lecture 1 命題及聯(lián)結(jié)詞

1、第一部分 數(shù)理邏輯 先看著名物理學(xué)家愛因斯坦出過的一道題： 一個土耳其商人想找一個十分聰明的助手協(xié)助他經(jīng)商，有兩人前來應(yīng)聘，這個商人為了試試哪個更聰明些，就把兩個人帶進一間漆黑的屋子里，他打開燈后說：“這張桌子上有五頂帽子，兩頂是紅色的，三頂是黑色的，現(xiàn)在，我把燈關(guān)掉，而且把帽子擺的位置弄亂，然后我們?nèi)齻€人每人摸一頂帽子戴在自己頭上，在我開燈后，請你們盡快說出自己頭上戴的帽子是什么顏色的?！闭f完后，商人將電燈關(guān)掉，然后三人都摸了一頂帽子戴在頭上，同時商人將余下的兩頂帽子藏了起來，接著把燈打開。這時，那兩個應(yīng)試者看到商人頭上戴的是一頂紅帽子，其中一個人便喊道：“我戴的是黑帽子?！?請問這個人說得

2、對嗎？他是怎么推導(dǎo)出來的呢？ 要回答這樣的問題，實際上就是看由一些諸如“商人戴的是紅帽子”這樣的前提能否推出“猜出答案的應(yīng)試者戴的是黑帽子”這樣的結(jié)論來。這又需要經(jīng)歷如下過程： (1) 什么是前提？有哪些前提？ (2) 結(jié)論是什么？ (3) 根據(jù)什么進行推理？ (4) 怎么進行推理？ 下面的第一章，第二章回答第一個問題。第三章回答第二、三個問題。 下圖給出了邏輯部分的知識體系 例例1.1 判斷下列句子是否為命題。 (1) 4是素數(shù)。 (2) 是無理數(shù)。 (3) x大于y。 (4) 月球上有冰。 (5) 2100年元旦是晴天。 (6) 大于嗎？ (7) 請不要吸煙！ (8) 這朵花真美麗?。?(

3、9) 我正在說假話。能判定真假的陳述句稱為命題命題作為命題的陳述句所表達的判斷結(jié)果稱為命題的真值真值，真值只取兩個值：真或假。真值為真的命題稱為真命題真命題，真值為假的命題稱為假命題假命題。 任何命題的真值都是唯一的。 判斷給定句子是否為命題，應(yīng)該分兩步：首先判定它是否為陳述句，其次判斷它是否有唯一的真值。解解: 本題的(9)個句子中，(6)是疑問句，(7)是祈使句，(8)是感嘆句，因而這3個句子都不是命題。剩下的6個句子都是陳述句，但(3)無確定的真值，根據(jù)x,y的不同取值情況它可真可假，即無唯一的真值，因而不是命題。若(9)的真值為真，即“我正在說假話”為真，也就是“我正在說真話”，則又推

4、出(9)的真值應(yīng)為假；反之，若(9)的真值為假，即“我正在說假話”為假，也就是“我正在說假話”，則又推出(9)的真值應(yīng)為真。于是(9)既不為真又不為假，因此它不是命題。像(9)這樣由真推出假，又由假推出真的陳述句稱為悖論。悖論。凡是悖論都不是命題。本例中，只有(1)，(2)，(4)，(5)是命題。(1)為假命題，(2)為真命題。雖然今天我們不知道(4)，(5)的真值，但它們的真值客觀存在，而且是唯一的，將來總會知道(4)的真值，到2100年元旦(5)的真值就真相大白了。羅素悖論羅素悖論 一天，薩維爾村理發(fā)師掛出一塊招牌：“村里所有不自己理發(fā)的男人都由我給他們理發(fā)，我也只給這些人理發(fā)。”于是有人

5、問他：“您的頭發(fā)由誰理呢?”理發(fā)師頓時啞口無言。 因為，如果他給自己理發(fā)，那么他就屬于自己給自己理發(fā)的那類人。但是，招牌上說明他不給這類人理發(fā)，因此他不能自己理。如果由另外一個人給他理發(fā)，他就是不給自己理發(fā)的人，而招牌上明明說他要給所有不自己理發(fā)的男人理發(fā)，因此，他應(yīng)該自己理。由此可見，不管怎樣的推論，理發(fā)師所說的話總是自相矛盾的。例例1.2 是有理數(shù)是不對的； 2是偶素數(shù)； 2或4是素數(shù)； 如果2是素數(shù)，則3也是素數(shù)； 2是素數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)3也是素數(shù)。 全是命題。定義定義1.1 設(shè)p為命題，復(fù)合命題“非p”(或“p的否定”)稱為p的否定式否定式,記作p，符號稱作否定聯(lián)結(jié)詞否定聯(lián)結(jié)詞。并規(guī)定p為真

6、當(dāng)且僅當(dāng)p為假。 定義定義1.2 設(shè)p,q為二命題，復(fù)合命題“p并且q”(或“p與q”)稱為p與q的合取式合取式，記作pq，稱作合取聯(lián)結(jié)詞合取聯(lián)結(jié)詞。并規(guī)定pq為真當(dāng)且僅當(dāng)p與q同時為真。 定義定義1.3 設(shè)p，q為二命題，復(fù)合命題“p或q”稱作p與q的析取析取式式，記作pq，稱作析取聯(lián)結(jié)詞析取聯(lián)結(jié)詞。并規(guī)定pq為假當(dāng)且僅當(dāng)p與q同時為假。 注意注意：按定義1.3在析取式pq中，若p，q都為真，則pq為真。 “或”還有另外一種用法：當(dāng)p，q都為真時，析取起來為假。前者稱為相容或相容或，后者稱為排斥或排斥或(排異或排異或)。例1.3 將下列命題符號化。 (1) 張曉靜愛唱歌或愛聽音樂。 (2)

7、張曉靜是江西人或安徽人。 (3) 張曉靜只能挑選202或203房間。 解解 在解題時，先將原子命題符號化。 (1) p：張曉靜愛唱歌。 q：張曉靜愛聽音樂。 顯然(1)中“或”為相容或，即p與q可以同時為真，符號化為pq. (2) r：張曉靜是江西人。 s：張曉靜是安徽人。 易知，(2)中“或”應(yīng)為排斥或，但r與s不能同時為真，因而也可以符號化為rs. (3) t：張曉靜挑選202房間。 u：張曉靜挑選203房間。 由題意可知，(3)中“或”應(yīng)為排斥或。t，u的聯(lián)合取值情況有四種：同真，同假，一真一假(兩種情況)。如果也符號化為tu，張曉靜就可能同時得到兩個房間，這違背題意。因而不能符號化為t

8、u.如何達到只能挑一個房間的要求呢？可以使用多個聯(lián)結(jié)詞，符號化為 (tu)(tu)定義定義1.4 設(shè)p，q為二命題，復(fù)合命題“如果p，則q”稱作p與q的蘊涵式蘊涵式，記作pq，稱作蘊涵聯(lián)結(jié)詞蘊涵聯(lián)結(jié)詞。并規(guī)定pq為假當(dāng)且僅當(dāng)p為真q為假。 注意： 在使用聯(lián)結(jié)詞時，要特別注意以下幾點： 1在自然語言里，特別是在數(shù)學(xué)中，q是p的必要條件有許多不同的敘述方式。例如，“只要p，就q”，“因為p，所以q”，“p僅當(dāng)q”，“只有q才p”，“除非q才p”，“除非q，否則非p”等等。以上各種敘述方式表面看來有所不同，但都表達的是q是p的必要條件，因而所用聯(lián)結(jié)詞均應(yīng)符號化為，上述各種敘述方式都應(yīng)符號化為pq.

9、2在自然語言中，“如果p，則q”中的前件p與后件q往往具有某種內(nèi)在聯(lián)系。而在數(shù)理邏輯中，p與q可以無任何內(nèi)在聯(lián)系。 3在數(shù)學(xué)或其它自然科學(xué)中，“如果p，則q”往往表達的是前件p為真，后件q也為真的推理關(guān)系。但在數(shù)理邏輯中，作為一種規(guī)定，當(dāng)p為假時，無論q是真是假，pq均為真。也就是說，只有p為真q為假這一種情況使得復(fù)合命題pq為假。 定義定義1.5 設(shè)p，q為二命題，復(fù)合命題“p當(dāng)且僅當(dāng)q”稱作p與q的等價式等價式，記作pq，稱作等價聯(lián)結(jié)詞等價聯(lián)結(jié)詞。并規(guī)定pq為真當(dāng)且僅當(dāng)p與q同時為真或同時為假。 以上定義了五種最基本、最常用、也是最重要的聯(lián)結(jié)詞，將它們組成一個集合，稱為一個聯(lián)結(jié)詞集。其中為一元聯(lián)結(jié)詞，其余的都是二元聯(lián)結(jié)詞。 通常用1表示真，用0表示假，復(fù)合命題的真假值如表1.1。 表1.1 基本復(fù)合命題的真值 聯(lián)結(jié)詞可以嵌套使用，在嵌套使用時，規(guī)定如下優(yōu)先順序： ( )，對于同一優(yōu)先級的聯(lián)結(jié)詞