九、平面一般力系平衡方程的其他形式

1、第九講內容一、平面一般力系平衡方程的其他形式前面我們通過平面一般力系的平衡條件導出了平面一般力系平衡方程的基本形式，除了這種形式外，還可將平衡方程表示為二力矩形式及三力矩形式。1 二力矩形式的平衡方程在力系作用面內任取兩點A、 B 及 X 軸，如圖4 13 所示，可以證明平面一般力系的平衡方程可改寫成兩個力矩方程和一個投影方程的形式，即X0M A 0（4 6）MB 0式中 X 軸不與 A、 B 兩點的連線垂直。證明：首先將平面一般力系向A 點簡化，一般可得到過A 點的一個力和一個力偶。若 M A 0成立， 則力系只能簡化為通過A 點的合力R 或成平衡狀態(tài)。如果Mb 0又成立，說明R必通過Bo可

2、見合力R的作用線必為 AB 連線。又因X 0成立，則RXX 0，即合力R 在 X 軸上的投影為零，因AB 連線不垂直X 軸，合力R 亦不垂直于X 軸，由RX 0可推得 R 0 ?？梢姖M足方程（4 6 ）的平面一般力系，若將其向A 點簡化，其 主矩和主矢都等于零，從而力系必為平衡力系。0 4-i aE 4 142 .三力矩形式的平衡方程在力系作用面內任意取三個不在一直線上的點A、B、C,如圖414所示，則力系的平衡方程可寫為三個力矩方程形式，即Ma 0Mb 0（4 7）MC 0式中，A、B、C三點不在同一直線上。同上面討論一樣，若 Ma 0和 Mb 0成立，則力系合成結果只能是通過A、B兩點的一

3、個力（圖4 14）或者平衡。如果 Me 0也成立， 則合力必然通過 C點，而一個力不可能同時通過不在一直線上的三點，除 非合力為零，M e 0才能成立。因此，力系必然是平衡力系。綜上所述，平面一般力系共有三種不同形式的平衡方程，即式（4-5）、式（46）、式（47）,在解題時可以根據(jù)具體情況選取某一種形式。無 論采用哪種形式， 都只能寫出三個獨立的平衡方程，求解三個未知數(shù)。 任何 第四個方程都不是獨立的，但可以利用這個方程來校核計算的結果?！纠?7】 某屋架如圖 4 15 (a)所示，設左屋架及蓋瓦共重P 3kN ,右屋架受到風力及荷載作用，其合力P2 7kN , P2與BC夾角為80，試求A

4、、B支座的反力。【解】 取整個屋架為研究對象，畫其受力圖，并選取坐標軸X軸和Y軸，如圖4-15 (b)所示，列出三個平衡方程X 0 Xa P2 cos700XAP2 cos707 0.342 2.39kNMa 0Yb 16 4 P P2sin7012P2cos704 tan304R 12P2sin70 4P2 cos70 tan30B164 3 12 7 0.94 4 7 0.342 0.577165.34kNMb 016Ya 12P P2sin70 4 P2 cos70 4 tan30 0Ya12R 4P2sin 704p2cos70 tan30164.24kN校核說明計算無誤。Y YaYb

5、PP2 sin 704.24 5.34 3 7 0.940【例48】 梁AC用三根支座鏈桿連接，受一力 P 50kN作用，如圖4-16 (a)所示。不計梁及鏈桿的自重，試求每根支座鏈桿的反力?！窘狻?取AC梁為研究對象，畫其受力圖，如圖416 ( b )所示。列平衡方程時，為避免解聯(lián)立方程組， 最好所列的方程中只有一個未知力，因 此，取Ra和Rb的交點O 1為矩心列平衡方程OiRc0Rc 6 Pcos60 2 Psin 60 4 02 P cos 604Psin60 2 50 0.5 4 50 0.86637.2kNMo20Racos45Pcos60 4Psin60 2 0(4Pcos602P

6、sin60 )(4 50 0.5621.99kN2 50 0.866) 0.7076取Rb與Rc的交點O2為矩心列平衡方程X 0Ra cos45Rb cos45 P cos60 0RbRa cos45P cos60cos4521.99 0.707 50 0.5 13.37kN0.707校核Y Ra sin45 21.99 0.707 0Rb sin 45Rc Psin60BC13.37 0.707 37.2 50 0.866說明計算無誤。3.平面力系的特殊情況平面一般力系是平面力系的一般情況。除前面講的平面匯交力系,平面力偶系外，還有平面平行力系都可以看為平面一般力系的特殊情況,它們的平衡方程

7、都可以從平面一般力系的平衡方程得到，現(xiàn)討論如下。(1)平面匯交力系對于平面匯交力系，可取力系的匯交點作為坐標的原點，圖4 17(a)所示，因各力的作用線均通過坐標原點O,各力對O點的矩必為零，即恒 有 Mo 0。因此，只剩下兩個投影方程X 0Y 0即為平面匯交力系的平衡方程。(2)平面力偶系平面力偶系如圖 4 17(b)所示，因構成力偶的兩個力在任何軸上的投影必為零，則恒有X 0和 Y 0,只剩下第三個力矩方程，但因為力偶對某點的矩等于力偶矩，則力矩方程可改寫為m00即平面力偶系的平衡方程。(3)平面平行力系平面平行力系是指其各力作用線在同一平面上并相互平行的力系，如圖4-17 (C)所示，選

8、 OY軸與力系中的各力平行，則各力在X軸上的投影恒為零，則平衡方程只剩下兩個獨立的方程MO 0（4 一 8）若采用二力矩式（46）,可得MaMb（4 一 9）式中A、B兩點的連線不與各力作用線平行。平面平行力系只有兩個獨立的平衡方程，只能求解兩個未知量。【例4 9】 圖4 18所示為塔式起重機。已知軌距b 4m ,機身重G 260kN ,其作用線到右軌的距離e 1.5m ,起重機平衡重 Q 80kN ,其作用線到左軌的距離 a 6m ,荷載P的作用線到右軌的距離l 12m, （1）試證明空載時（P 0時）起重機時否會向左傾倒？ （2）求出起重機不向右傾倒的最大荷載 P?！窘狻?以起重機為研究對

9、象，作用于起重機上的力有主動力G、P、Q及約束力Na和Nb ,它們組成一個平行力系（圖 418）。（1）使起重機不向左倒的條件是Nb0 ,當空載時，取P 0,列平衡方程MA 0 Q a NB b G（e b） 01 -八Nb G(e b) Q a b1260(1.5 4) 80 6 4237.5kN 0所以起重機不會向左傾倒(2) 使起重機不向右傾倒的條件是Na 0,列平衡方程Mb 0 Q(a b) Na b G e P l 01 -Na - Q(a b) Ge Pl b欲使Na 0 ,則需Q(a b) G e P l 01八一P ： Q(a b) G e1 80(6 4) 260 1.512

10、34.17kN當荷載P 34.17kN時，起重機是穩(wěn)定的。二、物體系統(tǒng)的平衡前面研究了平面力系單個物體的平衡問題。但是在工程結構中往往是 由若干個物體通過一定的約束來組成一個系統(tǒng)。這種系統(tǒng)稱為物體系統(tǒng)。例如，圖示419 (a)所示的組合梁，就是由梁AC和梁CD通過錢C連接， 并支承在A、B、D支座而組成的一個物體系統(tǒng)。/超rm/fHTHTl B S-L_g在一個物體系統(tǒng)中，一個物體的受力與其他物體是緊密相關的；整體受力又與局部緊密相關的。物體系統(tǒng)的平衡是指組成系統(tǒng)的每一個物體及系 統(tǒng)的整體都處于平衡狀態(tài)。在研究物體系統(tǒng)的平衡問題時，不僅要知道外界物體對這個系統(tǒng)的作用力，同時還應分析系統(tǒng)內部物體

11、之間的相互作用力。通常將系統(tǒng)以外的物體對這個系統(tǒng)的作用力稱為外力，系統(tǒng)內各物體之間的相互作用力稱為內力。例如圖4 19 (b)的組合梁的受力圖，荷載及A、B、D支座的反力就是外力，而在較 C處左右兩段梁之間的互相作用的力就是內力。應當注意，外力和內力是相對的概念，是對一定的考察對象而言的，例如圖4-19組合梁在較 C處兩段梁的相互作用力， 對組合梁的整體來說， 就是內力，而對左段梁或右段梁來說，就成為外力了。當物體系統(tǒng)平衡時，組成該系統(tǒng)的每個物體都處于平衡狀態(tài)，因而，對于每一個物體一般可寫出三個獨立的平衡方程。如果該物體系統(tǒng)有 n個物體，而每個物體又都在平面一般力系作用下，則就有3n個獨立的平

12、衡方程， 可以求出3n個未知量。但是，如果系統(tǒng)中的物體受平面匯交力系或平面平行力系的作用，則獨立的平衡方程將相應減少，而所能求的未知量數(shù)目也相應減少。當整個系統(tǒng)中未知量的數(shù)目不超過獨立的平衡方程數(shù)目，則未知量可由平衡方程全部求出， 這樣的問題稱為靜定問題。 當未知量的數(shù)目超過了獨立平衡方程數(shù)目， 則未知量由平衡方程就不能全部求出，這樣的問題，則稱為超靜定問題，在靜力學中，我們不考慮超靜定問題。在解答物體系統(tǒng)的平衡問題時，可以選取整個物體系統(tǒng)作為研究對象，也可以選取物體系統(tǒng)中某部分物體(一個物體或幾個物體組合)作為研究對象，以建立平衡方程。由于物體系統(tǒng)的未知量較多，應盡量避免從總體的聯(lián)立方程組中

13、解出，通?？蛇x取整個系統(tǒng)為研究對象，看能否從中解出一或兩個未知量，然后再分析每個物體的受力情況，判斷選取哪個物體為研究對象， 使之建立的平衡方程中包含的未知量少，以簡化計算。下面舉例說明求解物體系統(tǒng)平衡問題的方法?！纠? 10】 組合梁受荷載如圖 4 20(a)所示。已知P 16kN, P2 20kN ,m 8kN m ,梁自重不計，求支座A、C的反力。【解】組合梁由兩段梁AB 和BC組成，作用于每一個物體的力系都是平面一般力系，共有6個獨立的平衡方程；而約束力的未知數(shù) 也是6 (A處有三個，B處有兩個，C處有1個)。首先取整個梁為研究對 象，受力圖如圖 4 20 (b)所示。X 0 XA P

14、2 cos60 0XA P2 cos60 10kN其余三個未知數(shù) Ya、mA和Rc ,無論怎樣選取投影軸和矩心，都無法求出其中任何一個，因此，必須將AB梁和BC梁分開考慮，現(xiàn)取 BC梁為研究對象，受力圖如圖4 20 (c)所示。X 0 Xb P2 cos600XbP2 cos60 10kNM B 02RCP2 sin60 1 0BC 2P2 sin 60RC 8.66kN2Y 0RC YbP2 sin 600YbRC P2 sin 608.66kN再回到受圖4 20 (b)Ma 05RC 4P2 sin 60P 2 m mA0mA 4P2 sin 602P1 5RC m 65.98kNY 0Y

15、a RcRP2 sin60 0YA P1 P2 sin 60 RC 24.66kN校核：對整個組合梁，列出MB mA -3YA P1 1 1 P2sin60 2RC m 65.98 3 24.66 16 1 1 20 0.866 2 8.66 8 0可見計算無誤?！纠?11】 鋼筋混凝土三校剛架受荷載如圖4 21 (a)所示，已知q 16kN/m , P 24kN ,求支座A、B和較C的約束反力。【解】 三校剛架由左右兩半剛架組成，受到平面一般力系的作用，可以列出六個獨立的平衡方程。分析整個三較剛架和左、右兩半剛架的受力, 畫出受力圖，如圖(b)、(c)、(d)所示，可見，系統(tǒng)的未知量總計為六

16、個, 可用六個平衡方程求解出六個未知量。(1)取整個三校剛架為研究對象，受力圖如圖 4-21 (b)所示Ma 0q 8 4 P 10 Yb 1Ybq 8 4P 101616 047kNq 8 12 P 6 Ya1Yaq 8 12 P1616 06105kNXaXb 0Xa Xb(a)(2)取左半剛架為研究對象，受力圖如圖4 21 ( c)所示MC 0XA8q84YA801Xa - 8Ya q 8 4 41kN 8Y 0YA YC q 8 0Yc q 8 Ya 23kNX 0 XA XC 0 ACXC XA 41kN CA將Xa值代入(a),可得Xb Xa 41kN校核：考慮右半剛架的平衡，受力

17、圖如圖4 21 ( d)所示X Xc Xb 41 41 0Me P 2 Yb 8 X b 824 2 47 8 41 8 0Y Yb - YcP 47 23 24 0可見計算無誤。【412】 圖4 22 (a)所示，在支架上懸掛著重 P 4kN的重物,B、E、D為較接，A為固定端支座，滑輪直徑為 300mm ,軸承C是光滑 的，其余尺寸如圖示。各桿和滑輪、繩子重量不計，求 A、B、C、D、E各 處的反力?！窘狻浚罕窘Y構中，DE為二力桿，因此D、E處錢鏈反力有1個未知量；A為固定端支座有 3個未知的約束反力；B、C處較鏈反力各有2個未知量；滑輪兩邊的繩子拉力各有 1個未知量；共10個未知量?？紤]到 AB、BC和滑輪三個構件處于平衡，其可寫9個平衡方程；再加上重物在二力作用下處于平衡，可有1個平衡方程。平衡方程的數(shù)目恰好等于未知量的數(shù)目。1-22取整個結構為研究對象，(圖4 22 ( b)列平衡方程X 0 X a 0Y 0Ya P 0Ya P 4kNM A 0 mAP 2.15 0mA 4 2.15 8.6kN考慮重物的平衡(圖 4-22 (e)根據(jù)二力平衡公理知T1 P 4kN考慮滑輪的平衡(圖 4 22 (d),列平衡方程M C 0T2 0.15 T1 0.15 0T2 T1 4kN可見，在不計軸承摩擦的情況下，滑輪處于平衡時，其兩邊繩子的拉 力相