概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案第二章

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上習(xí)題2-21. 設(shè)A為任一隨機(jī)事件, 且P(A)=p(0p1). 定義隨機(jī)變量寫出隨機(jī)變量X的分布律.解 PX=1=p, PX=0=1-p.或者X0 1 P1-p p 2. 已知隨機(jī)變量X只能取-1,0,1,2四個(gè)值, 且取這四個(gè)值的相應(yīng)概率依次為. 試確定常數(shù)c, 并計(jì)算條件概率.解 由離散型隨機(jī)變量的分布律的性質(zhì)知，所以.所求概率為 PX1| X =.3. 設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2, p的二項(xiàng)分布, 隨機(jī)變量Y服從參數(shù)為3, p的二項(xiàng)分布, 若, 求.解 注意px=k=,由題設(shè)故. 從而4. 在三次獨(dú)立的重復(fù)試驗(yàn)中, 每次試驗(yàn)成功的概率相同, 已知至少成功一次的概

2、率為, 求每次試驗(yàn)成功的概率.解 設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為p, 由題意知至少成功一次的概率是，那么一次都沒有成功的概率是. 即, 故 =.5. 若X服從參數(shù)為的泊松分布, 且, 求參數(shù). 解 由泊松分布的分布律可知.6. 一袋中裝有5只球, 編號為1,2,3,4,5. 在袋中同時(shí)取3只球, 以X表示取出的3只球中的最大號碼, 寫出隨機(jī)變量X的分布律.解 從1，2，3，4，5中隨機(jī)取3個(gè)，以X表示3個(gè)數(shù)中的最大值，X的可能取值是3，4，5，在5個(gè)數(shù)中取3個(gè)共有種取法.X=3表示取出的3個(gè)數(shù)以3為最大值，PX=3=;X=4表示取出的3個(gè)數(shù)以4為最大值，PX=4=;X=5表示取出的3個(gè)數(shù)以5為最大值，

3、PX=5=.X的分布律是X3 4 5P 習(xí)題2-31. 設(shè)X的分布律為X-1 0 1P0.15 0.20 0.65求分布函數(shù)F(x), 并計(jì)算概率PX0, PX2, P-2X1.解 (1) F(x)= (2) PX0=PX=-1=0.15; (3) PX2= PX=-1+PX=0+PX=1=1; (4) P-2x1=PX=-1+PX =0=0.35.2. 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x) = A+Barctanx -x+.試求: (1) 常數(shù)A與B; (2) X落在(-1, 1內(nèi)的概率.解 (1) 由于F(-) = 0, F(+) = 1, 可知于是 (2) 3. 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(

4、x)=求PX-1, P0.3 X0.7, P0X2.解 PX, P0.3X0.7=F(0.7)-F0.3-PX=0.7=0.2, P0X2=F(2)-F(0)=1.5. 假設(shè)隨機(jī)變量X的絕對值不大于1; ; 在事件出現(xiàn)的條件下, X在(-1,1)內(nèi)任一子區(qū)間上取值的條件概率與該區(qū)間的長度成正比. (1) 求的分布函數(shù)x; (2) 求X取負(fù)值的概率p.解 (1) 由條件可知, 當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), F(1)=PX1=P(S)=1.所以 易見, 在X的值屬于的條件下, 事件的條件概率為,取x=1得到 1=k(1+1), 所以k=. 因此 .于是, 對于, 有對于1, 有 從而(2) X取負(fù)值

5、的概率習(xí)題2-41. 選擇題(1) 設(shè) 如果c=( ), 則是某一隨機(jī)變量的概率密度函數(shù). (A) . (B) . (C) 1. (D) .解 由概率密度函數(shù)的性質(zhì)可得, 于是, 故本題應(yīng)選(C ).(2) 設(shè)又常數(shù)c滿足, 則c等于( ).(A) 1. (B) 0. (C) . (D) -1.解 因?yàn)? 所以,即, 從而,即, 得c=0. 因此本題應(yīng)選(B). (3) 下列函數(shù)中可以作為某一隨機(jī)變量的概率密度的是( ).(A) (B) (C) (D) 解 由概率密度函數(shù)的性質(zhì)可知本題應(yīng)選(D). (4) 設(shè)隨機(jī)變量, , , 則( ).(A) 對任意的實(shí)數(shù). (B) 對任意的實(shí)數(shù).(C) 只

6、對實(shí)數(shù)的個(gè)別值, 有. (D) 對任意的實(shí)數(shù).解 由正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)可知對任意的實(shí)數(shù), 有.因此本題應(yīng)選(A). (5) 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為, 且, 又F(x)為分布函數(shù), 則對任意實(shí)數(shù), 有( ).(A) . (B) . (C) . (D) .解 由分布函數(shù)的幾何意義及概率密度的性質(zhì)知答案為(B).(6) 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,服從正態(tài)分布,且 則下式中成立的是( ).(A) 1 2. (C) 1 2. 解 答案是(A).(7) 設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1), 對給定的正數(shù), 數(shù)滿足, 若, 則等于( ).(A) . (B) . (C) . (D) .解 答案是(C).2.

7、 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布, 要使成立, 應(yīng)當(dāng)怎樣選擇數(shù)k?解 因?yàn)殡S機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布, 其分布函數(shù)為由題意可知.于是 .3. 設(shè)隨機(jī)變量X有概率密度要使(其中a0)成立, 應(yīng)當(dāng)怎樣選擇數(shù)?解 由條件變形,得到,可知, 于是, 因此.4. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求: (1) X的概率密度; (2).解 (1) 根據(jù)分布函數(shù)與概率密度的關(guān)系,可得 (2) .5. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x) 求PX與P2.解 ;.6. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度函數(shù)求: (1) 常數(shù)A；(2) X的分布函數(shù)F(x).解 (1) 由概率密度的性質(zhì)可得,于是 ；(2) 由公

8、式可得當(dāng)x0時(shí), ;當(dāng)1時(shí), ;當(dāng)2時(shí), ;當(dāng)x2時(shí), .所以 7. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為對X獨(dú)立觀察3次, 求至少有2次的結(jié)果大于1的概率.解 根據(jù)概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系式,可得.所以, 3次觀察中至少有2次的結(jié)果大于1的概率為.8. 設(shè), 求關(guān)于x的方程有實(shí)根的概率.解 隨機(jī)變量X的概率密度為若方程有實(shí)根, 則 0, 于是2. 故方程有實(shí)根的概率為P2=.9. 設(shè)隨機(jī)變量. (1) 計(jì)算, , , ； (2) 確定c使得(3) 設(shè)d滿足, 問d至多為多少？解 (1) 由Paxb=P公式, 得到P2X5=,P-4X10=,=+=1+=0.6977,=1=0.5 .(2) 若,得1,所以

9、由=0推得于是c=3.(3) 即1, 也就是,因分布函數(shù)是一個(gè)不減函數(shù), 故解得 .10. 設(shè)隨機(jī)變量, 若, 求.解 因?yàn)樗? 由條件可知,于是, 從而.所以 .習(xí)題2-51. 選擇題(1) 設(shè)X的分布函數(shù)為F(x), 則的分布函數(shù)為( ).(A) . (B) . (C) . (D) .解 由隨機(jī)變量函數(shù)的分布可得, 本題應(yīng)選(A).(2) 設(shè)令, 則( ).(A). (B). (C). (D).解 由正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)可知本題應(yīng)選(C).2. 設(shè), 求Z所服從的分布及概率密度.解 若隨機(jī)變量, 則X的線性函數(shù)也服從正態(tài)分布, 即 這里, 所以Z. 概率密度為.3. 已知隨機(jī)變量X的分布律

10、為X-10137P0.370.050.20.130.25(1) 求Y2X的分布律；(2) 求Y3X2分布律.解 (1)2X-5-1123P0.250.130.20.050.37(2) 3X2341252P0.050.570.130.254. 已知隨機(jī)變量X的概率密度為且Y2X, 試求Y的概率密度.解 先求Y的分布函數(shù):= =1-.于是可得Y的概率密度為 =即 5. 設(shè)隨機(jī)變量X服從區(qū)間(-2,2)上的均勻分布, 求隨機(jī)變量的概率密度.解 由題意可知隨機(jī)變量X的概率密度為因?yàn)閷τ?y4, X.于是隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為即 總習(xí)題二1. 一批產(chǎn)品中有20%的次品, 現(xiàn)進(jìn)行有放回抽樣, 共抽取5件

11、樣品. 分別計(jì)算這5件樣品中恰好有3件次品及至多有3件次品的概率.解 以X表示抽取的5件樣品中含有的次品數(shù). 依題意知.(1) 恰好有3件次品的概率是PX=3=.(2) 至多有3件次品的概率是.2. 一辦公樓裝有5個(gè)同類型的供水設(shè)備. 調(diào)查表明, 在任一時(shí)刻t每個(gè)設(shè)備被使用的概率為0.1. 問在同一時(shí)刻(1) 恰有兩個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？(2) 至少有1個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？(3) 至多有3個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？(4) 至少有3個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？解 以X表示同一時(shí)刻被使用的設(shè)備的個(gè)數(shù)，則XB(5,0.1),PX=k=,k=0,1,5.(1) 所求的概率是PX=2=;(2) 所求的概率是PX1=1;(3) 所求的概率是 PX3=1-PX=4-PX=5=0.99954;(4) 所求的概率是PX3=PX=3+PX=4+PX=5=0.00856.3. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為且已知, 求常數(shù)k, . 解 由概率密度的性質(zhì)可知得到k=1. 由已知條件, 得.4. 某產(chǎn)品的某一質(zhì)量指標(biāo), 若要求X0.8, 問允許最大是多少?解 由X=0.8, 得到0