求數(shù)列通項公式的11種方法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上求數(shù)列通項公式的11種方法方法總述：一利用遞推關(guān)系式求數(shù)列通項的11種方法：累加法、累乘法、待定系數(shù)法、階差法（逐差法）、迭代法、對數(shù)變換法、倒數(shù)變換法、換元法（目的是去遞推關(guān)系式中出現(xiàn)的根號）、數(shù)學(xué)歸納法（少用）不動點法（遞推式是一個數(shù)列通項的分式表達式）、特征根法二四種基本數(shù)列：等差數(shù)列、等比數(shù)列、等和數(shù)列、等積數(shù)列及其廣義形式。等差數(shù)列、等比數(shù)列的求通項公式的方法是：累加和累乘，這二種方法是求數(shù)列通項公式的最基本方法。三求數(shù)列通項的方法的基本思路是：把所求數(shù)列通過變形，代換轉(zhuǎn)化為等級差數(shù)列或等比數(shù)列。四求數(shù)列通項的基本方法是：累加法和累乘法。五數(shù)列的本質(zhì)是一個函

2、數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個函數(shù)。一、累加法1適用于：-這是廣義的等差數(shù)列累加法是最基本的二個方法之一。2若，則兩邊分別相加得例1已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由得則所以數(shù)列的通項公式為。例2已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解法一：由得則所以解法二：兩邊除以，得，則，故因此，則練習(xí)1.已知數(shù)列的首項為1，且寫出數(shù)列的通項公式.答案：練習(xí)2.已知數(shù)列滿足，求此數(shù)列的通項公式.答案：裂項求和評注：已知,，其中f(n)可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項.若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和;若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和;若f(n)

3、是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項求和。例3.已知數(shù)列中,且,求數(shù)列的通項公式.解:由已知得,化簡有,由類型(1)有,又得,所以,又,則此題也可以用數(shù)學(xué)歸納法來求解.二、累乘法1.適用于：-這是廣義的等比數(shù)列累乘法是最基本的二個方法之二。2若，則兩邊分別相乘得，例4已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：因為，所以，則，故所以數(shù)列的通項公式為例5.設(shè)是首項為1的正項數(shù)列，且（=1，2，3，），則它的通項公式是=_.解：已知等式可化為：()(n+1),即時，=.評注：本題是關(guān)于和的二次齊次式，可以通過因式分解（一般情況時用求根公式）得到與的更為

4、明顯的關(guān)系式，從而求出.練習(xí).已知,求數(shù)列an的通項公式.答案：-1.評注：本題解題的關(guān)鍵是把原來的遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若令,則問題進一步轉(zhuǎn)化為形式，進而應(yīng)用累乘法求出數(shù)列的通項公式.三、待定系數(shù)法適用于基本思路是轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，而數(shù)列的本質(zhì)是一個函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個函數(shù)。1形如,其中)型（1）若c=1時，數(shù)列為等差數(shù)列;（2）若d=0時，數(shù)列為等比數(shù)列;（3）若時，數(shù)列為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來求.待定系數(shù)法：設(shè),得,與題設(shè)比較系數(shù)得,所以所以有：因此數(shù)列構(gòu)成以為首項，以c為公比的等比數(shù)列，所以即：.規(guī)律：將遞推關(guān)系化為,構(gòu)造成公比為c的等比數(shù)列從而

5、求得通項公式逐項相減法（階差法）：有時我們從遞推關(guān)系中把n換成n-1有,兩式相減有從而化為公比為c的等比數(shù)列,進而求得通項公式.,再利用類型(1)即可求得通項公式.我們看到此方法比較復(fù)雜.例6已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項公式。解法一：又是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，即解法二：兩式相減得，故數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，再用累加法的練習(xí)已知數(shù)列中，求通項。答案：2形如：(其中q是常數(shù)，且n0,1)若p=1時，即：，累加即可.若時，即：，求通項方法有以下三種方向：i.兩邊同除以.目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列即：,令，則,然后類型1，累加求通項.ii.兩邊同除以.目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列

6、。即：,令,則可化為.然后轉(zhuǎn)化為類型5來解，iii.待定系數(shù)法：目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列設(shè).通過比較系數(shù)，求出，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項.注意：應(yīng)用待定系數(shù)法時，要求pq，否則待定系數(shù)法會失效。例7已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解法一（待定系數(shù)法）：設(shè)，比較系數(shù)得，則數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，所以，即解法二（兩邊同除以）：兩邊同時除以得：，下面解法略解法三（兩邊同除以）：兩邊同時除以得：，下面解法略練習(xí).（2003天津理）設(shè)為常數(shù)，且證明對任意1，；3形如(其中k,b是常數(shù)，且)方法1：逐項相減法（階差法）方法2：待定系數(shù)法通過湊配可轉(zhuǎn)化為;解題基本步驟：1、確定=kn+b2、設(shè)等

7、比數(shù)列，公比為p3、列出關(guān)系式,即4、比較系數(shù)求x,y5、解得數(shù)列的通項公式6、解得數(shù)列的通項公式例8在數(shù)列中，求通項.（逐項相減法）解：，時，兩式相減得.令,則利用類型5的方法知即再由累加法可得.亦可聯(lián)立解出.例9.在數(shù)列中，,求通項.（待定系數(shù)法）解：原遞推式可化為比較系數(shù)可得：x=-6,y=9,上式即為所以是一個等比數(shù)列，首項,公比為.即：故.4形如(其中a,b,c是常數(shù)，且)基本思路是轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，而數(shù)列的本質(zhì)是一個函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個函數(shù)。例10已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設(shè)比較系數(shù)得，所以由，得則，故數(shù)列為以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，因此，則。5.形如時將作

8、為求解分析：原遞推式可化為的形式，比較系數(shù)可求得，數(shù)列為等比數(shù)列。例11已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設(shè)比較系數(shù)得或，不妨取，（取-3結(jié)果形式可能不同，但本質(zhì)相同）則，則是首項為4，公比為3的等比數(shù)列，所以練習(xí).數(shù)列中，若,且滿足,求.答案：.四、迭代法(其中p,r為常數(shù))型例12已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：因為，所以又，所以數(shù)列的通項公式為。注：本題還可綜合利用累乘法和對數(shù)變換法求數(shù)列的通項公式。例13.（2005江西卷）已知數(shù)列，（1）證明（2）求數(shù)列的通項公式an.解：（1）略（2）所以又bn=1，所以.方法2：本題用歸納-猜想-證明，也很簡捷，請試一試.解法3：設(shè)c，則c

9、,轉(zhuǎn)化為上面類型（1）來解五、對數(shù)變換法適用于(其中p,r為常數(shù))型p>0，例14.設(shè)正項數(shù)列滿足，（n2）.求數(shù)列的通項公式.解：兩邊取對數(shù)得：，設(shè)，則是以2為公比的等比數(shù)列，練習(xí)數(shù)列中，（n2），求數(shù)列的通項公式.答案：例15已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：因為，所以。兩邊取常用對數(shù)得設(shè)（同類型四）比較系數(shù)得，由，得，所以數(shù)列是以為首項，以5為公比的等比數(shù)列，則，因此則。六、倒數(shù)變換法適用于分式關(guān)系的遞推公式，分子只有一項例16已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：求倒數(shù)得為等差數(shù)列，首項，公差為，七、換元法適用于含根式的遞推關(guān)系例17已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：令，則代入

10、得即因為，則，即，可化為，所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，因此，則，即，得。八、數(shù)學(xué)歸納法通過首項和遞推關(guān)系式求出數(shù)列的前n項，猜出數(shù)列的通項公式，再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。例18已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由及，得由此可猜測，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論。（1）當(dāng)時，所以等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)時等式成立，即，則當(dāng)時，由此可知，當(dāng)時等式也成立。根據(jù)（1），（2）可知，等式對任何都成立。九、階差法（逐項相減法）1、遞推公式中既有，又有分析：把已知關(guān)系通過轉(zhuǎn)化為數(shù)列或的遞推關(guān)系，然后采用相應(yīng)的方法求解。例19已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，且前n項和滿足，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式。解：對任

11、意有當(dāng)n=1時，解得或當(dāng)n2時，-整理得：各項均為正數(shù)，當(dāng)時，此時成立當(dāng)時，此時不成立，故舍去所以練習(xí)。已知數(shù)列中,且,求數(shù)列的通項公式.答案：2、對無窮遞推數(shù)列例20已知數(shù)列滿足，求的通項公式。解：因為所以用式式得則故所以由，則，又知，則，代入得。所以，的通項公式為十、不動點法目的是將遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比（差）數(shù)列的方法不動點的定義：函數(shù)的定義域為，若存在，使成立，則稱為的不動點或稱為函數(shù)的不動點。分析：由求出不動點，在遞推公式兩邊同時減去，在變形求解。類型一：形如例21已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項公式。解：遞推關(guān)系是對應(yīng)得遞歸函數(shù)為，由得，不動點為-1，類型二：形如分析：遞歸函數(shù)為（1）若有兩個

12、相異的不動點p,q時，將遞歸關(guān)系式兩邊分別減去不動點p,q，再將兩式相除得，其中，（2）若有兩個相同的不動點p，則將遞歸關(guān)系式兩邊減去不動點p，然后用1除，得，其中。例22.設(shè)數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式.分析：此類問題常用參數(shù)法化等比數(shù)列求解.解：對等式兩端同時加參數(shù)t,得：,令,解之得t=1,-2代入得,相除得,即是首項為，公比為的等比數(shù)列,=,解得.方法2：，兩邊取倒數(shù)得，令b，則b,轉(zhuǎn)化為累加法來求.例23已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：令，得，則是函數(shù)的兩個不動點。因為。所以數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，故，則。練習(xí)1：已知滿足，求的通項答案：練習(xí)2。已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通

13、項答案：練習(xí)3.（2009陜西卷文）已知數(shù)列滿足，.令，證明：是等比數(shù)列；()求的通項公式。答案：（1）是以1為首項，為公比的等比數(shù)列。（2）。十一：特征方程法形如是常數(shù)）的數(shù)列（已知a1;a2)形如是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項，其特征方程為若有二異根，則可令是待定常數(shù)）若有二重根，則可令是待定常數(shù)）再利用可求得，進而求得例24已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項解：其特征方程為，解得，令，由，得，例25已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項解：其特征方程為，解得，令，由，得，練習(xí)1已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項練習(xí)2已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項說明：(1)若方程有兩不同的解s,t,則,由等比數(shù)列性質(zhì)可得

14、,由上兩式消去可得.(2)若方程有兩相等的解，則，,即是等差數(shù)列，由等差數(shù)列性質(zhì)可知，所以例26、數(shù)列滿足，且求數(shù)列的通項。解：令，解得，將它們代回得，÷，得,則，數(shù)列成等比數(shù)列，首項為1，公比q=2所以，則，十二、四種基本數(shù)列1形如型等差數(shù)列的廣義形式，見累加法。2.形如型等比數(shù)列的廣義形式，見累乘法。3.形如型（1）若（d為常數(shù)），則數(shù)列為“等和數(shù)列”，它是一個周期數(shù)列，周期為2，其通項分奇數(shù)項和偶數(shù)項來討論;（2）若f(n)為n的函數(shù)（非常數(shù)）時，可通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為型，通過累加來求出通項;或用逐差法(兩式相減)得，分奇偶項來分求通項.例27.數(shù)列滿足,求數(shù)列an的通項公式.分析1：構(gòu)造轉(zhuǎn)化為型解法1：令則.時,各式相加:當(dāng)n為偶數(shù)時，.此時當(dāng)n為奇數(shù)時，此時,所以.故解法2：時，兩式相減得：.構(gòu)成以,為首項，以2為公差的等差數(shù)列;構(gòu)成以,為首項，以