同濟(jì)大學(xué)第六版高等數(shù)學(xué)上下冊課后習(xí)題答案(3)

1、.習(xí)題8-8 1. 求函數(shù)f(x, y)=4(x-y)-x2-y2的極值. 解 解方程組, 求得駐點(diǎn)為(2,-2). fxx=-2, fxy=0, fyy=-2, 在駐點(diǎn)(2,-2)處, 因?yàn)?fxx fyy-fxy2=(-2)(-2)-0=4>0, fxx=-2<0, 所以在點(diǎn)(2, -2)處, 函數(shù)取得極大值, 極大值為f(2, -2)=8. 2. 求函數(shù)f(x, y)=(6x-x2)(4y-y2)的極值. 解 解方程組, 得駐點(diǎn)(0, 0), (0, 4), (3, 2), (6, 0), (6,4). 函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)為 fxx(x, y)=-2(4y-y2), fxy(x

2、, y)=4(3-x)(2-y), fyy(x, y)=-2(6x-x2). 在點(diǎn)(0, 0)處, 因?yàn)?fxx×fyy-fxy2=0´0-242=-242<0, 所以f(0, 0)不是極值; 在點(diǎn)(0, 4)處, 因?yàn)?fxx×fyy-fxy2=0´0-(-24)2=-242<0, 所以f (0, 4)不是極值. 在點(diǎn)(3, 2)處, 因?yàn)?fxx×fyy-fxy2=(-8)´(-18)-02=8´18>0, fxx=-8<0,所以f(3, 2)=36是函數(shù)的極大值. 在點(diǎn)(6, 0)處, 因?yàn)?f

3、xx×fyy-fxy2=0´0-(-24)2=-242>0, 所以f(6, 0)不是極值. 在點(diǎn)(6, 4)處, 因?yàn)?fxx×fyy-fxy2=0´0-242=-242>0, 所以f(6, 4)不是極值. 綜上所述, 函數(shù)只有一個(gè)極值, 這個(gè)極值是極大值f(3, 2)=36. 3. 求函數(shù)f(x, y)=e2x(x+y2+2y)的極值. 解 解方程組, 得駐點(diǎn). fxx(x, y)=4e2x(x+y 2+2y+1), fxy(x, y)=4e2x(y+1), fyy(x, y)=2e2x. 在駐點(diǎn)處, 因?yàn)?fxx×fyy-fxy

4、2=2e×2e-02=4e2>0, fxx=2e>0, 所以是函數(shù)的極小值. 4. 求函數(shù)z=xy在適合附加條件x+y=1下的極大值. 解 由x+y=1得y=1-x, 代入z=xy, 則問題化為求z=x(1-x)的無條件極值. , . 令 得駐點(diǎn). 因?yàn)? 所以為極大值點(diǎn), 極大值為. 5. 從斜邊之長為l的一切直角三角形中, 求有最大周界的直角三角形. 解 設(shè)直角三角形的兩直角邊之長分別為x, y, 則周長 S=x+y+l(0<x<l , 0<y<l). 因此, 本題是在x2+y2=l2下的條件極值問題, 作函數(shù) F(x, y)=x+y+l+l(

5、x2+y2-l2). 解方程組 , 得唯一可能的極值點(diǎn). 根據(jù)問題性質(zhì)可知這種最大周界的直角三角形一定存在, 所以斜邊之長為l的一切直角三角形中, 周界最大的是等腰直角三角形. 6. 要造一個(gè)容積等于定數(shù)k的長方體無蓋水池, 應(yīng)如何選擇水池的尺寸方可使表面積最小. 解 設(shè)水池的長為x, 寬為y, 高為z, 則水池的表面積為 S=xy+2xz+2yz(x>0, y>0, z>0). 本題是在條件xyz=k下, 求S的最大值. 作函數(shù) F(x, y, z)=xy+2xz+2yz+l(xyz-k). 解方程組 , 得唯一可能的極值點(diǎn). 由問題本身可知S一定有最小值, 所以表面積最小

6、的水池的長和寬都應(yīng)為高為. 7. 在平面xOy 上求一點(diǎn), 使它到x=0, y=0及x+2y-16=0三直線距離平方之和為最小. 解 設(shè)所求點(diǎn)為(x, y), 則此點(diǎn)到x=0的距離為|y|, 到y(tǒng)=0的距離為|x|, 到x+2y-16=0的距離為, 而距離平方之和為 .解方程組 , 即. 得唯一的駐點(diǎn), 根據(jù)問題的性質(zhì)可知, 到三直線的距離平方之和最小的點(diǎn)一定存在, 故即為所求. 8. 將周長為2p的矩形繞它的一邊旋轉(zhuǎn)而構(gòu)成一個(gè)圓柱體, 問矩形的邊長各為多少時(shí), 才可使圓柱體的體積為最大？ 解 設(shè)矩形的一邊為x, 則另一邊為(p-x), 假設(shè)矩形繞p-x旋轉(zhuǎn), 則旋轉(zhuǎn)所成圓柱體的體積為V=px

7、2(p-x). 由, 求得唯一駐點(diǎn). 由于駐點(diǎn)唯一, 由題意又可知這種圓柱體一定有最大值, 所以當(dāng)矩形的邊長為和時(shí), 繞短邊旋轉(zhuǎn)所得圓柱體體積最大. 9. 求內(nèi)接于半徑為a的球且有最大體積的長方體. 解 設(shè)球面方程為x2+y2+z2=a2, (x, y, z)是它的各面平行于坐標(biāo)面的內(nèi)接長方體在第一卦限內(nèi)的一個(gè)頂點(diǎn), 則此長方體的長寬高分別為2x, 2y, 2z, 體積為 V=2x×2y×2z=8xyz. 令 F(x, y, z)=8xyz+l(x2+y2+z2-a2) . 解方程組 , 即, 得唯一駐點(diǎn). 由題意可知這種長方體必有最大體積, 所以當(dāng)長方體的長、寬、高都為時(shí)其體積最大. 10. 拋物面z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一橢圓, 求原點(diǎn)到這橢圓的最長與最短距離. 解 設(shè)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)(x, y, z), 則原點(diǎn)到橢圓上這一點(diǎn)的距離平方為d2=x2+y2+z2, 其中x, y, z要同時(shí)滿足z=x2+y2和x+y+z=1. 令 F(x, y, z)=x2+y2+z2+