第128節(jié) 一般周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)

1、1第八節(jié)第八節(jié)一般周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)一般周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù) 以以2 l 為周期的函數(shù)的傅里葉展開為周期的函數(shù)的傅里葉展開 第十二章 2一、以一、以2 l 為周期的函數(shù)的傅里葉展開為周期的函數(shù)的傅里葉展開周期為 2l 函數(shù) f (x)周期為 2 函數(shù) F(z)變量代換lxz將F(z) 作傅氏展開 f (x) 的傅氏展開式3設(shè)周期為設(shè)周期為2l 的周期函數(shù)的周期函數(shù) f (x)滿足收斂定理?xiàng)l件滿足收斂定理?xiàng)l件,則它的傅里葉展開式為則它的傅里葉展開式為10sincos2)(nnnlxnblxnaaxf(在在 f (x) 的連續(xù)點(diǎn)處的連續(xù)點(diǎn)處)naxlxnxflbllndsin)(1其中其中定

2、理定理.l1xlxnxflldcos)(),2, 1,0(n),2, 1(n4證明證明: 設(shè)設(shè) f (x) 周期為2 l 的周期函數(shù)lxz, 則,llx,z令)(zF)(z lf則)2()2(zlfzF)2(lz lf)(z lf)(zF所以)(zF且它滿足收斂定理?xiàng)l件, 將它展成傅里里葉級數(shù):10sincos2)(nnnznbznaazF( 在 F(z) 的連續(xù)點(diǎn)處 )(xf變成是以 2 為周期的周期函數(shù) , xflxf)2(zlx 5zznzFandcos)(1其中zznzFbndsin)(1令xdlzdlxzlan1xlxnxflbllndsin)(1lxnblxnaaxfnnnsinc

3、os2)(10),2, 1,0(n),3,2, 1(n),2, 1,0(n),3,2, 1(n( 在在 f (x) 的的 連續(xù)點(diǎn)處連續(xù)點(diǎn)處 )xlxnxflldcos)(證畢 )()(zFxf6說明說明:1)(nnbxf),2, 1(dsin)(nxlxnxfbn其中其中(在在 f (x) 的連續(xù)點(diǎn)處的連續(xù)點(diǎn)處)lxnsinl20l如果如果 f (x) 為為偶函數(shù)偶函數(shù), 則有則有(在在 f (x) 的連續(xù)點(diǎn)處的連續(xù)點(diǎn)處)2)(0axf),2, 1,0(dcos)(nxlxnxfan其中其中1nnalxncos注注: 無論哪種情況無論哪種情況 ,).()(21xfxf在在 f (x) 的間斷點(diǎn)

4、的間斷點(diǎn) x 處處, 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)收斂于收斂于l20l如果如果 f (x) 為為奇函數(shù)奇函數(shù), 則有則有 7例例1： 設(shè)函數(shù) f (x) 是周期為2的周期函數(shù)，它在區(qū)間(1，1 上的表達(dá)式為： 10010 xxxxf將 f (x) 展開成傅立葉級數(shù)，并作出級數(shù)的和函數(shù)的圖形.0121233x xf1解：解：2, 1, 012kkx處間斷f (x) 在間斷點(diǎn)處的傅立葉級數(shù)收斂于121221kfkf21201在連續(xù)點(diǎn)處收斂于 f (x) ，其傅立葉系數(shù)為： f (x) 如圖所示，它在80a注：注：l=1lan12110 xdx10cosxxdnx10sin1xndxn1010sin|sin

5、1xdxnxnxn1cos122nn 11122nnnb10sinxxdnx1022cossin1xnnxxnnnnnn 11cos1, 2, 1n, 2, 1n 10010 xxxxfxlxnxflldcos)(9 sin) 1(cos1) 1(411122xnnxnnxfnnn, 2, 1, 012,kkxx該傅里葉級數(shù)的和函數(shù)S(x)的圖形如下。 xS0121233x10a21na 11122nnnbnn 1110例例2. 把展開成)20()(xxxf(1) 正弦級數(shù); (2) 余弦級數(shù).解解: (1) 將 f (x) 作奇周期奇周期延拓, 則有2oyx),2, 1,0(0nan2022

6、xbnxxnd2sin0222sin22cos2xnnxnxnnncos4),2, 1() 1(41nnn14)(nxf2sin) 1(1xnnn)20( x在 x = 2 k 處級數(shù)收斂于何值?112oyx(2) 將 作偶周期偶周期延拓,)(xf),2, 1(0nbn2022xanxxnd2cos0222cos22sin2xnnxnxn1) 1(422nnxxf)(200d22xxa2kn2,0228,(21)k),2, 1(k則有22181(21)1cos(21)2kkxk )20( x12 kn12)(zFz55例例3. 將函數(shù))155(10)(xxxf展成傅里里葉級數(shù).解解: 令,10

7、 xz設(shè))55( )10()()(zzzfxfzF將F(z) 延拓成周期為 10 的周期函數(shù), 理?xiàng)l件.由于F(z) 是奇函數(shù), 故),2, 1,0(0nan5052zbnzznd5sinnn10) 1(),2,1(n則它滿足收斂定5sin) 1(10)(1znnzFnn)55(z5sin) 1(10101xnnxnn)155( x13例例4) 11(2)(xxxf將期的傅立葉級數(shù), 并由此求級數(shù)121nn解解:y1ox12)(xf為偶函數(shù),nnbn, 2 , 10100d)2(2xxa5xxnxand)cos()2(2101) 1(222nn因 f (x) 偶延拓后在,),(上連續(xù) x225

8、,) 12cos() 12(14122xkkk展開成以2為周1 , 1x的和.故得 14, 0 x令得122) 12(14252kk故8) 12(1212kk121nn12) 12(1nn12)2(1nn12141nn121nn12) 12(134nn62 x225,) 12cos() 12(14122xkkk1 , 1x由此求級數(shù)121nn的和.15為正弦 級數(shù). 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 周期為2l 的函數(shù)的傅里里葉級數(shù)展開公式)(xf20alxnblxnannnsincos1(x 間斷點(diǎn))其中naxlxnxfllldcos)(1nbxlxnxfllldsin)(1), 1 ,0(n),2, 1(n當(dāng)f (x)為奇 函數(shù)時(shí),(偶)(余弦)2. 在任意有限區(qū)間上函數(shù)的傅里里葉展開法變換延拓16思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 將函數(shù)展開為傅里里葉級數(shù)時(shí)為什么最好先畫出