概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題

1、.一、 填空題 1設(shè)離散型隨機變量的分布律為，則_, _. 解： 2設(shè)，若，則_. 解： .3設(shè)，且，則_，_. 解： 4設(shè)連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為 則_，_. 解：為連續(xù)函數(shù)， . .5設(shè)隨機變量的概率密度為 則_，的分布函數(shù)_. 解： . 6設(shè)隨機變量的概率密度為現(xiàn)對進行三次獨立重復(fù)觀察，用表示事件出現(xiàn)的次數(shù)，則_. 解：，其中 7設(shè)隨機變量服從上均勻分布，其中. （1）若，則_； （2）若，則_； （3）若，則_. 解： （1） （2） （3） 8設(shè)，且關(guān)于的方程有實根的概率為，則_. 解：有實根 .9已知某種電子元件的壽命（以小時計）服從參數(shù)為的指數(shù)分布. 某臺電子儀器內(nèi)裝有5只這種

2、元件，這5只元件中任一只損壞時儀器即停止工作，則儀器能正常工作1000小時以上的概率為_. 解：儀器正常工作時間，則 10設(shè)隨機變量服從上均勻分布，則隨機變量在內(nèi)的密度函數(shù)為_. 解： 當(dāng) 在（0，4）內(nèi)時.11設(shè)二維隨機變量在由和所形成的區(qū)域上服從均勻分布，則關(guān)于的邊緣密度在處的值為_.Dxyoe21 解： 所以或 12設(shè)隨機變量相互獨立且都服從區(qū)間上的均勻分布，則_. 解： 1xy01 13設(shè)隨機變量相互獨立，且，則_. 解： 14設(shè)隨機變量相互獨立，且有相同的概率分布，記 則的概率分布為_. 解： 15設(shè)服從泊松分布. （1）若，則_；（2）若，則_. 解： （1） （2） 16設(shè)，且，

3、則_. 解： 17設(shè)，且，則_；_. 解： 18設(shè)隨機變量的概率密度為，則_，_，_. 解： ，.19設(shè)表示10次獨立重復(fù)射擊中命中目標(biāo)的次數(shù)，每次射中目標(biāo)的概率為0.4，則的數(shù)學(xué)期望_. 解： 20設(shè)一次試驗成功的概率為，現(xiàn)進行100次獨立重復(fù)試驗，當(dāng)_時，成功次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差的值最大，其最大值為_. 解： ，有最大值為5.21設(shè)服從參數(shù)為的指數(shù)分布，且，則_. 解： . ， 22設(shè)隨機變量的概率密度為 且，則_，_. 解： 解（1）（2）聯(lián)立方程有：.23設(shè)隨機變量同分布，其概率密度為 若，則_. 解： 24一批產(chǎn)品的次品率為0.1，從中任取5件產(chǎn)品，則所取產(chǎn)品中的次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為_，均方差

4、為_. 解：設(shè)表示所取產(chǎn)品的次品數(shù)，則. ，25某盒中有2個白球和3個黑球，10個人依次摸球，每人摸出2個球，然后放回盒中，下一個人再摸，則10個人總共摸到白球數(shù)的數(shù)學(xué)期望為_. 解：設(shè)表示第個人模到白球的個數(shù)，表示10個人總共摸到白球數(shù)，則 26有3個箱子，第個箱子中有個白球，個黑球.今從每個箱子中都任取一球，以表示取出的3個球中白球個數(shù)，則_，_. 解： .27設(shè)二維離散型隨機變量的分布列為 若，_，_. 解： 28設(shè)獨立，且均服從，若，則_，_. 解：. ，. 令 . 29設(shè)隨機變量服從參數(shù)為的泊松分布，且已知，則_. 解： . 30設(shè)隨機變量，記 則_. 解： .Y1Y2 31設(shè)是兩個

5、隨機變量，且，則_. 解： .32設(shè)，則_. 解：， ，常數(shù) .二、 選擇題1設(shè)隨機變量的概率分布為，則（ ）. （A）為任意正實數(shù)； （B）； （C）； （D）. 解： 選.2設(shè)連續(xù)型隨機變量的概率密度和分布函數(shù)分別為和，則下列各式正確的是（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）.解： 選D.3下列函數(shù)可作為概率密度的是（ ）. （A）； （B）； （C） （D） 解：A： 錯. B： 且 選B.4下列函數(shù)中，可作為某個隨機變量的分布函數(shù)的是（ ）. （A）； （B）； （C） （D），其中 解：對A：，但不具有單調(diào)非減性且 A不是. 對B： . 由是單調(diào)非減的 是單調(diào)非減的. . 具

6、有右連續(xù)性. 選B.5設(shè)是隨機變量，其分布函數(shù)分別為，為使是某一隨機變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)值中應(yīng)?。?）. （A）； （B）； （C）； （D）. 解：，只有A滿足 選A6設(shè)隨機變量的概率密度為，且是的分布函數(shù)，則對任意實數(shù)有（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）. 解： 由 選B.7設(shè)隨機變量，其分布函數(shù)和概率密度分別為和，則對任意實數(shù)，下列結(jié)論中成立的是（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）. 解：以為對稱軸對稱. 即 選C.8設(shè)，設(shè)，則（ ）. （A）對任意實數(shù)有； （B）； （C）； （D）只對的個別值才有 解： 選A （or利用對稱性）9設(shè)，則隨著的增大，

7、概率的值（ ）. （A）單調(diào)增大； （B）單調(diào)減少； （C）保持不變； （D）增減不定. 解： 不隨變 選C.10設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為，則的分布函數(shù) 為（ ）. （A）； （B）； （C）； （D） 解： 選C.11設(shè)的概率密度為，則的概率密度為（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）. 解： 選C.12設(shè)隨機變量與相互獨立，其概率分布分別為 則下列式子正確的是（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）. 解：A顯然不對. 選C. 13設(shè)，且與相互獨立，則（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）. 解：且獨立 選B. 14設(shè)隨機變量且滿足，則（ ）. （A）0； （B）1/4

8、； （C）1/2； （D）1. 解：X1X2 選A. 15設(shè)連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為則的數(shù)學(xué)期望為（ ）. （A）2； （B）0； （C）4/3； （D）8/3. 解： 選C. 16已知，則二項分布的參數(shù)為（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）. 解： 選B. 17已知離散型隨機變量的可能值為，且，則對應(yīng)于的概率為（ ）. （A）；（B）； （C）；（D）解： 選A. 18設(shè)，且獨立，記，則_. （A）； （B）； （C）； （D）. 解：且獨立 . . 又獨立正態(tài)變量的線性組合仍為正態(tài)變量， 選C. 19設(shè)，則之值為（ ）.（A）14； （B）6； （C）12； （D）4. 解：，

9、 . 選B.20設(shè)隨機變量的方差存在，則（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）. 解： . 選D. 21設(shè)相互獨立，且均服從參數(shù)為的泊松分布，令，則的數(shù)學(xué)期望為（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）. 解：獨立 選C. 22設(shè)的方差存在，且，則（ ）. （A）； （B）； （C）與獨立； （D）與不獨立. 解： 選B. 23若隨機變量滿足，且，則必有（ ）. （A）獨立； （B）不相關(guān)； （C）； （D）. 解：不相關(guān). 選B. 24設(shè)的方差存在，且不等于0，則是 （ ）. （A）不相關(guān)的充分條件，但不是必要條件； （B）獨立的必要條件，但不是充分條件； （C）不相關(guān)的必要條件

10、，但不是充分條件； （D）獨立的充分必要條件. 解：由與不相關(guān) 是不相關(guān)的充要條件. A、C不對. 由獨立，反之不成立 選B.25設(shè)的相關(guān)系數(shù)，則（ ） （A）與相互獨立； （B）與必不相關(guān)； （C）存在常數(shù)使； （D）存在常數(shù)使. 解：存在使 選C.26如果存在常數(shù)，使，且，那么的相關(guān)系數(shù)為（ ）. （A）1； （B）1； （C）； （D）. 解： ，以概率1成立. 選C. 27設(shè)二維離散型隨機變量的分布律為YX 則（ ）. （A）不獨立； （B）獨立； （C）不相關(guān)； （D）獨立且相關(guān). 解： 與不獨立. 選A.三、 計算題-課后習(xí)題5. 一房間有3扇同樣大小的窗子，其中只有一扇是打開的。

11、有一只鳥自開著的窗子飛入了房間，它只能從開著的窗子飛出去。鳥在房子里飛來飛去，試圖飛出房間。假定鳥是沒有記憶的，鳥飛向各扇窗子是隨機的。（1）以X表示鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，求X的分布律。（2）戶主聲稱，他養(yǎng)的一只鳥，是有記憶的，它飛向任一窗子的嘗試不多于一次。以Y表示這只聰明的鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，如戶主所說是確實的，試求Y的分布律。（3）求試飛次數(shù)X小于Y的概率；求試飛次數(shù)Y小于X的概率。解：（1）X的可能取值為1，2，3，n，P X=n=P 前n1次飛向了另2扇窗子，第n次飛了出去 =， n=1，2，（2）Y的可能取值為1，2，3 P Y=1=P 第1次飛了出去= P Y=2=P

12、第1次飛向 另2扇窗子中的一扇，第2次飛了出去 = P Y=3=P 第1，2次飛向了另2扇窗子，第3次飛了出去 = 同上， 故24. 設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間X（以分計）服從指數(shù)分布，其概率密度為：某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過10分鐘他就離開。他一個月要到銀行5次。以Y表示一個月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，寫出Y的分布律。并求P（Y1）。解：該顧客“一次等待服務(wù)未成而離去”的概率為因此 25 設(shè)K在（0，5）上服從均勻分布，求方程有實根的概率 K的分布密度為：要方程有根，就是要K滿足(4K)24×4× (K+2)0。解不等式，得K2時，方程有實根。28. 由某

13、機器生產(chǎn)的螺栓長度（cm）服從參數(shù)為=10.05，=0.06的正態(tài)分布。規(guī)定長度在范圍10.05±0.12內(nèi)為合格品，求一螺栓為不合格的概率是多少？解：設(shè)螺栓長度為XPX不屬于(10.050.12, 10.05+0.12) =1P (10.050.12<X<10.05+0.12) =1 =1(2)(2) =10.97720.0228 =0.045629. 一工廠生產(chǎn)的電子管的壽命X（以小時計）服從參數(shù)為=160，(未知)的正態(tài)分布，若要求P (120X200=0.80，允許最大為多少？解： P (120X200)=又對標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有(x)=1(x) 上式變?yōu)?解出 再查表

14、，得34 設(shè)隨機變量X在（0，1）上服從均勻分布（1）求Y=eX的分布密度 X的分布密度為：Y=g (X) =eX是單調(diào)增函數(shù)又X=h (Y)=lnY，反函數(shù)存在且 = ming (0), g (1)=min(1, e)=1 maxg (0), g (1)=max(1, e)= e Y的分布密度為：（2）求Y=2lnX的概率密度。 Y= g (X)=2lnX是單調(diào)減函數(shù)又 反函數(shù)存在。且 = ming (0), g (1)=min(+, 0 )=0 =maxg (0), g (1)=max(+, 0 )= + Y的分布密度為：37. 設(shè)X的概率密度為求Y=sin X的概率密度。FY ( y)=P (Yy) =