定積分的分部積分法

1、上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回第五節(jié)第五節(jié) 定積分的分部積分法定積分的分部積分法 一、分部積分法一、分部積分法 二、小結二、小結 思考題思考題 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回 設設函函數(shù)數(shù))(xu、)(xv在在區(qū)區(qū)間間 ba,上上具具有有連連續(xù)續(xù)導導數(shù)數(shù)，則則有有 bababavduuvudv. .定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式推導推導 ,vuvuuv ,)(babauvdxuv , bababadxvudxvuuv . bababavduuvudv一、分部積分公式上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回例例1 1 計算計算.arcsin2

2、10 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu , xv 210arcsin xdx 210arcsinxx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x . 12312 則則上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回例例2 2 計算計算解解.2cos140 xxdx,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan2140 40secln218 x.42ln8 *上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回10dxex計算且則令先用換元法tdtdxt

3、xtx2,.2. 1,1; 0,0txtx時當時當于是10102dttedxetx式右端的積分。再用分部積分法計算上ttevdtduedvtu,則設于是 101010dtetedttettt11 ee2 10dxex因此例例3解解 10tee上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回例例4 4 計算計算解解.)2()1ln(102 dxxx 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln( xx 10)1ln(21xdx32ln dxxx 101121xx 2111 10)2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 *上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁

4、下頁返回返回例例5 5 設設 求求解解 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf因因為為ttsin沒沒有有初初等等形形式式的的原原函函數(shù)數(shù)，無無法法直直接接求求出出)(xf，所所以以采采用用分分部部積積分分法法 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 102)(21xfx 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx*上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回 21,sin)(xdtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf 10)(dxxxf)1(21f 102)(21dxxfx 102sin221dxxx 1022sin21dxx 102c

5、os21x ).11(cos21 , 0sin)1(11 dtttf上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回例例6 6 證明定積分公式證明定積分公式 2200cossinxdxxdxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 為正偶數(shù)為正偶數(shù)為大于為大于1的正奇數(shù)的正奇數(shù)證證 設設,sin1xun ,sin xdxdv ,cossin)1(2xdxxndun ,cosxv 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回 dxxxnxxInnn 2202201cossin)1(cossinx2sin1 0dxxndxxnInnn 22002sin)1(sin)1(

6、 nnInIn)1()1(2 21 nnInnI積分積分 關于下標的遞推公式關于下標的遞推公式nI4223 nnInnI,直到下標減到直到下標減到0或或1為止為止上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回,214365223221202ImmmmIm ,3254761222122112ImmmmIm ), 2 , 1( m,2200 dxI, 1sin201 xdxI,221436522322122 mmmmIm.325476122212212 mmmmIm于是于是上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式 . bababavduuvudv二

7、、小結（注意與不定積分分部積分法的區(qū)別）（注意與不定積分分部積分法的區(qū)別）上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回思考題思考題設設)(xf 在在 1 , 0上上連連續(xù)續(xù)，且且1)0( f，3)2( f，5)2( f，求求 10)2(dxxfx.上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回思考題解答思考題解答 10)2(dxxfx 10)2(21xfxd 1010)2(21)2(21dxxfxfx 10)2(41)2(21xff )0()2(4125ff . 2 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回一、一、 填空題：填空題：1 1、設、設 n n 為正奇數(shù)，則為正奇數(shù)，則

8、 20sin xdxn_；2 2、設、設 n n 為正偶數(shù)，則為正偶數(shù)，則 20cos xdxn= =_；3 3、 dxxex10_；4 4、 exdxx1ln_；5、 10arctan xdxx_ .二二、 計計算算下下列列定定積積分分：1 1、 edxx1)sin(ln； 2 2、 eedxx1ln；練練 習習 題題上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回3 3、 0sin)(xdxxmJm， （m為為自自然然數(shù)數(shù)）4 4、 01)1cos(sinxdxnxn. .三、已知三、已知xxf2tan)( , ,求求 40)()(dxxfxf. .四四、若若 ,0)(在在xf 連連續(xù)續(xù)，,1)(,2)0( ff證證明明：3sin )()(0 xdxxfxf .上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回一一、1 1、! !)!1(nn ； 2 2、2! !)!1( nn； 3 3、e21 ； 4 4、)1(412 e； 5 5、23ln21)9341( . .二二、1 1、211cos1sin ee； 2 2、)11(2e ；練習題答案練習題答案 3