之亦然。這就從理論上這就從理論上證明了時(shí)域與頻域的相反關(guān)系，也證明了信號(hào)的脈證明了時(shí)域與頻域的相反關(guān)系，也證明了信號(hào)的脈寬帶寬積等于常數(shù)的結(jié)論。寬帶寬積等于常數(shù)的結(jié)論。( )()x tX j則則1()()x atX jaa若若時(shí)域中的壓縮（擴(kuò)展）對(duì)應(yīng)頻域中的擴(kuò)展（壓縮）時(shí)域

25、中的壓縮（擴(kuò)展）對(duì)應(yīng)頻域中的擴(kuò)展（壓縮）6.對(duì)偶性對(duì)偶性: Duality若若( )()x tX j則則()2()X jtx2()()j txXjt edt2()()j txXjt edt()2()X jtx1( )()2j tx tXjed證明：證明：也可由也可由()( )j tX jx t edt得到證明。得到證明。1()()2()2j tj tX jtxedxed根據(jù)根據(jù)()()xtXj得得00( ) ()jtx t eX j這就是這就是移頻特性移頻特性例如例如: : 由由 有對(duì)偶關(guān)系有對(duì)偶關(guān)系利用時(shí)移特性有利用時(shí)移特性有再次對(duì)偶有再次對(duì)偶有( )()x tX j( )2()X jtx0

26、0 ()2()jtXj ttxe002()2 ()jtxt eX j由對(duì)偶性可以方便地將時(shí)域的某些特性對(duì)偶到頻域由對(duì)偶性可以方便地將時(shí)域的某些特性對(duì)偶到頻域由由()( )j tXjx t edt得得()( )j tdX jjtx t edtd所以所以( )()djtx tXjd頻域微分特性頻域微分特性該特性也可由對(duì)偶性從時(shí)域微分特性得出該特性也可由對(duì)偶性從時(shí)域微分特性得出:( )()x tX j( )2()X jtx( )()djtx tX jd由由()()xtXj有有()2()dX jtj xdt 利用利用時(shí)域微分特性時(shí)域微分特性有有()2()X jtx對(duì)對(duì)2()2()()djtxtXjd再

27、次對(duì)偶得再次對(duì)偶得頻域微分特性頻域微分特性由時(shí)域積分特性，可對(duì)偶出頻域積分特性由時(shí)域積分特性，可對(duì)偶出頻域積分特性( )()x tX j()2()X jtx22()()2(0) ()txX jdxj 利用利用時(shí)域積分特性時(shí)域積分特性()2 (0) ( )2()xtxtX jdjt再次對(duì)偶再次對(duì)偶( )(0) ( )()x txtXjdjt()()xtXj由由有有頻域積分特性頻域積分特性7. Parseval定理定理:若若( )()x tX j則則221( )()2x tdtX jd 這表明：信號(hào)的能量既可以在時(shí)域求得，也可這表明：信號(hào)的能量既可以在時(shí)域求得，也可以在頻域求得。由于以在頻域求得。

28、由于 表示了信號(hào)能量在表示了信號(hào)能量在頻域的分布，因而稱其為頻域的分布，因而稱其為“能量譜密度能量譜密度”函數(shù)。函數(shù)。2()X j4.4 卷積性質(zhì)卷積性質(zhì)一一. .卷積特性：卷積特性： 由于卷積特性的存在，使對(duì)由于卷積特性的存在，使對(duì)LTI系統(tǒng)在頻域進(jìn)系統(tǒng)在頻域進(jìn)行分析成為可能。本質(zhì)上，卷積特性的成立正是行分析成為可能。本質(zhì)上，卷積特性的成立正是因?yàn)閺?fù)指數(shù)信號(hào)是一切因?yàn)閺?fù)指數(shù)信號(hào)是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。系統(tǒng)的特征函數(shù)。( )()x tX j( )()h tH j則則( )( )()()x th tX jH j若若1( )()2jtx tXjed由由表明：表明：()( )j tH jh t

29、edt故有故有可將可將 分解成復(fù)指數(shù)分量的線性組合，每個(gè)分解成復(fù)指數(shù)分量的線性組合，每個(gè) 通過(guò)通過(guò)LTI系統(tǒng)時(shí)都要受到系統(tǒng)系統(tǒng)時(shí)都要受到系統(tǒng)與與 對(duì)應(yīng)的特征值對(duì)應(yīng)的特征值的加權(quán)。這個(gè)特征值就是的加權(quán)。這個(gè)特征值就是( )x tj tej te1( )( )* ( )()()2j ty tx th tX jH jed所以所以()() ()Y jX jH j 由于由于 的傅氏變換的傅氏變換 就是頻率為就是頻率為 的復(fù)指的復(fù)指數(shù)信號(hào)數(shù)信號(hào) 通過(guò)通過(guò)LTI系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)在系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)在幅度上產(chǎn)生的影響，所以稱為幅度上產(chǎn)生的影響，所以稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。( )h t()H

30、 jjte 鑒于鑒于 與與 是一一對(duì)應(yīng)的，因而是一一對(duì)應(yīng)的，因而LTI系統(tǒng)系統(tǒng)可以由其頻率響應(yīng)完全表征。由于并非任何系統(tǒng)的可以由其頻率響應(yīng)完全表征。由于并非任何系統(tǒng)的頻率響應(yīng)頻率響應(yīng) 都存在，因此用頻率響應(yīng)表征系統(tǒng)都存在，因此用頻率響應(yīng)表征系統(tǒng)時(shí)，一般都限于對(duì)穩(wěn)定系統(tǒng)。因?yàn)?，穩(wěn)定性保證了時(shí)，一般都限于對(duì)穩(wěn)定系統(tǒng)。因?yàn)?，穩(wěn)定性保證了( )h t()H j()H jdtth| )(|二二. . LTI系統(tǒng)的頻域分析法系統(tǒng)的頻域分析法: : 根據(jù)卷積特性根據(jù)卷積特性, ,可以對(duì)可以對(duì)LTI系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析, , 其過(guò)程為其過(guò)程為: :1. 1. 由由2. 2. 根據(jù)系統(tǒng)的描述，求出根

31、據(jù)系統(tǒng)的描述，求出3.3.4. 4. ( )()x tXj()H j()()()Y jX jH j1( ) ()y tY j F4.5 相乘性質(zhì)相乘性質(zhì) The Multiplication Property利用對(duì)偶性可以利用對(duì)偶性可以從卷積性質(zhì)得出相乘性質(zhì)從卷積性質(zhì)得出相乘性質(zhì)11( )()x tXj11()2()Xjtx22( )()x tXj22()2()Xjtx21212()()4()()XjtXjtxx若若11( )()x tXj22( )()x tXj則則12121( )( )()()2x tx tXjXj212124( )( )2()()xt xtXjXj 兩個(gè)信號(hào)在時(shí)域相乘，可

32、以看成是由一個(gè)信號(hào)兩個(gè)信號(hào)在時(shí)域相乘，可以看成是由一個(gè)信號(hào)控制另一個(gè)信號(hào)的幅度，這就是控制另一個(gè)信號(hào)的幅度，這就是幅度調(diào)制幅度調(diào)制。其中。其中一個(gè)信號(hào)稱為一個(gè)信號(hào)稱為載波載波，另一個(gè)是，另一個(gè)是調(diào)制信號(hào)調(diào)制信號(hào)。例例1:( )()x tX j002()jte 00( ) ()jtx t eX j12121( )( )()()2x tx tXjXj移頻性質(zhì)移頻性質(zhì)例例2. 正弦幅度調(diào)制正弦幅度調(diào)制: :0( )(),( )coss tS jp tt( )( ) ( )r ts t p t( )p t( )s t( )r t10MM()S j( )r tt( )s t00() ()()P j 0(

33、 )00()P j001()() ()()2R jS j 0011() ()22S jS j 1/200()R j 正弦幅度調(diào)制等效于在頻域?qū)⒄{(diào)制信號(hào)的頻譜搬正弦幅度調(diào)制等效于在頻域?qū)⒄{(diào)制信號(hào)的頻譜搬移到載頻位置。移到載頻位置。例例3. 同步解調(diào)同步解調(diào):0001( )cos() ()()2r ttR j 00111() (2) (2)244S jS jS j1/21/41/4MM0202 此時(shí)，用一個(gè)頻率特性為此時(shí)，用一個(gè)頻率特性為的系統(tǒng)即可從的系統(tǒng)即可從 恢復(fù)出恢復(fù)出 。()H j( )r t( )s t()H j20cc只要只要02McM即可。即可。具有此頻率特性的具有此頻率特性的LTI

34、系統(tǒng)稱為系統(tǒng)稱為理想低通濾波器理想低通濾波器。例例4. 中心頻率可變的帶通濾波器：中心頻率可變的帶通濾波器：( )x t( )y t( )r t( )w t0jte0jtec()X j()W jcc()F jA00c0c()Y jc10c()Y j理想低通的頻率響應(yīng)理想低通的頻率響應(yīng)02c1()H j等效帶通濾波器等效帶通濾波器 相當(dāng)于從相當(dāng)于從 中直接用一個(gè)帶通濾波器濾出的中直接用一個(gè)帶通濾波器濾出的頻譜。表明整個(gè)系統(tǒng)相當(dāng)于一個(gè)中心頻率為頻譜。表明整個(gè)系統(tǒng)相當(dāng)于一個(gè)中心頻率為 的的帶通濾波器，改變帶通濾波器，改變 即可實(shí)現(xiàn)中心頻率可變。即可實(shí)現(xiàn)中心頻率可變。()X j004.6 傅立葉變換的

35、性質(zhì)與傅立葉變換對(duì)列表傅立葉變換的性質(zhì)與傅立葉變換對(duì)列表(自學(xué)自學(xué)) 工程實(shí)際中有相當(dāng)廣泛的工程實(shí)際中有相當(dāng)廣泛的LTI系統(tǒng)其輸入輸出關(guān)系統(tǒng)其輸入輸出關(guān)系可以由一個(gè)線性常系數(shù)微分方程描述。一般形式系可以由一個(gè)線性常系數(shù)微分方程描述。一般形式的的LCCDE是是:4.7 由線性常系數(shù)微分方程表征的系統(tǒng)由線性常系數(shù)微分方程表征的系統(tǒng)00( )( )kkNNkkkkkkd y td x tabdtdt對(duì)對(duì)LCCDE兩邊進(jìn)行傅立葉變換有：兩邊進(jìn)行傅立葉變換有：00()()()()NNkkkkkkajY jbjX j由于由于()()()Y jX jH j00()()()NkkkNkkkbjH jaj一一. 由由LCCDE描述的描述的LTI系統(tǒng)的頻率特性系統(tǒng)的頻率特性: 可見(jiàn)由可見(jiàn)由LCCDE描述的描述的LTI 系統(tǒng)其系統(tǒng)其頻率特性是一頻率特性是一個(gè)有理函數(shù)個(gè)有理函數(shù)。由此可以看出，對(duì)由。由此可以看出，對(duì)由 LCCDE 描述描述的的LTI系統(tǒng)，當(dāng)需要求得其系統(tǒng)，當(dāng)需要求得其 時(shí)時(shí)(比如時(shí)域分析比如時(shí)域分析時(shí)時(shí)) ，往往是由，往往是由 做反變換得到。做反變換得到。( )h t()H j