橢圓型偏微分方程1

1、1偏微分方程教程第六章 橢圓型方程21 1 調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù) 【知識(shí)點(diǎn)提示知識(shí)點(diǎn)提示】Green公式，基本解，調(diào)和函數(shù)，調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì)?！局亍㈦y點(diǎn)提示重、難點(diǎn)提示】 利用Green公式導(dǎo)出基本積分公式，進(jìn)而研究調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì)。 【教學(xué)目的教學(xué)目的】掌握調(diào)和函數(shù)的定義和性質(zhì)。31.1.1.1.GreenGreen公式公式 散度定理：散度定理： 設(shè) 是 n維空間中以足夠光滑的曲面所圍成的有界連通區(qū)域,n是曲面的外單位法向. 若函數(shù) 12()inP x xx(1 2)in 在閉區(qū)域 上連續(xù), 在 內(nèi)有一階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則 111cos(),nniniiiiiPdxdxPn x dSx (1

2、.1) 其中 cos()in x表示曲面 的外單位法向 n 與 ix軸的方向余弦, dS是 上的面積元素. 4Green公式的推導(dǎo)： 設(shè)函數(shù) 12()nu x xx和 12()nv xxx在 內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù). 在公式(1.1)中令1 2iivPuinx 得到 111cos()nnniiiiiivvudxdxun x dSxxx (1.2)(1.2)可改寫成為 1iinnxxivuvdu v dudSn (1.3) 5uv若將(1.3)中的和 互相對(duì)換,又得 1iinnxxiuvudv u dvdSn (1.4) 我們把(1.3)與(1.4)都稱作第一第一Green公式公式. 若將(1.3

3、)與(1.4)相減,則得 ()nnvuu v v u duvdSnn (1.5) 我們把(1.5)稱為第二第二Green公式公式. 1.2. 調(diào)和函數(shù)與基本解調(diào)和函數(shù)與基本解 定義定義 6.1 對(duì)于函數(shù) 12()nu x xx,如果它在 n維空間 nR的有界區(qū)域內(nèi)有直到二階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且在 內(nèi)滿足Laplace方程： 61 12 20n nnx xx xx xuuuu (1.6) 則稱 u在區(qū)域 內(nèi)是調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù). 如果 0(0)nu, 則稱 在區(qū)域 u內(nèi)是下調(diào)和下調(diào)和(上調(diào)和上調(diào)和)函數(shù)函數(shù). 如果 是無界區(qū)域,則除上面的要求外,還應(yīng)要求當(dāng)點(diǎn) 12()nP x xx趨于無窮遠(yuǎn)時(shí), 函數(shù)

4、 u一致趨于零.即對(duì)于任意小的正數(shù) ,存在正數(shù) A,使當(dāng)點(diǎn) P與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離 rA時(shí), 總有 ( )u P 按照這個(gè)定義,有時(shí)我們把Laplace方程(1.6)也稱作調(diào)和方程調(diào)和方程. 調(diào)和方程的基本解調(diào)和方程的基本解 我們僅考慮三維空間和二維空間的情形. 7首先我們考慮三維的情形. 用 ()x y z 表示三維空間中的點(diǎn) 123()x xx改寫 三維空間的調(diào)和方程 為球坐標(biāo)形式. 設(shè)球坐標(biāo)變換為 000sincossinsincos.xxryyrzzr則(1.6)(取3n )可化為 22322222111()(sin)0sinsinuuuurrrrrr (1.7) 由(1.7)可以看出,方

5、程(1.6)的球?qū)ΨQ解是滿足以 r為自變量的常微分方程221()0urrrr8其通解可寫為 12cucr這里 1c2c是任意常數(shù). 所以函數(shù) , 1ur是一個(gè)球?qū)ΨQ特解, 從而推得22200011()()()rx xy yz z在任一不包含點(diǎn) 0000()P x y z的區(qū)域內(nèi)是調(diào)和的, 它在點(diǎn) 0P處有奇性. 稱函數(shù) 22200011()()()rx xy yz z 為三維Laplace方程(1.6)的基本解基本解 9 注注 基本解在 000()()x y zxy z 時(shí)關(guān)于 ()x y z 或 000()xy z都是調(diào)和且無窮次可微. 函數(shù)其次, 考慮二維Laplace方程 20 xxyy

6、uuu在極坐標(biāo)變換 00cossinxxryyr下它可化為 222211()0uuurr rrr (1.8) 二維Laplace方程的基本解 1lnr 定理定理 6.1 設(shè)函數(shù) ()u x y z 在有界區(qū)域 內(nèi)二階連續(xù)可微, 在 上連續(xù)且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù), 則當(dāng)點(diǎn) 0000()P xy z時(shí), 有 10301111()( )44uuu PudSdr nn rr(1.9) 其中 222000()()()rxxyyzzn是邊界曲面 的外單位法向, dS是曲面 上的面積單元, d是體積單元. 0PKK證證 以 為中心 為半徑作球使表示該球的球面,于是在區(qū)域 Ku1vr上,函數(shù)和 都滿足第二Gre

7、en公式的條件,代入公式(1.5)得331111( )( ),Kuuu dudSrrn rrn (1.10) 1rK31( )0r因?yàn)樵趨^(qū)域內(nèi)是調(diào)和函數(shù), 所以有. 另外邊界 上任一點(diǎn)的外法線方向?qū)嶋H上是從該點(diǎn)沿著半徑指向球心 0P的方向, 所以在 上有 11221111( )( )n rr rr 從而得到在上的積分為 211( )1144()uudSn rrnuudSdSnuun其中 uunuun和分別是函數(shù) 和 在 球面 上的平均值.于是(1.10)可寫成3111( )4() .KuuududSurn rrnn 因?yàn)?u及 un在 上連續(xù)，所以 un關(guān)于 一致有界, 且當(dāng) 0時(shí),有 0()

8、uu P 0unK ,12于是由上式即得 0311111()( )44uu PudSudrnn rr定理證畢. 今后, 我們將公式(1.9)稱為三維空間中的基本積分公式基本積分公式. 定理定理 6.2 設(shè)函數(shù) ()u x y在有界區(qū)域 內(nèi)二階連續(xù)可微， 在 上連續(xù)且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)點(diǎn) 000()P xy時(shí)有 0211111()lnlnln22uu Pudludrnnrr(1.11) 其中 dl表示 上的線元素, d是 上的面積元素. 1.3. 調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì)調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì) 6.1 設(shè) ()u x y z 是有界區(qū)域 內(nèi)的調(diào)和函數(shù), 且在 上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),則 13

9、0.udSn(1.12) 證證 利用第二Green公式,在(1.5)中取 1v u,取 為所給的調(diào)和函數(shù),由此性質(zhì)可得出, Laplace方程的第二邊就可得到(1.12). 值問題30 ().ux y zun 有解的必要條件是函數(shù) 滿足 0.dS性質(zhì)性質(zhì) 6.2 設(shè) ()u x y z 是有界區(qū)域 內(nèi)的調(diào)和函數(shù),且在閉區(qū)域 上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),則在 內(nèi)的任一點(diǎn) 0000()P x y z處有 140111()( )4uu PudSrnn r(1.13) 證證 利用基本積分公式(1.9)即得. 類似地,對(duì)于二維空間的情形,我們可以利用(1.11)得到 0111()ln(ln)2uu Pudlr

10、nnr(1.14) 其中 是平面上有界區(qū)域 的邊界. 性質(zhì)性質(zhì) 6.3 (平均值定理平均值定理) 設(shè) ()u x y z 是區(qū)域 內(nèi)的調(diào)和函數(shù), 0000()P x y z 是 內(nèi)的 任一點(diǎn)以, 0P為心 R為半徑作球 RK只要球 RK連同其邊界 R包含在 內(nèi),則有公式 021()4Ru PudSR(1.15) 15 證證 將公式(1.13)應(yīng)用于球面 R上,得到 0111()( )4Ruu PudSrnn r這里 rR,故由性質(zhì)6.1知上式右端第一項(xiàng)的積分值為零,在球面上的外法線方向與半徑的方向一致,于是 又因?yàn)?111( )( )RRn rr rR 所以有 021()4Ru PudSR 我

11、們把調(diào)和函數(shù)的這一性質(zhì)稱為平均值定理平均值定理, 公式(1.15)16稱為平均值公式平均值公式, 即調(diào)和函數(shù)在球心處的值等于它在球面上的平均值. 注注1 對(duì)區(qū)域 內(nèi)的下調(diào)和(上調(diào)和)函數(shù) u, 我們有 002211()()44RRu PudSu PudSRR(1.17) 性質(zhì)性質(zhì) 6.4 (強(qiáng)極值原理強(qiáng)極值原理) 假設(shè)不恒為常數(shù)的函數(shù) ()u x y z 在有界區(qū)域 ,內(nèi)調(diào)和且在 上連續(xù), 則它在 上的最大值和最小值只能在的邊界 上達(dá)到. 證證 用反證法. 假設(shè)調(diào)和函數(shù) ()u x y z 在 上的最大值不在 上達(dá)到, 那么它必在 內(nèi)的某一點(diǎn) 0000()P xy z達(dá)到, 記 0()u PM

12、當(dāng)然 M也是 u在 上的最大值. 17以 0P為心 R為半徑作球 RK 使 RK完全包含于 內(nèi), 記 RK的球面為 RS,可以證明,在RS上有 uM事實(shí)上,若函數(shù) u在 RSMRS上某一點(diǎn)的值小于, 則由連續(xù)性知, 上必可找到此 在球面點(diǎn)的一個(gè)充分小的鄰域, 在此鄰域內(nèi)有 uM, 于是在 RS上成立不等式 221144RRSSudSMdSMRR但由平均值公式(1.15),有 021( )4RSudSu PMR這就發(fā)生了矛盾. 所以在球面 RS上,必須有 uM18同理可證, 在任一以 0P為心, ()R 為半徑的球面 S上, 也有 uM. 因此,在整個(gè)球RK上,有 ()u x y zM 下面證明

13、對(duì) 內(nèi)的所有點(diǎn),都有 uM. 為此在 內(nèi)任取一點(diǎn) ()P x y z , 由于 是區(qū)域, 所以可用完全位于 l0PP內(nèi)的折線 將點(diǎn) 和連結(jié)起來, ld設(shè) 與邊界 的最短距離為, 于是函數(shù) u0P2dR 1RKK在以為心為半徑的球上, Ml1K1S恒等于, 若 與球的球面 相交于 1P點(diǎn), 顯然, 在以 1P為心 2d為半徑的球 2K上, 有 uM照此作下去,可用有限個(gè)球 .12nK KK將折線 l完全覆蓋, 而且19使nPK, 因?yàn)樵诿總€(gè)球上都有 uM, 所以 ( )u PM 由點(diǎn) P的任意性,就可得到在整個(gè)區(qū)域上, 有 ()u x y zM 這和函數(shù) u在 上不恒等于常數(shù)的假設(shè)相矛盾. 因此 u不能在的內(nèi)部取得它的最大值. 對(duì)于最小值的情形, 由 u的最小值就是 u的最大值, 而 u也是調(diào)和函數(shù),從而推得函數(shù) u也不能在 的內(nèi)部取得它的最小值. 定理證畢.推論推論 6.1 (調(diào)和函數(shù)的比較原理調(diào)和函數(shù)的比較原理) 設(shè)