第三章 參數(shù) 區(qū)間估計(jì)

1、 在估計(jì)湖中魚數(shù)的問(wèn)題中在估計(jì)湖中魚數(shù)的問(wèn)題中,若我們根若我們根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，得到魚數(shù)據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，得到魚數(shù) N 的極大似的極大似然估計(jì)為然估計(jì)為1000條條. 實(shí)際上，實(shí)際上，N的真值可能大于的真值可能大于1000條，條，也可能小于也可能小于1000 條條. 若我們能給出一個(gè)若我們能給出一個(gè)區(qū)間區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)我們合理，在此區(qū)間內(nèi)我們合理地相信地相信 N 的真值位于其中的真值位于其中.這樣對(duì)魚數(shù)的估計(jì)就這樣對(duì)魚數(shù)的估計(jì)就有把握多了有把握多了.第三章第三章 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì) 習(xí)慣上把置信水平記作習(xí)慣上把置信水平記作 1 ，這里，這里 是一個(gè)是一個(gè) 很小的正數(shù)很小的正數(shù). . 也就是說(shuō)，我們

2、希望確定一個(gè)區(qū)間，使我們能以也就是說(shuō)，我們希望確定一個(gè)區(qū)間，使我們能以比較高的可靠程度相信它包含真參數(shù)值比較高的可靠程度相信它包含真參數(shù)值. .湖中魚數(shù)的真值湖中魚數(shù)的真值這里所說(shuō)的這里所說(shuō)的“可靠程度可靠程度”是用概率來(lái)度量的，稱為是用概率來(lái)度量的，稱為置信概率，置信度或置信水平置信概率，置信度或置信水平. .1.1.置信區(qū)間與置信度置信區(qū)間與置信度121, (01)P 定義定義 設(shè)總體設(shè)總體X; 含一待估參數(shù)含一待估參數(shù),1nXX 對(duì)于樣本對(duì)于樣本112(,),iinXX找出找出使得：使得：稱區(qū)間稱區(qū)間12,為為的的置信區(qū)間置信區(qū)間 1為該區(qū)間的為該區(qū)間的置信度置信度)2 , 1( i 區(qū)

3、間估計(jì)區(qū)間估計(jì)要求根據(jù)樣本給出未知參數(shù)的范圍，要求根據(jù)樣本給出未知參數(shù)的范圍，并保證真參數(shù)以指定的較大概率屬于這個(gè)范圍。并保證真參數(shù)以指定的較大概率屬于這個(gè)范圍。通常通常, ,采用采用95%95%的置信度的置信度, ,有時(shí)也取有時(shí)也取99%99%或或90%.90%.，%5 即置信度為即置信度為%.951 這時(shí)重復(fù)這時(shí)重復(fù)抽樣抽樣100次次, 則在得到的則在得到的100100個(gè)區(qū)間中包含個(gè)區(qū)間中包含 真值真值 的有的有9595個(gè)左右個(gè)左右, , 真值的有真值的有5 5個(gè)左右個(gè)左右 。不包含不包含是一個(gè)隨機(jī)區(qū)間；是一個(gè)隨機(jī)區(qū)間； 1給出該區(qū)間給出該區(qū)間 含真值含真值 的的可靠度可靠度 ?？赡苄浴？?/p>

4、能性。表示該區(qū)間不包含真值表示該區(qū)間不包含真值 的的區(qū)間區(qū)間 12,由于正態(tài)隨機(jī)變量廣泛存在，由于正態(tài)隨機(jī)變量廣泛存在，指標(biāo)服從正態(tài)分布，指標(biāo)服從正態(tài)分布，特別是很多產(chǎn)品的特別是很多產(chǎn)品的我們主要討論總體分布為我們主要討論總體分布為正態(tài)正態(tài)的的區(qū)間估計(jì)情形的的區(qū)間估計(jì)情形. . 若樣本容量很大，即使總體分布未知，應(yīng)用若樣本容量很大，即使總體分布未知，應(yīng)用中心極限定理中心極限定理，可得總體的近似分布，于是也可，可得總體的近似分布，于是也可以近似求得參數(shù)的區(qū)間估計(jì)以近似求得參數(shù)的區(qū)間估計(jì). .(1) (0 ,1)XzNn *X -2 t = t(n - 1)S /n （ ）*2222(1)(3)

5、(1)nSn （ ）*221112*2222/4 F=(1,1)/SF nnS 2| PXZ（XN(0,1)2| |( )aPttn2222122( )( )Pnn122(, )(, ) PFFm nFFm n 2.2.正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)(1) (1) 已知方差，估計(jì)均值已知方差，估計(jì)均值nXX,1設(shè)設(shè)為總體為總體 ),(2 NX的一個(gè)樣本的一個(gè)樣本置信度置信度 1下，來(lái)確定下，來(lái)確定設(shè)已知方差設(shè)已知方差 ，202 且且 niiXnX11是是的的一個(gè)無(wú)偏點(diǎn)估計(jì)一個(gè)無(wú)偏點(diǎn)估計(jì). .的置信區(qū)間的置信區(qū)間 )1,0(/0NnXZ 且且12,0 1/XPn ,1 對(duì)于給定的置

6、信度對(duì)于給定的置信度 查正態(tài)分布表，找出查正態(tài)分布表，找出12,臨界值臨界值 121PZ 使得：使得：由此可找出無(wú)窮多組由此可找出無(wú)窮多組 通常我們?nèi)?duì)稱通常我們?nèi)?duì)稱使：使：區(qū)間區(qū)間 ,由上由上 分位點(diǎn)的定義分位點(diǎn)的定義 12,202( Zn/)XZ 00/2/2, XzXznn推得，隨機(jī)區(qū)間：推得，隨機(jī)區(qū)間：查正態(tài)分布表查正態(tài)分布表,21)( 找出找出得：得： 需要指出的是，給定樣本，給定置信水需要指出的是，給定樣本，給定置信水平，平，置信區(qū)間也不是唯一的置信區(qū)間也不是唯一的. .對(duì)同一個(gè)參數(shù)，我們可以構(gòu)造許多置信區(qū)間對(duì)同一個(gè)參數(shù)，我們可以構(gòu)造許多置信區(qū)間. .我們總是希望置信區(qū)間盡可能短

7、我們總是希望置信區(qū)間盡可能短. . 任意兩個(gè)數(shù)任意兩個(gè)數(shù)a和和b，只要它們的縱標(biāo)包含，只要它們的縱標(biāo)包含f(u)下下95%的面積，就確定一個(gè)的面積，就確定一個(gè)95%的置信的置信區(qū)間區(qū)間. .像像 N(0,1)分布那樣概率密度分布那樣概率密度的圖形是單峰且對(duì)稱的情況。的圖形是單峰且對(duì)稱的情況。 當(dāng)當(dāng)n固定時(shí)以固定時(shí)以2znX 的區(qū)間長(zhǎng)度為最短，的區(qū)間長(zhǎng)度為最短，我們一般選擇它。我們一般選擇它。若以若以L為區(qū)間長(zhǎng)度，則為區(qū)間長(zhǎng)度，則22znL 可見(jiàn)可見(jiàn)L L隨隨 n n 的增大而減少（的增大而減少（ 給定時(shí)）給定時(shí)）115)110120115(91 x已知幼兒身高服從正態(tài)分布，現(xiàn)從已知幼兒身高服從

8、正態(tài)分布，現(xiàn)從5-65-6歲的幼歲的幼兒中隨機(jī)地抽查了兒中隨機(jī)地抽查了9 9人人, ,其高度分別為其高度分別為 115,120,131115,120,131115,109,115,115,105,110cm; 115,109,115,115,105,110cm; 假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)差假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)差，70 置信度為置信度為95%; 95%; 試求總體均值試求總體均值的置信區(qū)間的置信區(qū)間解解 已知已知.05. 0, 9, 70 n由樣本值算得：由樣本值算得：查正態(tài)分布表得查正態(tài)分布表得得置信區(qū)間：得置信區(qū)間：00/2/2, XzXznn)57.119,43.110( ，96. 1025. 02 zz 0.05,

9、 ;115, 9, 70 xn 0.040.010 10.95/XPZZn )33. 237115,33. 237115( )44.120,56.110( 置信區(qū)間越短置信區(qū)間越短, ,估計(jì)精度越高估計(jì)精度越高88. 92 L14. 91 L000.010.04, XzXznn注意：注意：置信區(qū)間并不是唯一的。置信區(qū)間并不是唯一的。同樣給定同樣給定 nSX t/ niiXXnS122)(11選取樣本函數(shù)：選取樣本函數(shù)：,1對(duì)于給定的對(duì)于給定的分布表，得臨界值分布表，得臨界值t查查使使我們?nèi)?duì)稱區(qū)間我們?nèi)?duì)稱區(qū)間 1|tP使使1/XPSn 即：即：未知方差，估計(jì)均值未知方差，估計(jì)均值可用樣本方差

10、：可用樣本方差：)1( nt 21, 121tP, /2/2/XttSn， 1|tPt由由分布表分布表查查t分布表分布表),1(2 nt 找出找出n其中，其中， 是樣本容量是樣本容量1 n是表中自由度；是表中自由度；/2/2 ,SSXtXtnn推得，隨機(jī)區(qū)間：推得，隨機(jī)區(qū)間：得得當(dāng)當(dāng) n 充分大時(shí)，充分大時(shí)，無(wú)論無(wú)論X服從什么服從什么分布，都近似有分布，都近似有) 1 , 0(/NnSXZ近似當(dāng)當(dāng)n很大時(shí)，很大時(shí)， 容易想到用樣本方差容易想到用樣本方差代替代替后對(duì)分布影響后對(duì)分布影響不大，不大，故故n很大時(shí)，很大時(shí)，n50) 1 , 0(/NnXZ則則的置信度為的置信度為1 1的置信區(qū)間為的置

11、信區(qū)間為,22 unSXunSX均值的區(qū)間估計(jì)總結(jié)均值的區(qū)間估計(jì)總結(jié)(1) (1) 方差已知方差已知)1,0(/0NnXZ 00/2/2, XzXznnnSX t/ 方差未知方差未知)1( nt /2/2 ,SSXtXtnn設(shè)設(shè)nXX,1),(2 NX為總體為總體的一個(gè)樣本的一個(gè)樣本我們知道我們知道 niiXXnS122)(112是是的一個(gè)點(diǎn)估計(jì)的一個(gè)點(diǎn)估計(jì)并且樣本函數(shù)：并且樣本函數(shù)：)1()1(222 nSn 因此使概率對(duì)稱的區(qū)間：因此使概率對(duì)稱的區(qū)間：由于由于2 分布無(wú)對(duì)稱性，分布無(wú)對(duì)稱性，2122(1)1nSP 即：即：由由2分布表的構(gòu)造分布表的構(gòu)造2122(1)1nSP ，/ 2222

12、221/2(1)(1)(1)(1)nSnSnn置信區(qū)間置信區(qū)間：/ 22221/22(1)(1)(1)1nSPnn ，即即/ 222221/2(1)(1),(1)(1)nSnSnn)1(22 n 2 yfx)1(221 n 2 ，設(shè)設(shè)),(),(2221 NYNXYX和和分別是這兩個(gè)樣本的均值分別是這兩個(gè)樣本的均值,且且 X 與與 Y 獨(dú)立獨(dú)立,X1 , X2 , ,1nX是取自是取自X 的樣本的樣本,Y 的樣本的樣本,分別是這兩個(gè)樣本的樣本方差分別是這兩個(gè)樣本的樣本方差, 則有則有Y1,Y2,2nY是取自是取自;1111 niiXnX;1212 niiYnY;)(11211211 niiXX

13、nS;)(11212222 niiYYnS21S和和 22S一、兩個(gè)正態(tài)均值差一、兩個(gè)正態(tài)均值差 的置信區(qū)間的置信區(qū)間12 ),(1211nNX ),(2222nNY ),(22212121nnNYX )1 , 0()(22212121NnnYX 2212212XY Znn12 211 （）和和 已知，已知， 22 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 ,X Y獨(dú)立獨(dú)立 的一個(gè)置信水平為的一個(gè)置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 1- 12 )2(112)1()1()(T21212122221121 nntnnnnSnSnYX 2)1()1(212222112 nnSnSnSW2121211(2)wXY tn

14、nSnn222122（）未知，未知， 12 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 的一個(gè)置信水平為的一個(gè)置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 1- 12 二、兩個(gè)總體方差比二、兩個(gè)總體方差比 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 2212 （僅討論（僅討論 未知的情況）未知的情況） 12, )1, 1(2122222121 nnFSS 221112122122222(1,1)(1,1)1SP FnnFnnS 2212 221122221221212SS11,S(1,1)S(1,1)FnnFnn的一個(gè)置信水平為的一個(gè)置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 1- 上述置信區(qū)間中置信限都是雙側(cè)的，但上述置信區(qū)間中置信限都是雙側(cè)的，但

15、對(duì)于有些實(shí)際問(wèn)題，人們關(guān)心的只是參數(shù)在對(duì)于有些實(shí)際問(wèn)題，人們關(guān)心的只是參數(shù)在一個(gè)方向的界限一個(gè)方向的界限. 例如對(duì)于設(shè)備、元件的使用壽命來(lái)說(shuō)，平均例如對(duì)于設(shè)備、元件的使用壽命來(lái)說(shuō)，平均壽命過(guò)長(zhǎng)沒(méi)什么問(wèn)題，過(guò)短就有問(wèn)題了壽命過(guò)長(zhǎng)沒(méi)什么問(wèn)題，過(guò)短就有問(wèn)題了. 這時(shí)，可將置信上限取這時(shí)，可將置信上限取為為+，而只著眼于置信下，而只著眼于置信下限，這樣求得的置信區(qū)間限，這樣求得的置信區(qū)間叫單側(cè)置信區(qū)間叫單側(cè)置信區(qū)間.于是引入單側(cè)置信區(qū)間和置信限的定義：于是引入單側(cè)置信區(qū)間和置信限的定義： 11P),(2111nXXX 滿足滿足設(shè)設(shè) 是是 一個(gè)待估參數(shù)，給定一個(gè)待估參數(shù)，給定, 0 若由樣本若由樣本X1

16、,X2,Xn確定的統(tǒng)計(jì)量確定的統(tǒng)計(jì)量則稱區(qū)間則稱區(qū)間 是是 的置信水平為的置信水平為 的的單側(cè)置信區(qū)間單側(cè)置信區(qū)間. ),1 11 稱為單側(cè)置信下限稱為單側(cè)置信下限.),(2122nXXX 又若統(tǒng)計(jì)量又若統(tǒng)計(jì)量 滿足滿足 12P2 則稱區(qū)間則稱區(qū)間 是是 的置信水平為的置信水平為 的的單側(cè)置信區(qū)間單側(cè)置信區(qū)間. ,(2 1 稱為單側(cè)置信上限稱為單側(cè)置信上限.設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布. 求燈泡壽命均求燈泡壽命均值值 的置信水平為的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限的單側(cè)置信下限. 例例4 從一批燈泡中隨機(jī)抽取從一批燈泡中隨機(jī)抽取5只作壽命試只作壽命試驗(yàn)，測(cè)得壽命驗(yàn)，測(cè)得壽命X（

17、單位：小時(shí)）如下：（單位：小時(shí)）如下：1050，1100，1120，1250，1280 ) 1(ntnSX 由于方差由于方差 未知，未知，2 解：解： 的點(diǎn)估計(jì)取為樣本均值的點(diǎn)估計(jì)取為樣本均值 X選取統(tǒng)計(jì)量為 對(duì)給定的置信水平對(duì)給定的置信水平 ，確定分位數(shù)，確定分位數(shù)) 1( nt 1 1)1(ntnSXP使使即即 1) 1(nSntXP于是得到于是得到 的置信水平為的置信水平為 的單側(cè)置的單側(cè)置信區(qū)間為信區(qū)間為 1,) 1(nSntX 將樣本值代入得將樣本值代入得 的置信水平為的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限是的單側(cè)置信下限是1065小時(shí)小時(shí) 的置信水平為的置信水平為 的單側(cè)置信下限為的單

18、側(cè)置信下限為 1即即nSntX) 1( 例例5 5 為估計(jì)制造某種產(chǎn)品所需要的單件平均工時(shí)為估計(jì)制造某種產(chǎn)品所需要的單件平均工時(shí)（單位：小時(shí)），現(xiàn)制造（單位：小時(shí)），現(xiàn)制造5 5件，記錄每件所需工時(shí)如下件，記錄每件所需工時(shí)如下10.5 11.0 11.2 12.5 12.810.5 11.0 11.2 12.5 12.8假設(shè)制造單位產(chǎn)品所需工時(shí)假設(shè)制造單位產(chǎn)品所需工時(shí)),(2NX試求平均工時(shí)的置信水平為試求平均工時(shí)的置信水平為0.950.95的單側(cè)置信上限的單側(cè)置信上限. .),(2NX2) 1(/ntnSXt解解 由于由于, ,其中其中未知未知, ,因此因此t) 1(1nt1) 1(/1ntnSXP) 1() 1(1ntnt1) 1(/ntnSXP對(duì)于給定的對(duì)于給定的, ,由由分布的上分布的上分位點(diǎn)的定義分位點(diǎn)的定義,