第九章 期權(quán)定價

1、第九章期權(quán)定價2022-3-239.19.1期權(quán)價格的特性期權(quán)價格的特性 一、期權(quán)價格的構(gòu)成一、期權(quán)價格的構(gòu)成 期權(quán)價格等于期權(quán)的內(nèi)在價值加上時間價值。 ，內(nèi)在價值 內(nèi)在價值是指期權(quán)持有者立即行使該期權(quán)合約所賦予的權(quán)利時所能獲得的總收益。 看漲期權(quán)的內(nèi)在價值為maxS-X,0 看跌期權(quán)的內(nèi)在價值為maxX-S,02022-3-23按照有無內(nèi)在價值，期權(quán)可呈現(xiàn)三種狀態(tài)：實值期權(quán)、虛值期權(quán)和平價期權(quán)。把（SX）時的看漲(跌)期權(quán)稱為實值期權(quán)；把的看漲（跌）期權(quán)稱為平價期權(quán)；把S）時的看漲(跌)期權(quán)稱為虛值期權(quán)；2022-3-232，期權(quán)的時間價值，期權(quán)的時間價值 期權(quán)的時間價值（Time Valu

2、e）是指在期權(quán)有效期內(nèi)標的資產(chǎn)價格波動為期權(quán)持有者帶來收益的可能性所隱含的價值。顯然，標的資產(chǎn)價格的波動率越高，期權(quán)的時間價值就越大。X時間價值圖9.1 看漲期權(quán)時間價值與|S-X|的關(guān)系到期日時間價值5 4 3 2 1 02022-3-233,3,期權(quán)價格與內(nèi)在價值和時間價值間的關(guān)系期權(quán)價格與內(nèi)在價值和時間價值間的關(guān)系 期權(quán)合約的價值是由期權(quán)價格決定的，即由內(nèi)在價值和時間價值所決定。三者之間的關(guān)系如圖9-2所示。2022-3-23A T M期權(quán)費變動曲線O T MI T MXIVTVTVTV0標的資產(chǎn)市價S期權(quán)費圖9.2 看漲期權(quán)的期權(quán)費、內(nèi)在價值、時間價值的關(guān)系2022-3-23二、期權(quán)價

3、格的影響因素二、期權(quán)價格的影響因素（一）標的資產(chǎn)的市場價格與期權(quán)的協(xié)議價格（一）標的資產(chǎn)的市場價格與期權(quán)的協(xié)議價格對于看漲期權(quán)而言，標的資產(chǎn)的價格越高、協(xié)議價格越低，看漲期權(quán)的價格就越高。對于看跌期權(quán)而言，標的資產(chǎn)的價格越低、協(xié)議價格越高，看跌期權(quán)的價格就越高。2022-3-23（二）期權(quán)的有效期（二）期權(quán)的有效期 對于美式期權(quán)而言，由于它可以在有效期內(nèi)任何時間執(zhí)行，有效期越長，多頭獲利機會就越大，而且有效期長的期權(quán)包含了有效期短的期權(quán)的所有執(zhí)行機會，因此有效期越長，期權(quán)價格越高。 對于歐式期權(quán)而言，由于它只能在期末執(zhí)行，有效期長的期權(quán)就不一定包含有效期短的期權(quán)的所有執(zhí)行機會。這就使歐式期權(quán)的

4、有效期與期權(quán)價格之間的關(guān)系顯得較為復雜。 2022-3-23 但在一般情況下（即剔除標的資產(chǎn)支付大量收益這一特殊情況），由于有效期越長，標的資產(chǎn)的風險就越大，空頭虧損的風險也越大，因此即使是歐式期權(quán)，有效期越長，其期權(quán)價格也越高，即期權(quán)的邊際時間價值（Marginal Time ValueMarginal Time Value）為正值。 我們應(yīng)注意到，隨著時間的延長，期權(quán)時間價值的增幅是遞減的。這就是期權(quán)的邊際時間價值遞減規(guī)律。 2022-3-23（三）標的資產(chǎn)價格的波動率（三）標的資產(chǎn)價格的波動率 標的資產(chǎn)價格的波動率是用來衡量標的資產(chǎn)未來價格變動不確定性的指標。由于期權(quán)多頭的最大虧損額僅限

5、于期權(quán)價格，而最大盈利額則取決于執(zhí)行期權(quán)時標的資產(chǎn)市場價格與協(xié)議價格的差額，因此波動率越大，對期權(quán)多頭越有利，期權(quán)價格也應(yīng)越高。 在定價時，波動性只能通過人們對未來的價格波動程度的估計求得，主要有兩種方法：歷史波動法和隱含波動法。2022-3-23（四）無風險利率（四）無風險利率從比較靜態(tài)的角度看。無風險利率越高，看跌期權(quán)的價值越低；而看漲期權(quán)的價值則越高。 從動態(tài)的角度看，當無風險利率提高時，看漲期權(quán)價格下降，而看跌期權(quán)的價格卻上升。2022-3-23（五）標的資產(chǎn)的收益（五）標的資產(chǎn)的收益 由于標的資產(chǎn)分紅付息等將減少標的資產(chǎn)的價格，而協(xié)議價格并未進行相應(yīng)調(diào)整，因此在期權(quán)有效期內(nèi)標的資產(chǎn)產(chǎn)

6、生收益將使看漲期權(quán)價格下降，而使看跌期權(quán)價格上升。 2022-3-23期權(quán)價格的影響因素期權(quán)價格的影響因素 變量 歐式看漲 歐式看跌 美式看漲 美式看跌標的資產(chǎn)的市價 期權(quán)協(xié)議價格 期權(quán)的有效期 ？ ？ 波動率 無風險利率 ？ ？ ？ ？標的資產(chǎn)的收益 注：互補關(guān)系：抵消關(guān)系；？：關(guān)系不明確。2022-3-23我們首先將本章后面所用到的符號及其含義開列如下：X：期權(quán)的執(zhí)行價格； T：期權(quán)的到期時刻；t：現(xiàn)在的時刻； S：標的資產(chǎn)在t時的市場價格；ST：標的資產(chǎn)在T時的市場價格；C：美式看漲期權(quán)的價格； c：歐式看漲期權(quán)的價格；P：美式看跌期權(quán)的價格； p：歐式看跌期權(quán)的價格；r：t到T期間的市

7、場無風險利率（連續(xù)復利）； 三、期權(quán)價格的上下限三、期權(quán)價格的上下限 :標的股票價格的波動率，一般用標的股票連續(xù)復利收 益率的年標準差表示。 2022-3-23 （一）期權(quán)價格的上限（一）期權(quán)價格的上限 1, 看漲期權(quán)價格的上限 對于美式和歐式看漲期權(quán)來說，標的資產(chǎn)價格就是看漲期權(quán)價格的上限： 其中，c代表歐式看漲期權(quán)價格，C代表美式看漲期權(quán)價格，S代表標的資產(chǎn)價格。（下同）SCSc,（9.1）2022-3-23 2,看跌期權(quán)價格的上限 美式看跌期權(quán)價格（P）的上限為X： 其中，r代表T時刻到期的無風險利率，t代表現(xiàn)在時刻。XP （9.2）歐式看跌期權(quán)的上限為：)(tTrXep（9.3）202

8、2-3-23（二）期權(quán)價格的下限（二）期權(quán)價格的下限 1, 歐式看漲期權(quán)價格的下限 （1 1）無收益資產(chǎn)歐式看漲期）無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格的下限權(quán)價格的下限我們考慮如下兩個組合：)(tTrXe組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為 的現(xiàn)金組合B：一單位標的資產(chǎn)2022-3-23由于期權(quán)的價值一定為正，因此無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格下限為： ),max(XST在T時刻，組合A 的價值為： TTSXS),max( 由于 ，因此，在t時刻組合A的價值也應(yīng)大于等于組合B，即:SXectTr)()(tTrXeSc或組合B的價值為ST。 )0 ,max()(tTrXeSc（9.4）2022-3-23例題例

9、題 考慮一個不付紅利股票的歐式看漲期權(quán)，此時股票價格為20元，執(zhí)行價格為18元，期權(quán)價格為3元，距離到期日還有1年，無風險年利率10%。問此時市場存在套利機會嗎？如果存在，該如何套利？（2 2）有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格的下限）有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格的下限)0 ,max()(tTrXeDSc（9.5）)(tTrXeD 我們只要將上述組合A的現(xiàn)金改為 ，其中D為期權(quán)有效期內(nèi)資產(chǎn)收益的現(xiàn)值，并經(jīng)過類似的推導，就可得出有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格的下限為：2022-3-232, 歐式看跌期權(quán)價格的下限 （1 1）無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格的下限）無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格的下限 考慮以下兩種組合：

10、 組合C：一份歐式看跌期權(quán)加上一單位標的資產(chǎn) 在T時刻，組合C的價值為：max（ST，X），組合D的價值為X 。)(tTrXe組合D：金額為 的現(xiàn)金 2022-3-23 由于組合C的價值在T時刻大于等于組合D，因此組合C的價值在t時刻也應(yīng)大于等于組合D，即：)(tTrXeSpSXeptTr)( 由于期權(quán)價值一定為正，因此無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格下限為：)0,max()(SXeptTr（9.6）2022-3-23（2 2）有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格的下限）有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格的下限)0,max()(SXeDptTr（9.7）)(tTrXeD 我們只要將上述組合D的現(xiàn)金改為 就可得到有收益

11、資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格的下限為： 2022-3-23四、提前執(zhí)行美式期權(quán)的合理性四、提前執(zhí)行美式期權(quán)的合理性 （一）提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式期權(quán)的合理性（一）提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式期權(quán)的合理性 1, 看漲期權(quán) 由于現(xiàn)金會產(chǎn)生收益，而提前執(zhí)行看漲期權(quán)得到的標的資產(chǎn)無收益，再加上美式期權(quán)的時間價值總是為正的，因此我們可以直觀地判斷提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)是不明智的。 因此，C=c （9.8）2022-3-23 根據(jù)（9.4），我們可以得到無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)價格的下限： 0 ,max)(tTrXeSC（9.9）2022-3-23 是否提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)的美式看跌期權(quán)，主要取決于期權(quán)的實值額（

12、X-S）、無風險利率水平等因素。一般來說，只有當S相對于X來說較低，或者r較高時，提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán)才可能是有利的。 美式看跌期權(quán)的下限為：SXP2,看跌期權(quán)2022-3-23（二）提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的合理性（二）提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的合理性 1,看漲期權(quán) 由于提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式期權(quán)可較早獲得標的資產(chǎn)，從而獲得現(xiàn)金收益，而現(xiàn)金收益可以派生利息，因此在一定條件下，提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)有可能是合理的。 由于存在提前執(zhí)行更有利的可能性，有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)價值大于等于歐式看漲期權(quán)，其下限為：0,max)(tTrXeDScC2022-3-232,看跌期權(quán)

13、 由于提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式看跌期權(quán)意味著自己放棄收益權(quán)，因此收益使美式看跌期權(quán)提前執(zhí)行的可能性變小，但還不能排除提前執(zhí)行的可能性。 由于美式看跌期權(quán)有提前執(zhí)行的可能性，因此其下限為：)0,max(SXDP2022-3-23 所謂看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系是指看漲期權(quán)的價格與看跌期權(quán)的價格，必須維持在無套利機會的均衡水平的價格關(guān)系上。如果這一關(guān)系被打破，則在這兩種價格之間，就存在無風險的套利機會，而套利者的套利行為又必將這種不正常的價格關(guān)系拉回到正常水平。下面我們?nèi)匀挥脽o套利均衡分析法來推導這一關(guān)系。五、看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系五、看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系 2022-3

14、-23（一）歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系（一）歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系 1，無收益資產(chǎn)的歐式期權(quán) n考慮如下兩個組合： 組合B：一份有效期和協(xié)議價格與看漲期權(quán)相同的歐式看跌期權(quán)加上一單位標的資產(chǎn))(tTrXe組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為 的現(xiàn)金2022-3-23 在期權(quán)到期時，兩個組合的價值均為max(ST,X)。由于歐式期權(quán)不能提前執(zhí)行，因此兩組合在時刻t必須具有相等的價值，即： 這就是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系（Parity）。 如果式（9.10 ）不成立，則存在無風險套利機會。套利活動將最終促使式（ 9.10 ）成立。SpXectTr)(（9

15、.10）2022-3-23套利機會套利機會 市場情況市場情況：某投資者剛剛獲得如下股票歐式期權(quán)的報價，股票市場價格為31美元，3個月期無風險年利率為10，看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的執(zhí)行價格都是30美元，3個月后到期。3個月期歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的價格分別為3美元和2.25美元。策略策略： 1，購買看漲期權(quán)；2，出售看跌期權(quán)；3，賣空一股股票。26.3230325. 01 . 0)(eXectTr25.333125. 2 Sp2022-3-23 結(jié)果：結(jié)果： 這個策略給出的初始現(xiàn)金流為：31.003.002.2530.25美元。將這筆資金按無風險利率投資3個月，3個月末本息和為30.25e0.1

16、*0.25=31.02美元。在3個月末，有如下兩種可能： 1，如果股票價格大于30美元，該投資者執(zhí)行看漲期權(quán)。即按照30美元價格購買一份股票，將空頭平倉，則可獲利31.02301.02美元。 2，如果股票價格小于30美元，該投資者的對手執(zhí)行看跌期權(quán)。即按照30美元價格購買一份股票，將空頭平倉，則可獲利31.02301.02美元。2022-3-23練習：練習： 若同樣的市場條件，但3個月期歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的價格分別為3美元和1美元。問是否有套利的機會？若有，如何構(gòu)筑套利策略？并分析套利結(jié)果。2022-3-232.2.有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)SpXeDctTr)(（9.11）

17、)(tTrXeD 在標的資產(chǎn)有收益的情況下，我們只要把前面的組合A中的現(xiàn)金改為 ，我們就可推導有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的平價關(guān)系：2022-3-23（二）美式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間的關(guān)系（二）美式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間的關(guān)系 1.1.無收益資產(chǎn)情形無收益資產(chǎn)情形)(tTrXeSPCXS2.2.有收益資產(chǎn)情形有收益資產(chǎn)情形()r T tS D X C P S D Xe 2022-3-239.2 9.2 期權(quán)的定價原理期權(quán)的定價原理一，一，Black-ScholesBlack-Scholes期權(quán)定價公式期權(quán)定價公式（一）（一） Black-ScholesBlack-Scholes模型的假設(shè)

18、條件模型的假設(shè)條件(1) 期權(quán)的標的資產(chǎn)是股票，其現(xiàn)行價格為S。這種資產(chǎn)可以被自由買賣；(2) 期權(quán)是歐式看漲期權(quán)，在期權(quán)有效期內(nèi)其標的資產(chǎn)不存在現(xiàn)金股利的支付。其協(xié)定價格為X，期權(quán)期限為T（以年表示）；2022-3-23(3) 市場不存在交易成本和稅收，所有證券均完全可以分割；(4) 市場不存在無風險的套利機會；(5) 市場提供了連續(xù)交易的機會;(6) 存在著一個固定的、無風險的利率，投資者可以以此利率無限制地借入或貸出；(7) 期權(quán)的標的股票的價格遵循幾何布朗運動，呈對數(shù)正態(tài)分布。2022-3-23 這就是著名的Black-Scholes微分分程，它適用于其價格取決于標的證券價格S的所有衍

19、生證券的定價。 rfSfSSfrStf2222212022-3-23（二）（二）Black-ScholesBlack-Scholes歐式看漲期權(quán)定價公式歐式看漲期權(quán)定價公式)()d(2)(1dNXeSNctTrtTdtTtTrXSdtTtTrXSd12221)(2/()/ln()(2/()/ln(2022-3-23 由歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)的平價關(guān)系，我們很容易推算出具有相同標的資產(chǎn)、相同到期日和相同執(zhí)行價格的歐式看跌期權(quán)的價格。 ()()()2()2()2()K()-S+= ()-1+K1- ()=K(-)-(-)r T tr T tr T t1r T t1r T t1pcSKeSN deN

20、 dKeS N deN deNdSNd2022-3-23例例9.1 考慮一種期權(quán)，有效期為6個月，股票價格為42美元，期權(quán)的執(zhí)行價格為40美元，無風險年利率為10，波動率為每年20。即S=42，X40，5 . 0,20. 0,10. 0tTr6278. 05 . 02 . 05 . 0)2/2 . 01 . 0()40/42ln(7693. 05 . 02 . 05 . 0)2/2 . 01 . 0()40/42ln(2221dd2022-3-23并且049.38405 . 01 . 0)(eXetTr因此，若該期權(quán)為歐式看漲期權(quán)，它的價格為：)6278. 0(049.38)7693. 0(4

21、2)()d(2)(1NNdNXeSNctTr又因為 N（0.7693）0.7791， N（0.6278）=0.7349所以 c=4.762022-3-23二、波動率的確定方法二、波動率的確定方法 例例9.2 假設(shè)一只股票當前的價格為30元，6個月期國債的年利率為3，一投資者購買一份執(zhí)行價格為35元的6個月后到期的看漲期權(quán)，假設(shè)在6個月內(nèi)股票不派發(fā)紅利。 問題：他要支付多少期權(quán)費？由題設(shè)知：S=30，X35，周個月256,03. 0tTr但還需要知道一個無法直接得到的變量：波動率2022-3-23解題步驟：（1）波動率 的計算方法一：從股票的歷史交易數(shù)據(jù)中計算波動率 。 假設(shè)在過去n周里的第t周

22、股票收盤價為St，第t-1周的收盤價為St1，則第t周的股票復利收益率為)/ln(1tttSSr那么，周收益率的標準差可用下面的公式計算ntnrrnnt1)(12 其中： 表示這n周里的股票收益率的均值。上式得到了周收益率的標準差作為周波動率 的估計值。由歷史的股價數(shù)據(jù)，設(shè)計算得到此股票的周波動率為0.045。nttrnr1)/1 (2022-3-23我們?nèi)50周，即1年的交易周數(shù)，可得年波動率318. 050045. 0或：每年的交易日數(shù)波動率每年波動率每交易日 方法二：把實際的市場期權(quán)價格代入BS公式而計算出的波動率即隱含波動率。交易員通常從交易活躍的期權(quán)中計算隱含波動率，然后利用計算出

23、的隱含波動率來估算基于同樣股票的不太活躍的期權(quán)的價格。更常見的是，可以同時得到基于同樣股票的幾種不同期權(quán)的幾個隱含波動率，然后對這些隱含波動率進行恰當?shù)募訖?quán)平均就可以計算出該股票的綜合隱含波動率。2022-3-23 投資者可以通過對比當前市場的波動率與期權(quán)的隱含波動率的大小來進行期權(quán)交易。如果認為實際的市場波動率高于隱含波動率，那么當前的期權(quán)價格被低估了，可以買進期權(quán)。反之可以賣出期權(quán)。（2）計算N（d1）和 N(d2)先計算：731. 05 . 0318. 0506. 0506. 05 . 0318. 05 . 0)2/318. 003. 0()35/30ln(00)(2/()/ln(122

24、21tTddtTtTrXSd2022-3-23然后查正態(tài)分布累積概率表，得到2877. 0)506. 0()(1 NdN和2327. 0)731. 0()(2 NdN（3）計算期權(quán)價格C608. 02327. 0352877. 030)()d(5 . 003. 02)(1edNXeSNctTr2022-3-23三、三、B-SB-S公式的基本推廣公式的基本推廣（一）有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)的定價公式（一）有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)的定價公式 （9.6）式是針對無收益資產(chǎn)歐式期權(quán)的，對于標的資產(chǎn)在期權(quán)到期日之前產(chǎn)生收益的情況，我們下面分兩種情況給予簡單分析。 2022-3-231 1，標的資產(chǎn)產(chǎn)生已知收益的情況

25、，標的資產(chǎn)產(chǎn)生已知收益的情況 假設(shè)標的資產(chǎn)將在時刻 產(chǎn)生已知現(xiàn)值為I的收益，且 。這時，標的資產(chǎn)的價值可分解為兩個部分：發(fā)生在 時刻的已知收益的現(xiàn)值部分和產(chǎn)生收益后到T時刻時標的資產(chǎn)的價值的現(xiàn)值部分。其中后一部分是有風險的，記為 于是我們可以直接利用（9.6）式來定價了，只要用來代替S即可， 1t1ttT1tYSI()-r(T-t)12cSI N(d )-KeN(d )2121ln()/K)(/2)()SIrTtdddTtTt，2022-3-232 2，標的資產(chǎn)產(chǎn)生已知收益率的情況標的資產(chǎn)產(chǎn)生已知收益率的情況 我們假定在任何時間段dt，標的資產(chǎn)都產(chǎn)生收益qSdt，這等價于在每一刻都將剩余股票價

26、值的比例為qdt的部分分走。以連續(xù)復利計算，意味著在期權(quán)到期日，還剩下原來資產(chǎn)價值的 。所以，在現(xiàn)在時刻t，標的資產(chǎn)的價值由兩部分組成：比例為 的部分作為收益在到期日T之前發(fā)放，剩下比例為 的部分是一單位標的資產(chǎn)在到期日T的價值的現(xiàn)值。 -q(T-t)e1-q(T-t)e-q(T-t)e2022-3-23()22121ln(/ ) (/2)()ln( / ) (/2)()q T tSeXrT tS Xr qT tdT tT tddT t ()()12(d )()q T tr T tCSeNXeN d 我們可用 來代替S，得到Black-Scholes偏微分方程的解 -q(T-t)YSe2022

27、-3-23 （二）期貨看漲期權(quán)的定價公式（二）期貨看漲期權(quán)的定價公式 如果標的資產(chǎn)為各種期貨合約的話，上述期權(quán)定價公式必須做相應(yīng)修正，因為現(xiàn)貨期權(quán)與期貨期權(quán)有著不同的交易規(guī)則。 為此，我們設(shè)F為期貨價格， 表示期貨價格的波動率，其他符號與上述相同，則只要期貨價格和標的資產(chǎn)價格一樣遵循幾何布朗運動的話，就有 -r(T-t)12cFN(d )-KN(d ) e2121ln()(/2)()F/KTtdddTtTt，2022-3-23 （三）美式期權(quán)價格的近似解（三）美式期權(quán)價格的近似解 假定標的資產(chǎn)在時刻t1有收益，這里tt1T。美式看漲期權(quán)的多頭要么在臨近時刻t1執(zhí)行期權(quán)，要么在到期日時刻T執(zhí)行期

28、權(quán)。因此，這個美式看漲期權(quán)的價值可以近似地看作兩個歐式看漲期權(quán)中較大的那一個。這兩個歐式看漲期權(quán)是 1）時刻t1到期的歐式看漲期權(quán)，標的資產(chǎn)無收益； 2）時刻T到期的歐式看漲期權(quán)，標的資產(chǎn)在時刻t1產(chǎn)生現(xiàn)值為I的收益 2022-3-239.3 9.3 期權(quán)定價的數(shù)值方法期權(quán)定價的數(shù)值方法二叉樹定價法二叉樹定價法 在很多情形中，我們無法得到期權(quán)價格的解析解，這時，人們經(jīng)常采用數(shù)值方法為期權(quán)定價，其中包括二叉樹方法、蒙特卡羅模擬和有限差分方法。蒙特卡羅方法的實質(zhì)是模擬標的資產(chǎn)價格在風險中性世界中的隨機運動，預測期權(quán)的平均回報，并由此得到期權(quán)價格的一個概率解。有限差分方法將標的變量滿足的偏微分方程轉(zhuǎn)

29、化成差分方程來求解，具體的方法包括隱性有限差分法、顯性有限差分法等。2022-3-23一、單步二叉樹定價法一、單步二叉樹定價法 （一）一個簡單案例 例例9.3 假設(shè)某只股票當前的市場價格為20元。投資者預期3個月后股價有可能是22元，也有可能是18元。再假設(shè)該股票不分紅利且無風險利率為10%。投資者打算對3個月后以21元執(zhí)行價格買入股票的歐式看漲期權(quán)進行估值。 我們知道，若到期時股票價格為22元，期權(quán)的價值為1元；若股票價格為18元，期權(quán)的價值將是0。如圖9.3所示2022-3-23圖9.3 股票價格與期權(quán)價格變動示意圖 182022C10 在無套利假設(shè)下，二叉樹期權(quán)定價法的基本思路是：首先，

30、以某種方式構(gòu)造一個只包含股票和期權(quán)的無風險證券組合；其次，根據(jù)到期日的股票和期權(quán)價格得出組合的價值；再次，利用無風險組合的收益率只能是無風險收益率，得出構(gòu)造該組合的初始成本，于是得出該期權(quán)的價格。 2022-3-23 我們首先假設(shè)無風險證券組合里包含一個 股股票多頭頭寸和一單位看漲期權(quán)的空頭頭寸。 根據(jù)假設(shè)，3個月后市場只會出現(xiàn)兩種可能結(jié)果：股票價格要么上升到22元要么下降到18元。如果股票價格上升到22元，期權(quán)的價值為1元，則組合的總價值為 ；如果股票價格下降到18元，期權(quán)的價值為0， 則組合的總價值為 。因為組合為無風險證券組合，到期日的價值是確定的。這意味著 2211822118 0.2

31、5 即2022-3-23 因此，0.25股股票多頭和一單位看漲期權(quán)空頭就組成一個無風險的證券組合。在期權(quán)到期日，組合的價值總是 =4.5元。根據(jù)無套利均衡原理， 由于當前的股價已知為20元，假設(shè)期權(quán)的價格為，則該組合當前的價值為 22 0.25 10.1 0.254.5e4.3920 0.255cc54.39c0.61c 2022-3-23n（二）一般結(jié)論n設(shè)看漲期權(quán)的標的資產(chǎn)的現(xiàn)行價格為S，在期權(quán)到期日，標的資產(chǎn)的價格要么上漲至現(xiàn)價的u倍，要么下跌至現(xiàn)價的d倍。這里u1、d1，如圖9.4所示。uCdC 再設(shè)當前歐式看漲期權(quán)的價值為C、執(zhí)行價格為X，在標的資產(chǎn)價格的上述兩種變化下，其價值分別為

32、 、 。如圖9.9.5所示。2022-3-23SuSdS圖9.4 標的資產(chǎn)價格變動 CuCdC圖9.5 單期看漲期權(quán)的價值變動 顯然0,maxXuSCu0,maxXdSCd2022-3-23為確定唯一的未知量C，我們構(gòu)造如下的一個投資組合：（a）以價格C賣出一份看漲期權(quán)；（b）買入h份標的資產(chǎn)。其中h為套期保值比率，其大小是要保證該投資組合成為一個無風險的投資組合。也就是說，不管市場如何變化，該投資組合在到期日是的價值是確定的。 建立組合的初始成本是購買股票的成本hS減去賣出期權(quán)收到的期權(quán)費，即 。而標的資產(chǎn)價格上漲時，該投資組合的最終價值為 ；當價格下跌時，該投資組合的最終價值為 。ChSu

33、ChuS dChdS 2022-3-23因為該投資組合為無風險投資組合。從而有： duChdSChuS即 （9.12） SduCCdSuSCChdudu)( 如果期權(quán)的有效期限里的無風險利率為r，則以該組合的當前價值 進行無風險投資到期權(quán)到期日的收益應(yīng)和該投資組合的最終價值相等，即有 ChS uChuSChSr)(1 (2022-3-23從而rCurhSCu1)1 (再將h代入，得 （9.13） rCppCCdu1)1 (其中 （9.14）dudrp1 在市場無套利機會存在的前提下，一定有d1+ru，從而 。另外，還可以看出， 只與標的資產(chǎn)價格的上漲或下跌幅度有關(guān)，而與某一時刻標的資產(chǎn)價格的大

34、小無關(guān)。 10 pp2022-3-23 例例9.49.4 接著例9.3（如圖9.3所示），已知u=1.1，d=0.9，r=0.1，T-t=0.25，Cu=1，Cd =0。由（9.14）式，我們得出 0.1 0.250.90.6271.1 0.9ep由（9.13）式，我們得出 0.1 0.250.627 1 (1 0.627) 00.61ce 2022-3-23（三）風險中性概率 如果我們將（9.14）式中的p解釋為標的資產(chǎn)價格上升的概率，于是1-p就是標的資產(chǎn)價格下降的概率，則標的資產(chǎn)在T時刻的預期值由下式給出 ()(1)TE SpuSp dS()()TE Sp ud SdS再將（9.14）式

35、中的p代入上式，化簡得 ()()r T tTE SSe2022-3-23 （9.14）式的p就是的風險中性概率，而（9.13）式可以表述為：在風險中性世界里，期權(quán)的價值就是其未來預期值按無風險利率貼現(xiàn)的值。根據(jù)風險中性假設(shè)，風險中性世界里的無套利均衡價格也是真實世界里的均衡價格。因而，上述的二叉樹定價法就等價于風險中性定價法。 在二叉樹定價中也沒有用到標的資產(chǎn)價格上升和下降的概率。當然，這并不意味期權(quán)定價與標的資產(chǎn)價格上升和下降的概率無關(guān)，事實上，標的資產(chǎn)價格未來上升和下降的概率已經(jīng)包含在標的資產(chǎn)價格中了。 2022-3-23 我們可以把一年分成4個3個月、或者12個1個月，或者365天每一個

36、時點上都對應(yīng)一個單步二叉樹，然后做和單步二叉樹定價法相同的工作：建立不同的無風險資產(chǎn)組合或利用風險中性定價法求不同狀態(tài)下期權(quán)的收益，再從最終的結(jié)點一步一步逆推，最后計算出初始狀態(tài)下期權(quán)的價格。 二、多步二叉樹定價法二、多步二叉樹定價法2022-3-23 我們先將二叉樹從單步推廣到兩步，然后再推廣到多步情形。 設(shè)標的資產(chǎn)的現(xiàn)價為S，每一期間均可能上漲至原來的u倍，或下跌至原來的d倍。這樣，在期權(quán)的有效期限內(nèi)，看漲期限的價值及其變動如圖9.6所示： （一）兩步二叉樹定價法2022-3-23SuSdSu2SudSd2S圖9.6 兩步二叉樹中的標的資產(chǎn)價格與期權(quán)價格變動 CuCdC2dCudC2uC2

37、022-3-23由圖很容易得到： 0,max22KSuCu0,maxKudSCud0,max22KSdCd 我們將期權(quán)到期時標的資產(chǎn)價格的三種可能價位與看漲期權(quán)的三種可能價值對應(yīng)起來，由前面同樣的方法，可以求出： truduueCppCC)1 (2trduddeCppCC2)1 (2022-3-23在求出Cu和Cd之后，我們可用相同的方法求出C，即 （9.15） trdudueCpCppCpc22222)1 ()1 (2這就是兩步二叉樹定價公式。 例例9.59.5 假設(shè)一只不分紅股票，其當前的市場價格為20元，在二叉樹中的任一步之間，股價要么上漲10%要么下跌10%。我們假設(shè)二叉樹中每一步的時

38、間長度為3個月，市場的無風險利率為10%。現(xiàn)在我們對執(zhí)行價格為21元的歐式看漲期權(quán)估值。 2022-3-23圖9.7 標的股票價格與期權(quán)價格變動示意圖 20221824.219.816.2CuCdC3.20.00.02022-3-23 由題設(shè)知，u=1.1，d=0.9，r=0.1， 由（9.14）式，我們得出 0.25t 23.2uC0.0udC20.0dC0.1 0.250.90.6271.1 0.9ep10.373p 將上述所有參數(shù)代入（9.15）式，可得執(zhí)行價格為21元的歐式看漲期權(quán)的價值為 222 0.1 0.250.6273.22 0.627 0.373 0.00.3730.01.20ce 元2022-3-23 按同樣的方法，我們可以把兩期的二叉樹模型擴展到多期的情況。隨著期數(shù)的增加，股價變化的可能范圍越來越大，越來越接近于實際情況，所以二叉樹模型的準確性也越來越高。若將期權(quán)的到期期限分割成n個小期間，則結(jié)果為（二）多步二叉樹定價法（二）多步二叉樹定價法 0!(1)!()