數(shù)列教師講義

1、一、數(shù)列概念1. 數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每個(gè)數(shù)稱為該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的數(shù)是按一定 “次序排列的，在這里,只強(qiáng)調(diào)有“次序，而不強(qiáng)調(diào)有“規(guī)律 因 此，如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列.在數(shù)列中同一個(gè)數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn).項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n是兩個(gè)根本不同的概念.數(shù)列可以看作一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集(或它的有限子集)的函數(shù)當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，但函數(shù)不一定是數(shù)列2. 通項(xiàng)公式：如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與序號(hào)之間可以用一個(gè)式子表示,那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，即 an f(n).3. 遞推公式：如果數(shù)列 an的第一項(xiàng)或前幾項(xiàng)，且任何一項(xiàng)

2、an與它的前一項(xiàng)an 1或前幾項(xiàng)間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，即an f (an 1)或an f (an i,an 2)，那么這個(gè)式子叫做數(shù)列 an的遞推公式如數(shù)列an中，ai 1,an 2an 1,其中an 2an 1 是數(shù)列an的遞推公式S1(n1)SnSi 1(n 2)n項(xiàng)和與通項(xiàng)的公式an Sn a1 a?5. 數(shù)列的表示方法：解析法、圖像法、列舉法、遞推法6. 數(shù)列的分類：有窮數(shù)列，無窮數(shù)列；遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，擺動(dòng)數(shù)列，常數(shù)數(shù)列；有 界數(shù)列，無界數(shù)列. 遞增數(shù)列：對(duì)于任何nN ,均有an 1 an. 遞減數(shù)列：對(duì)于任何nN ,均有an 1 an. 擺動(dòng)數(shù)列：例如：1,1, 1,1,

3、 1,. 常數(shù)數(shù)列：例如：6,6,6,6,. 有界數(shù)列：存在正數(shù)M使anM , n N .無界數(shù)列：對(duì)于任何正數(shù)M，總有項(xiàng)an使得an課堂練習(xí)1、any (nn2156那么在數(shù)列an的最大項(xiàng)為答:2、數(shù)列an的通項(xiàng)為ananbn-,其中a, b均為正數(shù)，那么an與an11的大小關(guān)系為答:anan 1；3、數(shù)列an中，ann,且an是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù) 的取值范圍答:3；課后練習(xí)一、選擇題1 以下有關(guān)數(shù)列的說法正確的選項(xiàng)是() 同一數(shù)列的任意兩項(xiàng)均不可能相同； 數(shù)列一1,0,1與數(shù)列1,0, 1是同一個(gè)數(shù)列； 數(shù)列中的每一項(xiàng)都與它的序號(hào)有關(guān).A .B .C.D .2 .下面四個(gè)結(jié)論： 數(shù)列可以看作

4、是一個(gè)定義在正整數(shù)集或它的有限子集1,2,3，n上的函數(shù). 數(shù)列假設(shè)用圖象表示，從圖象上看都是一群孤立的點(diǎn). 數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是無限的. 數(shù)列通項(xiàng)的表示式是唯一的.其中正確的選項(xiàng)是A .B .C.D .3. an= nn +1，以下四個(gè)數(shù)中，哪個(gè)是數(shù)列an中的一項(xiàng)A. 18B . 21C. 25D . 30n 14. 數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an =匚門，那么這個(gè)數(shù)列是A .遞增數(shù)列B .遞減數(shù)列C.常數(shù)列D .擺動(dòng)數(shù)列5. 數(shù)列1 , 3,5, 7,9,的一個(gè)通項(xiàng)公式為()A . an= 2n 1B . an= ( 1)n(1 2n)C. an= ( 1)n(2n 1)D . an = ( 1)n(2

5、n + 1)6. 數(shù)列.2,5, 2 2,11，貝U 2 5可能是這個(gè)數(shù)列的()A .第6項(xiàng)B .第7項(xiàng)C.第10項(xiàng)D .第11項(xiàng)7 .數(shù)列an滿足 a1 = 1, an+1 = 2a n 1(n N)，貝U 31000=()A. 1B . 1999C. 1000D . 18 .對(duì)任意的a1 (0,1)，由關(guān)系式an+1 = f(an)得到的數(shù)列滿足 an+ 1an(n N )，那么函數(shù)y=fx的圖象是9.假設(shè)數(shù)列的前4項(xiàng)分別為2,0,2,0 ,那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式不能是A.an= 1 + ( 1)n+1B.an= 1 cos n nC.?n nan= 2sin 2D.an= 1 + ( 1

6、)n1 + (n 1)(n 2)10.函數(shù) f(x)滿足 f(1) = 1 , f(n +1) = f(n) + 3(n N*),那么 f(n)是(A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列C.常數(shù)列D.不能確定、填空題( )1/.3, 1?, 35,63 , 99,的一個(gè)通項(xiàng)公式是項(xiàng).2. 數(shù)列.3,.7,11,15,.19,，那么3.11是這個(gè)數(shù)列的第2an3. 數(shù)列an滿足 31 = 2, an+ 1 = 2+，貝V 36 =1 an3n+1 n為奇數(shù)nt4 .數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=,，那么a2 a3=2n 2 n為偶數(shù)三、解答題1. 寫出以下數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.11 1 1_ ；(1) 1+ 1, 4

7、+ 1, 9+ 1 , 16+ 1 ,；(2) 2,3,5,9,17,33，；1 2 3 5；2, 5, 10, 17, 26 ；4 c 16(4) 1, 3 2,石，;11 丄丄(5) 3 , 8, 15 , 24 ,；(6) 2,6,12,20,30,2 數(shù)列an 中,十曲，判斷數(shù)列an的增減性3.數(shù)列 an的通項(xiàng)公式為an= n2 5n+ 4.(1) 求數(shù)列an中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？(2) 當(dāng)n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值.二、等差數(shù)列1、等差數(shù)列的定義：如果數(shù)列an從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫等差數(shù)列的公差。即an an 1

8、d(n N*,且n 2).(或 an 1 an d(n N*).2、 1常見等差數(shù)列的判斷方法： 定義法：an 1 an d(常數(shù))an為等差數(shù)列。 中項(xiàng)法：2an 1 an an 2 an為等差數(shù)列。2等差數(shù)列的通項(xiàng)：an耳(n 1)d或an am (n m)d。公式變形為：an an b .其中 a=d, b= a-d.如1、等差數(shù)列an中，a10 30 , a20 50，那么通項(xiàng) 為 ；2、首項(xiàng)為-24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)起開始為正數(shù)，那么公差的取值范圍是 答：8 d 333等差數(shù)列的前n和：Sn 呃 也,Sn na1。公式變形為:2 2Sn An2dBn，其中A=2B=a1d一.注意

9、：n,d,a1 , an,Sn中的三者可以求另2兩者，即所謂的“知三求.1*315如數(shù)列an中，an an1 -(n 2,n N) , an |，前 n項(xiàng)和 Sn-2，那么印n =答：a13, n 10；4等差中項(xiàng)：假設(shè)a, A,b成等差數(shù)列，那么 A叫做a與b的等差中項(xiàng)，且 A3. 等差數(shù)列的性質(zhì)1當(dāng)公差d 0時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 an a1 (n 1)d dn a1 d是關(guān)于n的一次 函數(shù)，且斜率為公差d ；前n和Sn na1匹丄 衛(wèi)d dn2 )n是關(guān)于n的二次函數(shù)2 2 2且常數(shù)項(xiàng)為0.等差數(shù)列a n 中，是n的一次函數(shù)，且點(diǎn)n,魚均在直線y =d x + (a nn21 -夕)上2

10、假設(shè)公差d 0,那么為遞增等差數(shù)列，假設(shè)公差d 0,那么為遞減等差數(shù)列，假設(shè)公差d 0，那么為常數(shù)列。3對(duì)稱性：假設(shè) an是有窮數(shù)列，那么與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和都等于首末兩項(xiàng)之和.當(dāng)m n p q時(shí)，那么有am an ap aq ,特別地，當(dāng)m n 2p時(shí)，那么有 am an 2ap .如 1、等差數(shù)列an中，&18,anan1an23,S31，那么 n = _答：27；(4)項(xiàng)數(shù)成等差，那么相應(yīng)的項(xiàng)也成等差數(shù)列即ak，ak m-ak 2m-(k,m n*)成等差假設(shè) an、bn是等差數(shù)列，那么kan、kanpbn(k、p 是非零常數(shù)卜apnq(P,qN*)、Sn,S2n Sn.Ssn S

11、q.I公差為門命，也成等差數(shù)列，而a%成等比數(shù)列；假設(shè) &是 等比數(shù)列，且an 0，那么lg an是等差數(shù)列.女口 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為25,前2n項(xiàng)和為100,那么它的前3n和為。答：2255單調(diào)性：設(shè)d為等差數(shù)列an的公差，那么d0 an是遞增數(shù)列；d0 , S30 , 求公差d的取值范圍； 3,S2,$2中哪一個(gè)值最大？并說明理由.3、己知an為等差數(shù)列，a1 2, a2 3，假設(shè)在每相鄰兩項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù)，使它和原數(shù)列的數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列，求：1原數(shù)列的第12項(xiàng)是新數(shù)列的第幾項(xiàng)？ 2新數(shù)列的第29項(xiàng)是原數(shù)列的第幾項(xiàng)？4、設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為S n ,且 S 4 = 62, S 6 = 75,求：1an的通項(xiàng)公式+|a