指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)同步練習36必修1

1、研卷知古今；藏書教子孫。2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)5分鐘訓練（預(yù)習類訓練，可用于課前）1 .下列以x為自變量的函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是（）A.y= （-4） >B.y=兀 *C.y=-4xD.y=ax+2 （a>0 且 a*）思路解析：從指數(shù)函數(shù)的定義出發(fā)解決此題.由指數(shù)函數(shù)的定義知，選 B. 答案：B2 .右圖是指數(shù)函數(shù) y=ax;丫加'丫=/; y=dx的圖象，則a、b、c、d與1的大小關(guān)系 是（）A.avbvlvcv dB.bvavlvdvcC.lvavbv c< dD.avbvlvdvc思路解析：直線x=1與四個指數(shù)函數(shù)圖象交點的坐標分別為（1, a）、（ 1,

2、 b）、（1, c）、（ 1,d）,由圖象可知縱坐標的大小關(guān)系.答案：B3 .函數(shù)y=ax-3+3 （a>0且aw 1）恒過定點 .思路解析：a3-3+3=a°+3=4.答案：（3, 4）4 .某種細菌每隔兩小時分裂一次（每一個細菌分裂成兩個，分裂所需時間忽略不計），研究開始時有兩個細菌，在研究過程中不斷進行分裂，細菌總數(shù)y是研究時間t的函數(shù)，記作y=f（t）,（1）寫出函數(shù)y=f （t）的定義域和值域；（2）在所給坐標系中畫出y=f （t） （01<6=的圖象；（3）寫出研究進行到 n小時（n>0, nCZ）時，細菌的總數(shù)有多少個（用關(guān)于n的式子表示）？解：（1）

3、 y=f （t）定義域為 te 0, +8,值域為y|y=2 n, nCN *.（2） 0Wt<6時，為一分段函數(shù)2,0 9二 2, y= 4,29二4,8, 4 <t <6.吧1圖象如下圖.n（3） n為偶數(shù)時，y=2222'n為偶數(shù),y=吧書2 2E為奇數(shù).10分鐘訓練(強化類訓練，可用于課中)0.957 6,設(shè)質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過x年后，剩留量xA.y= 0.957而1 .已知鐳經(jīng)過100年剩余的質(zhì)量是原來質(zhì)量的 是y,則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系是()0.9576、xB.y=()100xC.y=0.957 6100xD.y=1- 0.0424100思路解析：首先應(yīng)求出經(jīng)過

4、一年后放射掉其質(zhì)量的百分比， 然后求得放射一年后剩余原來質(zhì)量的百分比，再根據(jù) x、y的函數(shù)應(yīng)該是指數(shù)函數(shù)，就可得正確答案.設(shè)鐳一年放射掉其質(zhì)量1x的 t%,則有 0.957 6=1 (1-t%) 100.，t%=1- (0.957 6)10°.，y= (1-t%) x= (0.957 6)100 .選A.答案：A2 .當x>0時，函數(shù)f (x) = (a2-1) x的值總大于1,則實數(shù)a的取值范圍是()A.1 v |a|< <2B.|a|v 1C.|a|> 1D.|a|> 22思路解析：由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可知 f (x)在(0, +8)上是遞增函數(shù)，所以

5、a2-1>1, a2>2, |a|> V2.答案：D3 .已知函數(shù) f (x) =ax+a-x (a>0且 aw 1), f (1) =3,則 f (0) +f (1) +f (2)的值為. 思路解析：f (0) =a0+a0=2, f (1) =a+a-1=3, f (2) =a2+a-2= (a+a-1) 2-2=9-2=7,.f (0) +f (1) +f (2) =12.答案：124 .函數(shù)y= (2m-1) x是指數(shù)函數(shù)，則 m的取值是.思路解析：考查指數(shù)函數(shù)的概念.據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，y=ax中的底數(shù)a約定a> 0且aw 1.故此2m-1 > 0且

6、2m-1豐1,所以 m >工且m w 1.2答案：m >且m w 12115.已知 a2 + a 2 =3,求 a2+a-2 的值.思路解析：本題考查指數(shù)的運算.從已知條件中解出a的值，再代入求值的方法不可取，應(yīng)11該設(shè)法從整體尋求結(jié)果與條件 a2 + a 2 =3的聯(lián)系進而整體代入求值. 11解：將a2+a 2=3兩邊平方得a+a-1+2=9,即a1+a-1=7.再將其平方，有 a2+a-2+2=49,從而得至U a2+a2=47.一，、1，6.已知f x = +a為奇函數(shù).3x -1(1)求a的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.主要是利用和鞏固奇偶函數(shù)的定義、思路解析：本題考查函數(shù)的

7、奇偶性、單調(diào)性及運算能力 單調(diào)函數(shù)的定義.解：(1) f (-x)3x1+a=-+a=-1+a=-1+2a-f (x), 由 f (-x) =-f (x), 得1 -3x3x -1-1+2a=0. 1. a=.2(2)對于任意x產(chǎn)0, x2W0,且x1<x2.f (x1)-f (x2)13x1 -13x2 -13x2 -3x1(3x1 -1)(3x2 -1).當 x1<x2<0 時，3x2>3x1, 3% <1, 3x2 <1. f (x1) -f (x2)>0;當 0%今2 時,3x2>3x1, 3x1>1, 3x2>1.f (x1

8、) -f (x2) >0.，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8, 0), (0, +OO).7.如果函數(shù)y=a2x+2ax-1 (a>0, aw 1)在區(qū)間-1, 1上的最大值是14,求a的值. 思路解析：利用換元法、配方法及等價轉(zhuǎn)化思想.解：設(shè)1=2、，則 y=f (t) =t2+2t-1= (t+1) 2-2.當 a> 1 時，0va-1wtwa,此時 y max =a2+2a-1 ,由題設(shè) a2 +2a-1=14,得 a=3,滿足 a>1.當 0vav1, tC a, a-1,此時 y max = (a-1) 2+2a-1-1.由題設(shè)a-2+2a-1-1=1,得a=1,滿

9、足0vav 1.故所求的a的值為3或1433快樂時光傳話A對B說：“聽說老王家的雞剛生出的蛋落地便破殼，馬上變出了小雞.” B告訴C: “新鮮事，老王家的雞生出的蛋，殼還沒破，就變成了小雞.” C又對D說：“真怪，老王家的雞直接生出了小雞！ ” D又對E說，E告訴了 F, F告訴了 G恰好G巧遇A,告訴A:“奇跡，老王家的雞生出一只小烏龜！”30分鐘訓練(鞏固類訓練，可用于課后)1 .若函數(shù)y=ax+b-1 (a>0且aw 1)的圖象經(jīng)過一、三、四象限，則一定有 ()A.a>1 且 b<1B.0<a<1 且 b<0C.0<a<1 且 b>0

10、D.a>1 且 b<0思路解析：本題考查指數(shù)函數(shù)的圖象.a >1b <1 -aa 1,b : 0.函數(shù)y=ax+b-1 (a>0且aw 1)的圖象經(jīng)過一、三、四象限，則必有 a>1;a >1進而可知,二J(0)<0答案：D2 .如果函數(shù)y= (a2-4) x在定義域內(nèi)是減函數(shù)，則 a的取值范圍是()D.2<|a|< . 5A.|a|>2B.|a|> . 5C.|a|< ,5思路解析：0<a2-4<1,4<a2<5. .2<|a|< , 5 .答案：D3 .春天來了，某池塘中的荷花枝

11、繁葉茂，已知每一天新長出荷葉覆蓋水面面積是前一天的2倍，若荷葉20天可以完全長滿池塘水面，當荷葉剛好覆蓋水面面積一半時，荷葉已生長了()A.10 天B.15 天C.19 天D.2 天思路解析：荷葉覆蓋水面面積 y與生長時間的函數(shù)關(guān)系為y=2x,當x=20時，長滿水面，所以生長19天時，布滿水面一半.故選C.答案：C4 .函數(shù)y=2|x|的值域是()A. (0, 1B. 1, +8)C. (0, 1)D. (0, +8)2x, x >0解法一：y=2|x= / ,0,作出圖象觀察得函數(shù)的值域為1, +8).2：x :二 0,解法二：令 u=|x|>0,貝U y=2u>20=1.

12、答案：B5 .農(nóng)民收入由工資性收入和其他收入兩部分構(gòu)成.2003年某地區(qū)農(nóng)民人均收入為3 150元(其中工資性收入為1 800元，其他收入為1 350元),預(yù)計該地區(qū)自2004年起的2年內(nèi)，農(nóng)民 的工資性收入將以每年 6%的年增長率增長，其他收入每年增加160元，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，2005 年該地區(qū)農(nóng)民人均收入介于 ()A.3 200 元3 400 元B.3 400 元3 600 元C.3 600 元3 800 元D.3 800 元4 000 元思路解析：本題考查指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用.設(shè)2005年該地區(qū)農(nóng)民人均收入為y元，則y=1 800 X(1+6%) 2+1 350+160 X 2 = 3 686

13、(元).答案：C6 .右圖所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面積y (m2)與時間t (月)的關(guān)系：y=at,有以下敘述，其中正確的是()這個指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為 2第5個月時，浮萍面積就會超過 30 m2浮萍從4 m2蔓延到12 m2需要經(jīng)過1.5個月 浮萍每月增加的面積都相等若浮萍蔓延到2 m2、3 m2、6 m2所經(jīng)過的時間分別為t1、t2、t3,則t1+t2=t3A.B.C.D.思路解析：本題綜合考查學生的識圖能力及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)由圖形得函數(shù)解析式應(yīng)為y=2x (x>0).答案：D7 .電子計算機中使用二進制，它與十進制的換算關(guān)系如下表所示：十進制12345678二進制1101110010

14、11101111 000觀察二進制為1位數(shù)、2位數(shù)、3位數(shù)時，對應(yīng)的十進制數(shù)；當二進制為6位數(shù)時，能表示十進制中的最大數(shù)是 . 思路解析：此題考查學生的觀察能力、歸納總結(jié)能力.通過觀察圖表：二進制為1位數(shù)時，十進制的最大數(shù)為1=21-1；二進制為2位數(shù)時，十進制的最大數(shù)為3=22-1；二進制為3位數(shù)時，十進制的最大數(shù)為7=23-1.依次類推，二進制為 6位數(shù)時，十進制的最大數(shù)為26-1.答案:26-18 .求函數(shù) y=f (x)=(工)x- ( ) x+1 , xC -3, 2的值域.421思路解析：將(1) x看作一個未知量t,把原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)求解.2解：(x) = ( 1)

15、x 2- ( 1) x+1, xC -3, 2,22. ( 1) 2w ( 1) xw ( 1) -3,222一 11V即 _W ()x<8.42設(shè) t= (1) x,則一定時間t后的溫度T將滿足T-T.二 (To-)( 一)h ,其中是環(huán)境溫度.使上式成立所 wtw8.24將函數(shù)化為 f (t) =t需要的時間h稱為半衰期.現(xiàn)有一杯用195°熱水沖的速溶咖啡放置在75°的房間中，如果咖啡降溫到105°需20 min,-t+1, te 1 , 8.4. f (t) = (t-1) 2+-, 24.f (1) w f (t) w f (8) . 3 wf (t

16、) < 57.24 3，函數(shù)的值域為,57.49.牛頓冷卻規(guī)律描述一個物體在常溫環(huán)境下的溫度變化.如果物體的初始溫度是To,則經(jīng)過問欲降溫到95。需多少時間？思路解析：由所給公式知它是時間t與溫度T的指數(shù)函數(shù)關(guān)系，將題中有關(guān)數(shù)據(jù)代入求得h值.再將T=95代入已求得的T=f (t)中求得t.tt1 1 -h解：由題忌，知T=T “+ (To-T”)(一)h.將有關(guān)數(shù)據(jù)代入，得 T=75+ (195-75) ()h.這里h2 2是以分鐘為單位的半衰期，為了確定它的值，將 t=20時，T=105代入，此時，105=75+1 20(195-75) () h ,解得 h=10.2.T=75+ (1

17、95-75)15。*)一.11 而 1欲使 T=95,代入(*)式，得 95=75+ (195-75) ()1。，即(一)10=,22626 min之后降溫至95°兩邊取對數(shù)，查表得 =2.6,即t=26 ( min).因此，在咖啡沖好101。.已知 f (x) =x (，+1)2x -1 2(1)判斷函數(shù)的奇偶性;(2)證明 f (x) >0.思路解析：本題以復(fù)合函數(shù)為載體判斷函數(shù)的奇偶性，并利用函數(shù)的奇偶性證明不等式 (1)解：函數(shù)的定義域為x|x w 0.f (-x) =-x -2. 12(2" -1)1 2x=x 2(1 -2 )1 2x2(2x -1)=f

18、(x),函數(shù)為偶函數(shù).(2)證明：由函數(shù)解析式，當 x>0時，f (x) >0.又f (x)是偶函數(shù)，當 x<0時，-x>0. ，當x<0時，f (x) =f (-x) >0,即對于xw 0的任何實數(shù) x,均有f (x) >0.11 .設(shè)函數(shù)f (x)是定義在R上的增函數(shù)，且f (x) W0,對于任意x、x2 R,都有f (x1+x2) =f ( x1). f (x2).(1)求證：f (x1-x2)=13 ； (2)(2)若 f (1) =2,解不等式 f (3x) >4f (x).思路解析：由于函數(shù)y=ax具有本題中f (x)的條件與結(jié)構(gòu)，因

19、而在解題時可以用指數(shù)函數(shù)y=ax (a>0且aw1)為模型類比.本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì).(1)證明：: f (x1)=f (x-x2+x2)=f (x1-x2)- f 02),又 f (x)豐 0,二. f (x-x2)= "x". f (x2)(2)解：f (1) =2,2f (x) =f (1) f (x) =f (1+x) , 4f (x) =2 2f (x) =f (1) f (1+x) =f (2+x).那么 f (3x) >4f (x)可化為 f (3x) >f (2+x).又,函數(shù)f (x)是定義在R上的增函數(shù)，由 f (3x) >f (2+x)得 3x>2+x ,即 x>1.故不等式f (3x) >4f (x)的解集是x|x>1.12 .定義在R上的函數(shù)y=f (x), f (0) w0,當x>0時，f (x) >1,且對任意的 a、bCR, 有 f (a+