大氣輻射與遙感-第六章

1、授課人：授課人： 葛覲銘葛覲銘20152015春季春季第第六六章章 行星大氣輻射傳輸行星大氣輻射傳輸6.16.1考慮散射的輻射傳輸射傳輸方程考慮散射的輻射傳輸射傳輸方程(RTE)(RTE)6.26.2散射相函數(shù)的展開散射相函數(shù)的展開6.36.3輻射傳輸方程解法輻射傳輸方程解法6.3.16.3.1二流近似二流近似(two-stream)(two-stream)6.3.26.3.2逐次散射近似逐次散射近似6.3.36.3.3離散縱標(biāo)方法（離散縱標(biāo)方法（DISORTDISORT）6.3.46.3.4加倍法加倍法6.3.56.3.5蒙特卡洛法蒙特卡洛法(Monte Carlo)(Monte Carlo

2、) 一束輻射在傳輸過(guò)程中，一方面與其它物質(zhì)相互作用（散射和吸收）而減弱； 另一方面在研究的輻射方向上有其他方向上的一部分輻射由于發(fā)射和多次散射進(jìn)入而加強(qiáng)。6.1考慮散射的輻射傳輸方程考慮散射的輻射傳輸方程兩個(gè)概念：光學(xué)厚度、平面平行介質(zhì)兩個(gè)概念：光學(xué)厚度、平面平行介質(zhì)一組不同表達(dá)形式的傳輸方程：一組不同表達(dá)形式的傳輸方程：JIdskdIJIddI考慮平行平面大氣考慮平行平面大氣無(wú)坐標(biāo)一般形式無(wú)坐標(biāo)一般形式dsTBIdsaaemitabs)(dIdIdI根據(jù)施瓦氏輻射傳輸方程的假設(shè)，忽略散射后，認(rèn)為e=a，即通過(guò)一段路徑后，輻射強(qiáng)度的改變?yōu)椋簩?duì)于平面平行大氣，考慮大氣中單次散射消光，但忽略多次散

3、射和發(fā)射的貢獻(xiàn)，則傳輸方程為：IuuIdzIdseeextddI/dIdI/)0()(exp(/)(exp(000IdzzdII上式的解為：/0eII注意到()=0：傳輸方程的簡(jiǎn)單解（比爾定律）：傳輸方程的簡(jiǎn)單解（比爾定律）：e e的指數(shù)形式的指數(shù)形式實(shí)際中，云、氣溶膠粒子對(duì)短波乃至紅外波段的散射效應(yīng)都不能忽略，在一些情況下傳輸方程中必須考慮散射作用。scatemitextdIdIdIdIIdseextdI上式中dIemit與dIscat是源函數(shù)。已知考慮基爾霍夫定律，根據(jù)普朗克函數(shù)可以表示dIemit，需要考慮dIscat的形式對(duì)于對(duì)于dIdIscatscat的思考的思考如果沒有散射，即沒有

4、dIscat的貢獻(xiàn)，因此散射項(xiàng)的貢獻(xiàn)應(yīng)該與散射系數(shù)s的大小成正比；在任意方向上傳輸?shù)妮椛洌伎赡鼙簧⑸涞轿覀冴P(guān)注的某個(gè)方向上，從而對(duì)該方向的輻射強(qiáng)度有貢獻(xiàn)；任意方向傳輸?shù)妮椛湓谀硞€(gè)方向上的散射貢獻(xiàn)是以線性方式累積的。dIdIscatscat的數(shù)學(xué)表示的數(shù)學(xué)表示根據(jù)上述表示，dIscat可以表示如下：dsdIPdIsscat4) (), (4其中歸一化的散射相函數(shù)為：1), (414dP4) (), (4dIPddIsscat電磁波通過(guò)介質(zhì)時(shí)，會(huì)發(fā)生散射，即電磁波有可能改變方向。因此使某一方向的電磁波強(qiáng)度發(fā)生變化，可能減弱，也可能增強(qiáng)。源函數(shù)中散射的表達(dá)源函數(shù)中散射的表達(dá)0當(dāng)電磁波由方向0傳輸時(shí)

5、，它被介質(zhì)散射到方向的散射過(guò)程包括：?jiǎn)未紊⑸浜投啻紊⑸溥^(guò)程；單次散射過(guò)程指光子被介質(zhì)只散射了一次，與單次散射相區(qū)別，凡是輻射被介質(zhì)散射超過(guò) 1 次，均稱為多次散射。區(qū)分單次散射和多次散射是為了方便于求解輻射傳輸方程。1d) ,(P4141d) ,(P414根據(jù)互易原理：), (P) ,(P因此同樣有：散射相函數(shù)（散射相函數(shù)（scattering phase function）散射相函數(shù) P (, )表述為方向的電磁波被散射到方向的比例，且P (, )/4是歸一化的，即：通常散射相函數(shù) P (, )只與方向和方向之間的夾角有關(guān)，可以寫為 P (cos )。散射角定義為入射光束和散射光束之間的夾角

6、。散射角的余弦可以表示為：)cos()1 ()1 ()cos(sinsincoscoscos2/122/1211coscos)(cos21dPg對(duì)各向同性散射，g為零；當(dāng)相函數(shù)的衍射峰變得越來(lái)越尖銳時(shí)，g也隨之增大；若相函數(shù)峰值位于后向，g為負(fù)值；(1+g)/2 可以看作積分前向散射能量的百分比數(shù)；(1-g)/2 可以看作積分后向散射能量的百分比數(shù)。不對(duì)稱因子不對(duì)稱因子g實(shí)際上輻射被介質(zhì)散射的同時(shí)，也被介質(zhì)吸收，即消光過(guò)程既包括散射，也包括吸收。單次散射反射率 定義為輻射傳輸發(fā)生每一次消光過(guò)程中，散射占的百分比。單次散射反射率（單次散射反射率（single scattering albedo）

7、esass對(duì)于單次散射，我們假設(shè)入射輻射強(qiáng)度的初始值為I0，傳播方向?yàn)?，則它到達(dá)處的輻射強(qiáng)度為：0/0eI單次散射源函數(shù)單次散射源函數(shù)o o在處發(fā)生單次散射后，散射到方向的輻射強(qiáng)度即為：4),(0/00PeI對(duì)上式中入射方向0 在4空間積分，并考慮只有一個(gè)入射方向，則上式中的強(qiáng)度變成通量密度，即有：上式就是單次散射產(chǎn)生的源函數(shù)。4),(0/00PeF則多次散射產(chǎn)生的源函數(shù)為來(lái)自所有方向、并經(jīng)散射，到方向的輻射總和。即上式對(duì)方向在4空間的積分，即：4d4) ,(P) ,(I對(duì)于多次散射，我們假設(shè)位于處、傳播方向?yàn)榈妮椛鋸?qiáng)度為I (, )，則它散射到方向的輻射強(qiáng)度為：4) ,(P) ,(I多次散

8、射源函數(shù)多次散射源函數(shù)源函數(shù)中的散射的表達(dá)是單次散射與多次散射之和，即：40/0) ,() ,(4),(4),(0dPIPeFJ又，源函數(shù)中的發(fā)射的表達(dá)可以寫為：)(),(TBJ普朗克函數(shù)B(T) 是物體亮溫為T時(shí)的出射輻射亮度，它的強(qiáng)度與方向無(wú)關(guān)，即各向均一。因此，考慮散射（單次、多次）、發(fā)射源函數(shù)后，輻射傳輸方程可以展開為：通常情況下，這個(gè)方程沒有解析解，只能靠數(shù)值解法或簡(jiǎn)化求解。JIddI對(duì)于平面平行介質(zhì)中的傳輸方程為：)()1() ,() ,(4)exp(),(4),(),(4000TBdPIPFIddI不考慮源函數(shù)、源函數(shù)與待求強(qiáng)度無(wú)關(guān)（只考慮發(fā)射 或/和 單次散射）、考慮多次散射，

9、這三種情況的解由易到難。對(duì)多次散射的考慮，構(gòu)成輻射傳輸求解中最具活力的一部分，相關(guān)新方法和手段層出不窮。輻射傳輸方程在不同介質(zhì)中應(yīng)用時(shí)，關(guān)鍵是要確定散射相函數(shù) P (, )、的形式，以及如何將它與介質(zhì)的一些參數(shù)建立聯(lián)系。之前給出不考慮源函數(shù)J 時(shí)傳輸方程的解(比爾定律），顯然這是極不準(zhǔn)確的。這里給出考慮源函數(shù)J （J與I無(wú)關(guān)）時(shí)傳輸方程的解。仍考慮平面平行介質(zhì)，其傳輸方程為：),(J),( Id),(dI，則得到/e),(J1de),( IdJ J與與I I無(wú)關(guān)的傳輸方程解無(wú)關(guān)的傳輸方程解將方程兩邊同時(shí)乘以 /e/e),(J1de),( Id對(duì)上式從0 到 0 積分：000/0),(1),0(

10、),(deJIeI整理得：000/0),(1),(),0(deJeII位于=0處的強(qiáng)度由兩部分組成：=0處輻射強(qiáng)度經(jīng)整層介質(zhì)衰減后的值；介質(zhì)中的輻射源被衰減后到達(dá)=0處的強(qiáng)度總和。0000/)(/0),(1),0(),(deJeII位于=0 處的輻射強(qiáng)度由兩部分組成：=0 處的輻射強(qiáng)度穿過(guò)整層介質(zhì)衰減后的值；整層介質(zhì)中的輻射源被衰減后到達(dá)=0處的輻射強(qiáng)度的總和。對(duì)同理，對(duì)于u0時(shí)，有：輻射傳輸方程的求解是對(duì)的積分，而J與I是否有關(guān)決定了求解難易；不考慮源函數(shù)的解為比爾-布格-朗伯定律，只考慮發(fā)射的解也相對(duì)簡(jiǎn)單；注意輻射傳輸方程中單次散射項(xiàng)也與I無(wú)關(guān)：),(PeF4),( Id),(dI0/00

11、問(wèn)題的關(guān)鍵：1.I在太陽(yáng)方向上有峰值2.P(cos)存在峰值散射項(xiàng)引起的困難散射項(xiàng)引起的困難6.26.2散射相函數(shù)的展開散射相函數(shù)的展開散射相函數(shù)是散射角的函數(shù)，可以展開為勒讓德(Legendre polynomial)多項(xiàng)式組成的級(jí)數(shù):)(cos)(cos0lNllPP其中Pl為勒讓德多項(xiàng)式， 為展開系數(shù)：lNldPPlll,.,1 ,0cos)(cos)(cos21211當(dāng)n=l時(shí)， 當(dāng)nl時(shí)，勒讓德多項(xiàng)式勒讓德多項(xiàng)式在-1x1,滿足如下正交關(guān)系：nlnlldPP121cos)(cos)(cos21111nl0nl1cos)(cos21cos)(cos)(cos21110110dPdPP當(dāng)

12、l=0時(shí)， ，P0=1,表明相函數(shù)是歸一化的： 10當(dāng)l=1時(shí)，P1=x,則有 gdPdPP3coscos)(cos213cos)(cos)(cos23111111其中 表示由方向 的入射輻射改變到方向 的出射輻射?？紤]到散射角與入射和出射方向的關(guān)系，相函數(shù)可以表示為:)cos()1()1()(cos) , ;,(2/122/1200lNlllNllPPP) , ;,(P) , (),(根據(jù)球面調(diào)和函數(shù)的加法定理，散射相函數(shù)可展開為:)(cos) ()() , ;,(0 mPPPmmNmNmlmlll為連帶勒讓德多項(xiàng)式。?mlP)0,.,()!()!()2(,0NmNmlmlmlllmm01,

13、0 m若m=0其他近似方法近似方法: :二流近似(two-stream)逐次散射近似Eddington近似精確方法：精確方法：離散縱標(biāo)法(Discrete-ordinates)累加法(Adding-doubling)最精確方法：最精確方法：蒙特卡洛方法(Monte Carlo)6.36.3輻射傳輸方程解法輻射傳輸方程解法6.3.16.3.1二流近似二流近似(two-stream)(two-stream)對(duì)于輻射傳輸方程(不考慮發(fā)射)，有：假定散射各向同性，輻射傳輸與方位無(wú)關(guān)，而僅與有關(guān)時(shí)，則有： 112011 -4d2d d d ) ,() ,(4)exp(),(4),(),(4000dPIP

14、FIddI定義方位平均的強(qiáng)度：20),(21)(dII定義方位平均的相函數(shù)為：20) , ;,(21) ,(duPP定義：),(4),(0000uPFS1100) ,() ,(2)exp(),(),(),(dPISIddI根據(jù)上述定義，向上、向下的輻射傳輸方程可寫為：1100) ,() ,(2)exp(),(),(),(dPISIddI（1）（2）分別將（1）、（2）式，對(duì)進(jìn)行積分： 101101001010) ,() ,(2)exp(),(),(),(ddPIdSdIdddI 101101001010) ,() ,(2)exp(),(),(),(ddPIdSdIdddI（3）（4）11010

15、0) ,31() ,(2)exp(),31()31,()31,(31dPIdSIddI110100) ,31() ,(2)exp(),31()31,()31,(31dPIdSIddI1.將相函數(shù)展為兩項(xiàng):2.用Gauss積分求和代替積分為了便于求解方程，給定兩個(gè)簡(jiǎn)化條件：31) ,(gP將相函數(shù)展開為兩項(xiàng)，并用兩點(diǎn)Gauss求積公式計(jì)算傳輸方程，引用以下標(biāo)記：)31,(II)31,(II)31(4),31(000gFSS)31(4),31(000gFSS2g1b0/)1 (31esbIIbIddI0/)1 (31esbIIbIddI將則二流近似傳輸方程可表示為：二流近似的輻射傳輸方程是一階非齊

16、次常微分方程組，可以得到解析解，有興趣者可以翻看相關(guān)參考資料。利用二流近似方法可以求解多次散射影響，尤其適合于通量密度的解算。3 個(gè)關(guān)鍵步驟： 與方位無(wú)關(guān)時(shí)輻射傳輸方程的簡(jiǎn)化去掉 勒讓德多項(xiàng)式展開：將 與分開 高斯公式展開：將積分換成求和6.3.26.3.2逐次散射近似逐次散射近似多次散射的逐次計(jì)算方法是這樣一種方法，我們單獨(dú)對(duì)散射一次、二次、三次等的光子計(jì)算其強(qiáng)度，而總強(qiáng)度則為所有各次散射之和。即式中n表示光子經(jīng)過(guò)散射的次數(shù)。1nn),(I),( I注意到多次散射的源函數(shù)為：4d4) ,(P) ,( I),(J由于二次散射是由一次散射引起的，因而從一次散射強(qiáng)度 I1(,)即可求出二次散射源函

17、數(shù)：412d) ,(P) ,(I4),(J而二次散射強(qiáng)度是可以由其源函數(shù)計(jì)算出來(lái)的：/2/2e),(J1de),(Id同樣我們可以由二次散射強(qiáng)度推導(dǎo)出三次散射源函數(shù)，繼而推出三次散射強(qiáng)度。依此類推，我們可以得到任意次散射的強(qiáng)度，其遞歸關(guān)系式可以表示為：4n1nd) ,(P) ,(I4),(J/n/ne),(J1de),(Id在輻射傳輸方程中，單次散射源函數(shù)J 與待求強(qiáng)度I 無(wú)關(guān)，可以求出解析解。單次散射解中的第 1 項(xiàng)反映了比爾-布格-朗伯定律，有時(shí)也稱為零次散射解，而將第 2項(xiàng)，即對(duì)源函數(shù)的積分結(jié)果稱為單次散射解。利用逐次計(jì)算方法可以依次得到各次散射的源函數(shù)和強(qiáng)度，進(jìn)而求出考慮多次散射的方程

18、解。利用離散縱標(biāo)方法可以將輻射傳輸方程中的散射相函數(shù)用勒讓德多項(xiàng)式展開，并用2N個(gè)節(jié)點(diǎn)的高斯求和公式代替方程中的天頂角積分，進(jìn)而將原有的積分微分方程轉(zhuǎn)化為微分方程組，最終通過(guò)邊界條件的代入，求解輻射在幾個(gè)特定方向（由高斯點(diǎn)決定）上的解析解。這種方法的精度取決于多項(xiàng)式展開的次數(shù)，次數(shù)越多精確性越高，但也越復(fù)雜。6.3.36.3.3離散縱標(biāo)方法（離散縱標(biāo)方法（DISORTDISORT）6.3.46.3.4加倍法加倍法加倍法的思想是：如果有兩層氣層，他們的反射率和透射率已知，則由該兩層疊合的氣層總的反射率和透射率可以通過(guò)計(jì)算兩氣層之間來(lái)回的反射而得到。設(shè)在0方向有單位入射輻射，第一層的反射率為R1，

19、透射率為（包括直接透射率和漫射透射率）為T1，第二層相應(yīng)的量為R2， T2，兩層總透射率為T12，總反射率為R12，兩層之間總的向下透射為D，向上反射為U12122122121121112121121112)1(.)(1.RRTRRRRRRTRTRTRRRTTRTRR12121221212121212121212112)1(.)(1.RRTTRRRRTTTRRRRTTRRTTTTR12表示兩層總的反射率：T12表示兩層總的透射率：121212212121212121212121)1(.)(1.RRRTRRRRRTRRRRRTRRRTRTU1211221211121211211)1(.)(1.R

20、RTRRRRTRRRRTRRTTDD表示兩層之間向下的透射率：U表示兩層之間向上的反射率：R12和T12可由D和U表示DRUDTTUTRR22121112引入12121)1(RRRRS則121)1(1RRS將T、D分成直接透射與漫射透射兩部分，即：) /exp( DD) /exp( TT則根據(jù)上述定義，假定透射與太陽(yáng)光束有關(guān)，=0 ,則有：)/exp()/exp()1()1)(/exp()1(010110111211STSSTRRTDdd)/exp()1(011STSDdd漫射透射部分為：同理得：)/exp(0122RDRUd),()/(exp)/exp()/exp()/exp()/exp(0

21、20120122012212ddddddDTDTDTT對(duì)于T12漫射透射部分為， 透射與太陽(yáng)輻射無(wú)關(guān)部分定義為= ：)/exp(011112UUTRRd上式最后一項(xiàng)說(shuō)明，直接透射只與0有關(guān)加倍法的思路：加倍法的思路：根據(jù)以上方程可知，當(dāng)已知R1，R2和T1，T2后，T12和R12均可求出，也就是說(shuō)要求任何氣層的反射率和透射率，只要將氣層多次等分，若已知最初薄層的T1和R1，則通過(guò)若干次加倍后便可得整個(gè)氣層的R和T),(),(),(JIddI根據(jù)輻射傳輸方程：若給定邊界條件為：0),(0),0(1II在此邊界條件下的形式解為：), (1),(1/)(deJI0/) (), (1),(deJI11000) ,() ,(2)exp(),(4dPIPFJ其中源函數(shù)J為：當(dāng)氣層很薄時(shí)，忽略J中多次散射項(xiàng)，并帶入傳輸方程形式解中積分得：),()11(exp114),0(001000PFI),()exp()exp(14),(00110001PFI則R1，T1分別為：),()11(exp1)(4/),0(0010001PFIR),()exp()exp()(4/),(001100011PFIT6.3.56.3.5蒙特卡洛法蒙特卡洛法(Monte Ca