高中數(shù)學(xué)解題思想方法全部?jī)?nèi)容

1、目 錄前言 2第一章 高中數(shù)學(xué)解題基本方法 3一、 配方法 3 二、 換元法 7三、 待定系數(shù)法 14四、 定義法 19五、 數(shù)學(xué)歸納法 23六、 參數(shù)法 28七、 反證法 32八、 消去法 九、 分析與綜合法 十、 特殊與一般法 十一、 類比與歸納法 十二、 觀察與實(shí)驗(yàn)法 第二章 高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想 35一、 數(shù)形結(jié)合思想 35二、 分類討論思想 41三、 函數(shù)與方程思想 47四、 轉(zhuǎn)化（化歸）思想 54第三章 高考熱點(diǎn)問(wèn)題和解題策略 59一、 應(yīng)用問(wèn)題 59二、 探索性問(wèn)題 65三、 選擇題解答策略 71四、 填空題解答策略 77附錄 一、 高考數(shù)學(xué)試卷分析 二、 兩套高考模擬試卷 三

2、、 參考答案 前 言美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)過(guò)，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題。而當(dāng)我們解題時(shí)遇到一個(gè)新問(wèn)題，總想用熟悉的題型去“套”，這只是滿足于解出來(lái)，只有對(duì)數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法理解透徹及融會(huì)貫通時(shí)，才能提出新看法、巧解法。高考試題十分重視對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過(guò)程都蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法。我們要有意識(shí)地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法去分析問(wèn)題解決問(wèn)題，形成能力，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，使自己具有數(shù)學(xué)頭腦和眼光。高考試題主要從以下幾個(gè)方面對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行考查： 常用數(shù)學(xué)方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法等； 數(shù)學(xué)邏輯方法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、

3、演繹法等； 數(shù)學(xué)思維方法：觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、類比、歸納和演繹等； 常用數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想等。數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)相比較，它有較高的地位和層次。數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)內(nèi)容，可以用文字和符號(hào)來(lái)記錄和描述，隨著時(shí)間的推移，記憶力的減退，將來(lái)可能忘記。而數(shù)學(xué)思想方法則是一種數(shù)學(xué)意識(shí)，只能夠領(lǐng)會(huì)和運(yùn)用，屬于思維的范疇，用以對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)、處理和解決，掌握數(shù)學(xué)思想方法，不是受用一陣子，而是受用一輩子，即使數(shù)學(xué)知識(shí)忘記了，數(shù)學(xué)思想方法也還是對(duì)你起作用。數(shù)學(xué)思想方法中，數(shù)學(xué)基本方法是數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)的行為，具有模式化與可操

4、作性的特征，可以選用作為解題的具體手段。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，它與數(shù)學(xué)基本方法常常在學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)獲得?？梢哉f(shuō)，“知識(shí)”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”。為了幫助學(xué)生掌握解題的金鑰匙，掌握解題的思想方法，本書先是介紹高考中常用的數(shù)學(xué)基本方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法、反證法、分析與綜合法、特殊與一般法、類比與歸納法、觀察與實(shí)驗(yàn)法，再介紹高考中常用的數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想。最后談?wù)劷忸}中的有關(guān)策略和高考中的幾個(gè)熱點(diǎn)

5、問(wèn)題，并在附錄部分提供了近幾年的高考試卷。在每節(jié)的內(nèi)容中，先是對(duì)方法或者問(wèn)題進(jìn)行綜合性的敘述，再以三種題組的形式出現(xiàn)。再現(xiàn)性題組是一組簡(jiǎn)單的選擇填空題進(jìn)行方法的再現(xiàn)，示范性題組進(jìn)行詳細(xì)的解答和分析，對(duì)方法和問(wèn)題進(jìn)行示范。鞏固性題組旨在檢查學(xué)習(xí)的效果，起到鞏固的作用。每個(gè)題組中習(xí)題的選取，又盡量綜合到代數(shù)、三角、幾何幾個(gè)部分重要章節(jié)的數(shù)學(xué)知識(shí)。編者：東升高中 高建彪fggj一章 高中數(shù)學(xué)解題基本方法一、 配方法配方法是對(duì)數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向變形（配成“完全平方”）的技巧，通過(guò)配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡(jiǎn)。何時(shí)配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測(cè)，并且合理運(yùn)用“裂項(xiàng)”與“添

6、項(xiàng)”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時(shí)也將其稱為“湊配法”。最常見的配方是進(jìn)行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解，或者缺xy項(xiàng)的二次曲線的平移變換等問(wèn)題。配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項(xiàng)完全平方公式(ab)a2abb，將這個(gè)公式靈活運(yùn)用，可得到各種基本配方形式，如：ab(ab)2ab(ab)2ab；aabb(ab)ab(ab)3ab(a)（b）；abcabbcca(ab)(bc)(ca)abc(abc)2(abbcca)(abc)2(abbcca)結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識(shí)和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式，如

7、：1sin212sincos（sincos）；x(x)2(x)2 ； 等等。、再現(xiàn)性題組：1. 在正項(xiàng)等比數(shù)列a中，asa+2asa+aa=25，則 aa_。2. 方程xy4kx2y5k0表示圓的充要條件是_。 A. <k<1 B. k<或k>1 C. kR D. k或k13. 已知sincos1，則sincos的值為_。 A. 1 B. 1 C. 1或1 D. 04. 函數(shù)ylog (2x5x3)的單調(diào)遞增區(qū)間是_。 A. （, B. ,+) C. (, D. ,3)5. 已知方程x+(a-2)x+a-1=0的兩根x、x，則點(diǎn)P(x,x)在圓x+y=4上，則實(shí)數(shù)a_。

8、【簡(jiǎn)解】 1小題：利用等比數(shù)列性質(zhì)aaa，將已知等式左邊后配方（aa）易求。答案是：5。 2小題：配方成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式(xa)(yb)r，解r>0即可，選B。 3小題：已知等式經(jīng)配方成(sincos)2sincos1，求出sincos，然后求出所求式的平方值，再開方求解。選C。4小題：配方后得到對(duì)稱軸，結(jié)合定義域和對(duì)數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解。選D。5小題：答案3。、示范性題組：例1. 已知長(zhǎng)方體的全面積為11，其12條棱的長(zhǎng)度之和為24，則這個(gè)長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)為_。 A. 2 B. C. 5 D. 6【分析】 先轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)表達(dá)式：設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高分別為x,y,z，則 ,而欲求對(duì)角

9、線長(zhǎng)，將其配湊成兩已知式的組合形式可得。【解】設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高分別為x,y,z，由已知“長(zhǎng)方體的全面積為11，其12條棱的長(zhǎng)度之和為24”而得：。長(zhǎng)方體所求對(duì)角線長(zhǎng)為：5所以選B?！咀ⅰ勘绢}解答關(guān)鍵是在于將兩個(gè)已知和一個(gè)未知轉(zhuǎn)換為三個(gè)數(shù)學(xué)表示式，觀察和分析三個(gè)數(shù)學(xué)式，容易發(fā)現(xiàn)使用配方法將三個(gè)數(shù)學(xué)式進(jìn)行聯(lián)系，即聯(lián)系了已知和未知，從而求解。這也是我們使用配方法的一種解題模式。例2. 設(shè)方程xkx2=0的兩實(shí)根為p、q，若()+()7成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。【解】方程xkx2=0的兩實(shí)根為p、q，由韋達(dá)定理得：pqk，pq2 ,()+()7， 解得k或k 。又 p、q為方程xkx2=0的兩實(shí)根， k

10、80即k2或k2綜合起來(lái)，k的取值范圍是：k 或者 k?！咀ⅰ?關(guān)于實(shí)系數(shù)一元二次方程問(wèn)題，總是先考慮根的判別式“”；已知方程有兩根時(shí)，可以恰當(dāng)運(yùn)用韋達(dá)定理。本題由韋達(dá)定理得到pq、pq后，觀察已知不等式，從其結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到先通分后配方，表示成pq與pq的組合式。假如本題不對(duì)“”討論，結(jié)果將出錯(cuò)，即使有些題目可能結(jié)果相同，去掉對(duì)“”的討論，但解答是不嚴(yán)密、不完整的，這一點(diǎn)我們要尤為注意和重視。例3. 設(shè)非零復(fù)數(shù)a、b滿足aabb=0，求()() 。【分析】 對(duì)已知式可以聯(lián)想：變形為()()10，則 （為1的立方虛根）；或配方為(ab)ab 。則代入所求式即得?！窘狻坑蒩abb=0變形得：()(

11、)10 ，設(shè)，則10，可知為1的立方虛根，所以：，1。又由aabb=0變形得：(ab)ab ，所以 ()()()()()()2 。【注】 本題通過(guò)配方，簡(jiǎn)化了所求的表達(dá)式；巧用1的立方虛根，活用的性質(zhì)，計(jì)算表達(dá)式中的高次冪。一系列的變換過(guò)程，有較大的靈活性，要求我們善于聯(lián)想和展開。【另解】由aabb0變形得：()()10 ，解出后，化成三角形式，代入所求表達(dá)式的變形式()()后，完成后面的運(yùn)算。此方法用于只是未聯(lián)想到時(shí)進(jìn)行解題。假如本題沒有想到以上一系列變換過(guò)程時(shí)，還可由aabb0解出：ab，直接代入所求表達(dá)式，進(jìn)行分式化簡(jiǎn)后，化成復(fù)數(shù)的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的計(jì)算。、鞏固性題組：1

12、. 函數(shù)y(xa)(xb) （a、b為常數(shù)）的最小值為_。A. 8 B. C. D.最小值不存在2. 、是方程x2axa60的兩實(shí)根，則(-1) +(-1)的最小值是_。A. B. 8 C. 18 D.不存在3. 已知x、yR，且滿足x3y10，則函數(shù)t28有_。A.最大值2 B.最大值 C.最小值2 B.最小值4. 橢圓x2ax3ya60的一個(gè)焦點(diǎn)在直線xy40上，則a_。A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 2或65. 化簡(jiǎn)：2的結(jié)果是_。A. 2sin4 B. 2sin44cos4 C. 2sin4 D. 4cos42sin4 6. 設(shè)F和F為雙曲線y1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足

13、FPF90°，則FPF的面積是_。7. 若x>1，則f(x)x2x的最小值為_。8. 已知<，cos(-)，sin(+)，求sin2的值。(92年高考題)9. 設(shè)二次函數(shù)f(x)AxBxC，給定m、n（m<n）,且滿足A(m+n)+ mn2AB(m+n)CmnBC0 。 解不等式f(x)>0； 是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)t，使當(dāng)t(m+t,n-t)時(shí)，f(x)<0 ？若不存在，說(shuō)出理由；若存在，指出t的取值范圍。10. 設(shè)s>1，t>1，mR，xlogtlogs，ylogtlogsm(logtlogs), 將y表示為x的函數(shù)yf(x)，并求出f(x)的

14、定義域； 若關(guān)于x的方程f(x)0有且僅有一個(gè)實(shí)根，求m的取值范圍。二、換元法解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過(guò)引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來(lái)，隱含的條件顯露出來(lái)，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái)?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化。它可以化高次為低次、化分式為整式、化無(wú)理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、

15、數(shù)列、三角等問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用。換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來(lái)代替它從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，當(dāng)然有時(shí)候要通過(guò)變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4220，先變形為設(shè)2t（t>0），而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問(wèn)題。三角換元，應(yīng)用于去根號(hào)，或者變換為三角形式易求時(shí)，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識(shí)中有某點(diǎn)聯(lián)系進(jìn)行換元。如求函數(shù)y的值域時(shí)，易發(fā)現(xiàn)x0,1，設(shè)xsin ，0,，問(wèn)題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會(huì)想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號(hào)的需要。如變量x、y適合條件xyr（r&g

16、t;0）時(shí)，則可作三角代換xrcos、yrsin化為三角問(wèn)題。均值換元，如遇到xyS形式時(shí)，設(shè)xt，yt等等。我們使用換元法時(shí)，要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對(duì)應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴(kuò)大。如上幾例中的t>0和0,。、再現(xiàn)性題組：1.ysinx·cosxsinx+cosx的最大值是_。2.設(shè)f(x1)log(4x) （a>1），則f(x)的值域是_。3.已知數(shù)列a中，a1，a·aaa，則數(shù)列通項(xiàng)a_。4.設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足x2xy10，則xy的取值范圍是_。5.方程3的解是_。6.不等式log(2

17、1) ·log(22)2的解集是_?！竞?jiǎn)解】1小題：設(shè)sinx+cosxt,，則yt，對(duì)稱軸t1，當(dāng)t，y；2小題：設(shè)x1t (t1)，則f(t)log-(t-1)4，所以值域?yàn)?,log4；3小題：已知變形為1,設(shè)b，則b1,b1(n1)(-1)n，所以a；4小題：設(shè)xyk，則x2kx10, 4k40,所以k1或k1；5小題：設(shè)3y，則3y2y10,解得y，所以x1；6小題：設(shè)log(21)y，則y(y1)<2，解得2<y<1，所以x(log,log3)。、示范性題組：例1. 實(shí)數(shù)x、y滿足4x5xy4y5 （ 式） ，設(shè)Sxy，求的值。（93年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題

18、）【分析】 由Sxy聯(lián)想到cossin1,于是進(jìn)行三角換元，設(shè)代入式求S和S的值?！窘狻吭O(shè)代入式得： 4S5S·sincos5 解得 S ； -1sin21 385sin213 此種解法后面求S最大值和最小值，還可由sin2的有界性而求，即解不等式：|1。這種方法是求函數(shù)值域時(shí)經(jīng)常用到的“有界法”?！玖斫狻?由Sxy，設(shè)xt，yt，t， 則xy±代入式得：4S±5=5， 移項(xiàng)平方整理得 100t+39S160S1000 。 39S160S1000 解得：S 【注】 此題第一種解法屬于“三角換元法”，主要是利用已知條件Sxy與三角公式cossin1的聯(lián)系而聯(lián)想和發(fā)現(xiàn)

19、用三角換元，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域問(wèn)題。第二種解法屬于“均值換元法”，主要是由等式Sxy而按照均值換元的思路，設(shè)xt、yt，減少了元的個(gè)數(shù)，問(wèn)題且容易求解。另外，還用到了求值域的幾種方法：有界法、不等式性質(zhì)法、分離參數(shù)法。和“均值換元法”類似，我們還有一種換元法，即在題中有兩個(gè)變量x、y時(shí)，可以設(shè)xab，yab，這稱為“和差換元法”，換元后有可能簡(jiǎn)化代數(shù)式。本題設(shè)xab，yab，代入式整理得3a13b5 ，求得a0,，所以S(ab)(ab)2(ab)a,，再求的值。例2 ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足：AC2B，求cos的值。（96年全國(guó)理）【分析】 由已知“AC2B”和“三角形內(nèi)角和等

20、于180°”的性質(zhì)，可得 ；由“AC120°”進(jìn)行均值換元，則設(shè) ，再代入可求cos即cos。【解】由ABC中已知AC2B，可得 ,由AC120°，設(shè)，代入已知等式得：2,解得：cos， 即：cos。【另解】由AC2B，得AC120°，B60°。所以2，設(shè)m，m ，所以cosA，cosC，兩式分別相加、相減得：cosAcosC2coscoscos，cosAcosC2sinsinsin，即：sin，代入sincos1整理得：3m16m120,解出m6，代入cos?！咀ⅰ?本題兩種解法由“AC120°”、“2”分別進(jìn)行均值換元，隨后結(jié)合三

21、角形角的關(guān)系與三角公式進(jìn)行運(yùn)算，除由已知想到均值換元外，還要求對(duì)三角公式的運(yùn)用相當(dāng)熟練。假如未想到進(jìn)行均值換元，也可由三角運(yùn)算直接解出：由AC2B，得AC120°，B60°。所以2，即cosAcosC2cosAcosC，和積互化得：2coscoscos(A+C)cos(A-C)，即coscos(A-C)(2cos1)，整理得：4cos2cos30,解得：cos y , , x例3. 設(shè)a>0，求f(x)2a(sinxcosx)sinx·cosx2a的最大值和最小值?！窘狻?設(shè)sinxcosxt，則t-,，由(sinxcosx)12sinx·cosx

22、得：sinx·cosx f(x)g(t)(t2a) （a>0），t-,t-時(shí)，取最小值：2a2a當(dāng)2a時(shí)，t，取最大值：2a2a ；當(dāng)0<2a時(shí)，t2a，取最大值： 。 f(x)的最小值為2a2a，最大值為?！咀ⅰ?此題屬于局部換元法，設(shè)sinxcosxt后，抓住sinxcosx與sinx·cosx的內(nèi)在聯(lián)系，將三角函數(shù)的值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問(wèn)題，使得容易求解。換元過(guò)程中一定要注意新的參數(shù)的范圍（t-,）與sinxcosx對(duì)應(yīng)，否則將會(huì)出錯(cuò)。本題解法中還包含了含參問(wèn)題時(shí)分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，即由對(duì)稱軸與閉區(qū)間的位置關(guān)系而確定參數(shù)分兩種情況進(jìn)行

23、討論。一般地，在遇到題目已知和未知中含有sinx與cosx的和、差、積等而求三角式的最大值和最小值的題型時(shí)，即函數(shù)為f(sinx±cosx，sinxcsox)，經(jīng)常用到這樣設(shè)元的換元法，轉(zhuǎn)化為在閉區(qū)間上的二次函數(shù)或一次函數(shù)的研究。例4. 設(shè)對(duì)所于有實(shí)數(shù)x，不等式xlog2x loglog>0恒成立，求a的取值范圍。（87年全國(guó)理）【分析】不等式中l(wèi)og、 log、log三項(xiàng)有何聯(lián)系？進(jìn)行對(duì)數(shù)式的有關(guān)變形后不難發(fā)現(xiàn)，再實(shí)施換元法。【解】 設(shè)logt，則loglog3log3log3t，log2log2t，代入后原不等式簡(jiǎn)化為（3t）x2tx2t>0，它對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，所

24、以：，解得 t<0即log<00<<1，解得0<a<1?！咀ⅰ繎?yīng)用局部換元法，起到了化繁為簡(jiǎn)、化難為易的作用。為什么會(huì)想到換元及如何設(shè)元，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)已知不等式中l(wèi)og、 log、log三項(xiàng)之間的聯(lián)系。在解決不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，使用了“判別式法”。另外，本題還要求對(duì)數(shù)運(yùn)算十分熟練。一般地，解指數(shù)與對(duì)數(shù)的不等式、方程，有可能使用局部換元法，換元時(shí)也可能要對(duì)所給的已知條件進(jìn)行適當(dāng)變形，發(fā)現(xiàn)它們的聯(lián)系而實(shí)施換元，這是我們思考解法時(shí)要注意的一點(diǎn)。例5. 已知，且 (式)，求的值?！窘狻?設(shè)k，則sinkx，cosky，且sincosk(x+y)1,代入式得： 即：設(shè)t

25、，則t , 解得：t3或 ±或±【另解】 由tg，將等式兩邊同時(shí)除以，再表示成含tg的式子：1tgtg，設(shè)tgt，則3t10t30，t3或， 解得±或±?！咀ⅰ?第一種解法由而進(jìn)行等量代換，進(jìn)行換元，減少了變量的個(gè)數(shù)。第二種解法將已知變形為，不難發(fā)現(xiàn)進(jìn)行結(jié)果為tg，再進(jìn)行換元和變形。兩種解法要求代數(shù)變形比較熟練。在解高次方程時(shí)，都使用了換元法使方程次數(shù)降低。例6. 實(shí)數(shù)x、y滿足1，若xyk>0恒成立，求k的范圍?！痉治觥坑梢阎獥l件1，可以發(fā)現(xiàn)它與ab1有相似之處，于是實(shí)施三角換元?！窘狻坑?，設(shè)cos，sin，即： 代入不等式xyk>0得：

26、3cos4sink>0，即k<3cos4sin5sin(+) 所以k<-5時(shí)不等式恒成立?！咀ⅰ勘绢}進(jìn)行三角換元，將代數(shù)問(wèn)題（或者是解析幾何問(wèn)題）化為了含參三角不等式恒成立的問(wèn)題，再運(yùn)用“分離參數(shù)法”轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問(wèn)題，從而求出參數(shù)范圍。一般地，在遇到與圓、橢圓、雙曲線的方程相似的代數(shù)式時(shí)，或者在解決圓、橢圓、雙曲線等有關(guān)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常使用“三角換元法”。 y x xyk>0 k 平面區(qū)域本題另一種解題思路是使用數(shù)形結(jié)合法的思想方法：在平面直角坐標(biāo)系，不等式axbyc>0 (a>0)所表示的區(qū)域?yàn)橹本€axbyc0所分平面成兩部分中含x軸正方向的一部分。此

27、題不等式恒成立問(wèn)題化為圖形問(wèn)題：橢圓上的點(diǎn)始終位于平面上xyk>0的區(qū)域。即當(dāng)直線xyk0在與橢圓下部相切的切線之下時(shí)。當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，方程組有相等的一組實(shí)數(shù)解，消元后由0可求得k3,所以k<-3時(shí)原不等式恒成立。、鞏固性題組：1. 已知f(x)lgx (x>0)，則f(4)的值為_。A. 2lg2 B. lg2 C. lg2 D. lg42. 函數(shù)y(x1)2的單調(diào)增區(qū)間是_。A. -2,+) B. -1,+) D. (-,+) C. (-,-13. 設(shè)等差數(shù)列a的公差d，且S145，則aaaa的值為_。A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.54. 已知x

28、4y4x，則xy的范圍是_。5. 已知a0，b0，ab1，則的范圍是_。6. 不等式>ax的解集是(4,b)，則a_，b_。7. 函數(shù)y2x的值域是_。8. 在等比數(shù)列a中，aaa2，aaa12，求aaa。 y D C A B O x9. 實(shí)數(shù)m在什么范圍內(nèi)取值，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式sinx2mcosx4m1<0恒成立。10. 已知矩形ABCD，頂點(diǎn)C(4,4)，A點(diǎn)在曲線xy2 (x>0,y>0)上移動(dòng)，且AB、AD始終平行x軸、y軸，求矩形ABCD的最小面積。 三、待定系數(shù)法要確定變量間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)出某些未知系數(shù)，然后根據(jù)所給條件來(lái)確定這些未知系數(shù)的方法叫待定系數(shù)

29、法，其理論依據(jù)是多項(xiàng)式恒等，也就是利用了多項(xiàng)式f(x)g(x)的充要條件是：對(duì)于一個(gè)任意的a值，都有f(a)g(a)；或者兩個(gè)多項(xiàng)式各同類項(xiàng)的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等。待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知，正確列出等式或方程。使用待定系數(shù)法，就是把具有某種確定形式的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組來(lái)解決，要判斷一個(gè)問(wèn)題是否用待定系數(shù)法求解，主要是看所求解的數(shù)學(xué)問(wèn)題是否具有某種確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如果具有，就可以用待定系數(shù)法求解。例如分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、求復(fù)數(shù)、解析幾何中求曲線方程等，這些問(wèn)題都具有確定的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，所以都可以用待定系數(shù)法求解。使用待定系數(shù)法，它解題的基本步驟是：

30、第一步，確定所求問(wèn)題含有待定系數(shù)的解析式；第二步，根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問(wèn)題得到解決。如何列出一組含待定系數(shù)的方程，主要從以下幾方面著手分析： 利用對(duì)應(yīng)系數(shù)相等列方程； 由恒等的概念用數(shù)值代入法列方程； 利用定義本身的屬性列方程； 利用幾何條件列方程。比如在求圓錐曲線的方程時(shí)，我們可以用待定系數(shù)法求方程：首先設(shè)所求方程的形式，其中含有待定的系數(shù)；再把幾何條件轉(zhuǎn)化為含所求方程未知系數(shù)的方程或方程組；最后解所得的方程或方程組求出未知的系數(shù)，并把求出的系數(shù)代入已經(jīng)明確的方程形式，得到所求圓錐曲線的方程。、再現(xiàn)性題組：1. 設(shè)f(x)m，f(

31、x)的反函數(shù)f(x)nx5，那么m、n的值依次為_。A. , 2 B. ， 2 C. , 2 D. ，22. 二次不等式axbx2>0的解集是(,)，則ab的值是_。A. 10 B. 10 C. 14 D. 143. 在(1x)（1x）的展開式中，x的系數(shù)是_。A. 297 B.252 C. 297 D. 2074. 函數(shù)yabcos3x (b<0)的最大值為，最小值為，則y4asin3bx的最小正周期是_。5. 與直線L：2x3y50平行且過(guò)點(diǎn)A(1,-4)的直線L的方程是_。6. 與雙曲線x1有共同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)(2,2)的雙曲線的方程是_?！竞?jiǎn)解】1小題：由f(x)m求出f

32、(x)2x2m，比較系數(shù)易求，選C；2小題：由不等式解集(,)，可知、是方程axbx20的兩根，代入兩根，列出關(guān)于系數(shù)a、b的方程組，易求得ab，選D；3小題：分析x的系數(shù)由C與(1)C兩項(xiàng)組成，相加后得x的系數(shù)，選D；4小題：由已知最大值和最小值列出a、b的方程組求出a、b的值，再代入求得答案；5小題：設(shè)直線L方程2x3yc0，點(diǎn)A(1,-4)代入求得C10，即得2x3y100；6小題：設(shè)雙曲線方程x，點(diǎn)(2,2)代入求得3，即得方程1。、示范性題組：例1. 已知函數(shù)y的最大值為7，最小值為1，求此函數(shù)式。【分析】求函數(shù)的表達(dá)式，實(shí)際上就是確定系數(shù)m、n的值；已知最大值、最小值實(shí)際是就是已知

33、函數(shù)的值域，對(duì)分子或分母為二次函數(shù)的分式函數(shù)的值域易聯(lián)想到“判別式法”?！窘狻?函數(shù)式變形為： (ym)x4x(yn)0， xR, 由已知得ym0 (4)4(ym)(yn)0 即： y(mn)y(mn12)0 不等式的解集為(-1,7)，則1、7是方程y(mn)y(mn12)0的兩根，代入兩根得： 解得：或 y或者y此題也可由解集(-1,7)而設(shè)(y1)(y7)0,即y6y70，然后與不等式比較系數(shù)而得：，解出m、n而求得函數(shù)式y(tǒng)。【注】 在所求函數(shù)式中有兩個(gè)系數(shù)m、n需要確定，首先用“判別式法”處理函數(shù)值域問(wèn)題，得到了含參數(shù)m、n的關(guān)于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求參數(shù)m、n。兩種

34、方法可以求解，一是視為方程兩根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集寫出不等式，比較含參數(shù)的不等式而列出m、n的方程組求解。本題要求對(duì)一元二次不等式的解集概念理解透徹，也要求理解求函數(shù)值域的“判別式法”：將y視為參數(shù)，函數(shù)式化成含參數(shù)y的關(guān)于x的一元二次方程，可知其有解，利用0,建立了關(guān)于參數(shù)y的不等式，解出y的范圍就是值域，使用“判別式法”的關(guān)鍵是否可以將函數(shù)化成一個(gè)一元二次方程。例2. 設(shè)橢圓中心在(2,-1)，它的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸較近的端點(diǎn)距離是，求橢圓的方程。 y B x A F O F A B【分析】求橢圓方程，根據(jù)所給條件，確定幾何數(shù)據(jù)a、b、c

35、之值，問(wèn)題就全部解決了。設(shè)a、b、c后，由已知垂直關(guān)系而聯(lián)想到勾股定理建立一個(gè)方程，再將焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸較近端點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為ac的值后列出第二個(gè)方程。【解】 設(shè)橢圓長(zhǎng)軸2a、短軸2b、焦距2c，則|BF|a 解得： 所求橢圓方程是：1也可有垂直關(guān)系推證出等腰RtBBF后，由其性質(zhì)推證出等腰RtBOF，再進(jìn)行如下列式： ，更容易求出a、b的值?！咀ⅰ?圓錐曲線中，參數(shù)（a、b、c、e、p）的確定，是待定系數(shù)法的生動(dòng)體現(xiàn)；如何確定，要抓住已知條件，將其轉(zhuǎn)換成表達(dá)式。在曲線的平移中，幾何數(shù)據(jù)（a、b、c、e）不變，本題就利用了這一特征，列出關(guān)于ac的等式。一般地，解析幾何中求曲線方程的問(wèn)題，大部分用待定系

36、數(shù)法，基本步驟是：設(shè)方程（或幾何數(shù)據(jù)）幾何條件轉(zhuǎn)換成方程求解已知系數(shù)代入。例3. 是否存在常數(shù)a、b、c，使得等式1·22·3n(n1)(anbnc)對(duì)一切自然數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論。 （89年全國(guó)高考題）【分析】是否存在，不妨假設(shè)存在。由已知等式對(duì)一切自然數(shù)n都成立，取特殊值n1、2、3列出關(guān)于a、b、c的方程組，解方程組求出a、b、c的值，再用數(shù)學(xué)歸納法證明等式對(duì)所有自然數(shù)n都成立?！窘狻考僭O(shè)存在a、b、c使得等式成立，令：n1，得4(abc)；n2，得22(4a2bc)；n3，得709a3bc。整理得：,解得，于是對(duì)n1、2、3，等式1·22·

37、3n(n1)(3n11n10)成立，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)任意自然數(shù)n，該等式都成立：假設(shè)對(duì)nk時(shí)等式成立，即1·22·3k(k1)(3k11k10)；當(dāng)nk1時(shí)，1·22·3k(k1)(k1)(k2)(3k11k10) (k1)(k2)(k2)（3k5）(k1)(k2)（3k5k12k24）3(k1)11(k1)10，也就是說(shuō)，等式對(duì)nk1也成立。綜上所述，當(dāng)a8、b11、c10時(shí)，題設(shè)的等式對(duì)一切自然數(shù)n都成立?！咀ⅰ拷㈥P(guān)于待定系數(shù)的方程組，在于由幾個(gè)特殊值代入而得到。此種解法中，也體現(xiàn)了方程思想和特殊值法。對(duì)于是否存在性問(wèn)題待定系數(shù)時(shí)，可以按照先

38、試值、再猜想、最后歸納證明的步驟進(jìn)行。本題如果記得兩個(gè)特殊數(shù)列12n、12n求和的公式，也可以抓住通項(xiàng)的拆開，運(yùn)用數(shù)列求和公式而直接求解：由n(n1)n2nn得S1·22·3n(n1)(12n)2(12n)(12n)2×(3n11n10)，綜上所述，當(dāng)a8、b11、c10時(shí)，題設(shè)的等式對(duì)一切自然數(shù)n都成立。例4. 有矩形的鐵皮，其長(zhǎng)為30cm，寬為14cm，要從四角上剪掉邊長(zhǎng)為xcm的四個(gè)小正方形，將剩余部分折成一個(gè)無(wú)蓋的矩形盒子，問(wèn)x為何值時(shí)，矩形盒子容積最大，最大容積是多少？【分析】實(shí)際問(wèn)題中，最大值、最小值的研究，先由已知條件選取合適的變量建立目標(biāo)函數(shù)，將實(shí)

39、際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最大值和最小值的研究?！窘狻?依題意，矩形盒子底邊邊長(zhǎng)為(302x)cm，底邊寬為(142x)cm，高為xcm。 盒子容積 V(302x)(142x)x4(15x)(7x)x ， 顯然:15x>0，7x>0，x>0。設(shè)V(15aax)(7bbx)x (a>0,b>0） 要使用均值不等式，則解得：a， b ， x3 。 從而V()(x)x()×27576。所以當(dāng)x3時(shí)，矩形盒子的容積最大，最大容積是576cm?！咀ⅰ烤挡坏仁綉?yīng)用時(shí)要注意等號(hào)成立的條件，當(dāng)條件不滿足時(shí)要湊配系數(shù)，可以用“待定系數(shù)法”求。本題解答中也可以令V(15aax)(7

40、x)bx 或 (15x)(7aax)bx，再由使用均值不等式的最佳條件而列出方程組，求出三項(xiàng)該進(jìn)行湊配的系數(shù)，本題也體現(xiàn)了“湊配法”和“函數(shù)思想”。、鞏固性題組：1. 函數(shù)ylogx的x2,+)上恒有|y|>1，則a的取值范圍是_。A. 2>a>且a1 B. 0<a<或1<a<2 C. 1<a<2 D. a>2或0<a<2. 方程xpxq0與xqxp0只有一個(gè)公共根，則其余兩個(gè)不同根之和為_。A. 1 B. 1 C. pq D. 無(wú)法確定 3. 如果函數(shù)ysin2xa·cos2x的圖像關(guān)于直線x對(duì)稱，那么a_。A

41、. B. C. 1 D. 14. 滿足C1·C2·Cn·C<500的最大正整數(shù)是_。A. 4 B. 5 C. 6 D. 75. 無(wú)窮等比數(shù)列a的前n項(xiàng)和為Sa , 則所有項(xiàng)的和等于_。A. B. 1 C. D.與a有關(guān)6. (1kx)bbxbxbx，若bbbb1，則k_。7. 經(jīng)過(guò)兩直線11x3y90與12xy190的交點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(3,-2)的直線方程為_。 8. 正三棱錐底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱和底面所成角為60°，過(guò)底面一邊作截面，使其與底面成30°角，則截面面積為_。9. 設(shè)yf(x)是一次函數(shù)，已知f(8)15,且f(2)、f(5)、(

42、f14)成等比數(shù)列，求f(1)f(2)f(m)的值。10. 設(shè)拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(-1,6)和(-1,-2)，對(duì)稱軸與x軸平行，開口向右，直線y2x7和拋物線截得的線段長(zhǎng)是4, 求拋物線的方程。四、定義法所謂定義法，就是直接用數(shù)學(xué)定義解題。數(shù)學(xué)中的定理、公式、性質(zhì)和法則等，都是由定義和公理推演出來(lái)。定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法，它通過(guò)指出概念所反映的事物的本質(zhì)屬性來(lái)明確概念。定義是千百次實(shí)踐后的必然結(jié)果，它科學(xué)地反映和揭示了客觀世界的事物的本質(zhì)特點(diǎn)。簡(jiǎn)單地說(shuō)，定義是基本概念對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)體的高度抽象。用定義法解題，是最直接的方法，本講讓我們回到定義中去。、再現(xiàn)性題組：1. 已知集合A中有2個(gè)元素，集合B

43、中有7個(gè)元素，AB的元素個(gè)數(shù)為n，則_。A. 2n9 B. 7n9 C. 5n9 D. 5n72. 設(shè)MP、OM、AT分別是46°角的正弦線、余弦線和正切線，則_。A. MP<OM<AT B. OM<MP<AT C. AT<<OM<MP D. OM<AT<MP3. 復(fù)數(shù)za2，z2，如果|z|< |z|，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_。A. 1<a<1 B. a>1 C. a>0 D. a<1或a>14. 橢圓1上有一點(diǎn)P，它到左準(zhǔn)線的距離為，那么P點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為_。A. 8 C. 7.5 C

44、. D. 35. 奇函數(shù)f(x)的最小正周期為T，則f()的值為_。A. T B. 0 C. D. 不能確定6. 正三棱臺(tái)的側(cè)棱與底面成45°角，則其側(cè)面與底面所成角的正切值為_?！竞?jiǎn)解】1小題：利用并集定義，選B；2小題：利用三角函數(shù)線定義，作出圖形，選B；3小題：利用復(fù)數(shù)模的定義得<，選A；4小題：利用橢圓的第二定義得到e，選A；5小題：利用周期函數(shù)、奇函數(shù)的定義得到f()f()f()，選B；6小題：利用線面角、面面角的定義，答案2。、示范性題組：例1. 已知z1， 設(shè)wz34，求w的三角形式； 如果1，求實(shí)數(shù)a、b的值。（94年全國(guó)理）【分析】代入z進(jìn)行運(yùn)算化簡(jiǎn)后，運(yùn)用復(fù)

45、數(shù)三角形式和復(fù)數(shù)相等的定義解答?！窘狻坑蓏1，有wz34(1)3423(1)41，w的三角形式是（cossin）；由z1，有(a2)(ab)。由題設(shè)條件知：(a2)(ab)1；根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，得：，解得?！咀ⅰ壳髲?fù)數(shù)的三角形式，一般直接利用復(fù)數(shù)的三角形式定義求解。利用復(fù)數(shù)相等的定義，由實(shí)部、虛部分別相等而建立方程組，這是復(fù)數(shù)中經(jīng)常遇到的。例2. 已知f(x)xcx，f(2)14，f(4)252，求ylogf(x)的定義域，判定在(,1)上的單調(diào)性。【分析】要判斷函數(shù)的單調(diào)性，必須首先確定n與c的值求出函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷。【解】 解得： f(x)xx 解f(x)>

46、0得：0<x<1設(shè)<x<x<1， 則f(x)f(x)x+x-（-x+x）=(x-x)1-(x+x)( x+x), x+x>， x+x> (x+x)( x+x)×1 f(x)f(x)>0即f(x)在(,1)上是減函數(shù) <1 ylogf(x) 在(,1)上是增函數(shù)。 A A D C C O H B B 【注】關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性、單調(diào)性、周期性的判斷，一般都是直接應(yīng)用定義解題。本題還在求n、c的過(guò)程中，運(yùn)用了待定系數(shù)法和換元法。例3. 如圖，已知ABCABC是正三棱柱，D是AC中點(diǎn)。 證明：AB平面DBC； 假設(shè)ABBC，求二面角D

47、BCC的度數(shù)。（94年全國(guó)理）【分析】 由線面平行的定義來(lái)證問(wèn)，即通過(guò)證AB平行平面DBC內(nèi)的一條直線而得；由二面角的平面角的定義作出平面角，通過(guò)解三角形而求問(wèn)?！窘狻?連接BC交BC于O, 連接OD ABCABC是正三棱柱 四邊形BBCC是矩形 O是BC中點(diǎn)ABC中， D是AC中點(diǎn) ABOD AB平面DBC 作DHBC于H，連接OH DH平面BCC ABOD, ABBC BCOD BCOH 即DOH為所求二面角的平面角。設(shè)AC1，作OEBC于E，則DHsin60°，BH，EH ； RtBOH中，OHBH×EH， OHDH DOH45°，即二面角DBCC的度數(shù)為4

48、5°?！咀ⅰ繉?duì)于二面角DBCC的平面角，容易誤認(rèn)為DOC即所求。利用二面角的平面角定義，兩邊垂直于棱，抓住平面角的作法，先作垂直于一面的垂線DH，再證得垂直于棱的垂線DO，最后連接兩個(gè)垂足OH，則DOH即為所求，其依據(jù)是三垂線定理。本題還要求解三角形十分熟練，在RtBOH中運(yùn)用射影定理求OH的長(zhǎng)是計(jì)算的關(guān)鍵。此題文科考生的第二問(wèn)為：假設(shè)ABBC，BC2，求AB在側(cè)面BBCC的 射影長(zhǎng)。解答中抓住斜線在平面上的射影的定義，先作平面的垂線，連接垂足和斜足而得到射影。其解法如下：作AEBC于E，連接BE即所求，易得到OEBB，所以，EFBE。在RtBBE中，易得到BFBE,由射影定理得：BE×EFBE即BE1，所以BE。 y M F A x例4. 求過(guò)定點(diǎn)M(1,2)，以x軸為準(zhǔn)線，離心率為的橢圓的下頂點(diǎn)的軌跡方程?！痉治觥窟\(yùn)動(dòng)的橢圓過(guò)定點(diǎn)M，準(zhǔn)線固定為x軸，所以M到準(zhǔn)線距離為2。抓住圓錐曲線的統(tǒng)一性定義，可以得到建立一個(gè)方程，再由離心率的定義建立一個(gè)方程?！窘狻吭O(shè)A(x,y)、F(x,m)，由M(1,2)，則橢圓上定點(diǎn)M到準(zhǔn)線距離為2，下頂點(diǎn)A到準(zhǔn)線距離為y。根據(jù)橢圓的統(tǒng)一性定義和離心率的定義，得到： ，消m得：（x1）1，所以橢圓下頂點(diǎn)的軌跡方程為（x1）1。【注】求曲線的軌跡方程，按照求曲線軌跡方程的