2017年高考數(shù)學(xué)理試題分類匯編：圓錐曲線

1、2017 年高考試題分類匯編之圓錐曲線（理數(shù)） 解析一、選擇題1二、填空題3三、大題51、 選擇題【浙江卷】2橢圓的離心率是ABCD【解析】，選B.【全國(guó)1卷（理）】10.已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為（ ）A16 B14 C12 D10【解析方法一：根據(jù)題意可判斷當(dāng)A與D，B，E關(guān)于x軸對(duì)稱，即直線DE的斜率為1，|AB|+|DE|最小，根據(jù)弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可方法二：設(shè)出兩直線的傾斜角，利用焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式分別表示出|AB|，|DE|，整理求得答案】設(shè)傾斜角為作垂直準(zhǔn)

2、線，垂直軸易知同理， 又與垂直，即的傾斜角為而，即，當(dāng)取等號(hào) 即最小值為，故選A【全國(guó)卷（理）】9.若雙曲線（，）的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2，則的離心率為（ ）A2 B C D【解析】取漸近線，化成一般式，圓心到直線距離為得，【全國(guó)III卷（理）】5.已知雙曲線C: (a0,b0)的一條漸近線方程為,且與橢圓 有公共焦點(diǎn)，則C的方程為( )A. B. C. D. 【解析】雙曲線的一條漸近線方程為，則又橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，易知，則由解得，則雙曲線的方程為，故選B.【全國(guó)III卷（理）】10.已知橢圓C：，（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓

3、與直線相切，則C的離心率為( )A. B. C. D.【解析】以為直徑為圓與直線相切，圓心到直線距離等于半徑，又，則上式可化簡(jiǎn)為，可得，即，故選A【天津卷】（5）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，離心率為.若經(jīng)過和兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為（ ）A. B.C.D.【解析】由題意得 ，故選B.二、填空題【全國(guó)1卷（理）】15.已知雙曲線C：（a>0，b>0）的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑做圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn).若MAN=60°，則C的離心率為_.【解析】如圖， ， 又，解得 【全國(guó)2卷（理）】16.已知是拋物線的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，的

4、延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn)若為的中點(diǎn)，則 【解析】則，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線，如圖，為、中點(diǎn)，故易知線段為梯形中位線，又由定義，且，【北京卷】（9）若雙曲線的離心率為，則實(shí)數(shù)m=_.【解析】.【江蘇卷】8.在平面直角坐標(biāo)系xOy 中,雙曲線 的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分別交于點(diǎn)P,Q，其焦點(diǎn)是F1 , F2 ,則四邊形F1 P F2 Q的面積是 .【解析】右準(zhǔn)線方程為，漸近線為，則，則.【山東卷】14.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右支與焦點(diǎn)為的拋物線交于兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的漸近線方程為 .三、大題【全國(guó)I卷（理）】20.（12分）已知橢圓C：（a>b>0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（1，

5、 ），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.（1）求C的方程；（2）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，證明：l過定點(diǎn).20.解：（1）根據(jù)橢圓對(duì)稱性，必過、又橫坐標(biāo)為1，橢圓必不過，所以過三點(diǎn)將代入橢圓方程得，解得， 橢圓的方程為：（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)得，此時(shí)過橢圓右頂點(diǎn)，不存在兩個(gè)交點(diǎn)，故不滿足當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)聯(lián)立，整理得, 則又，此時(shí)，存在使得成立直線的方程為當(dāng)時(shí)， 所以過定點(diǎn)【全國(guó)II卷（理）】20. （12分）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：上，過M做x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足.(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x=-3上，

6、且.證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F. 解：設(shè)，易知又，又在橢圓上，即設(shè)點(diǎn)，由已知：，設(shè)直線：，因?yàn)橹本€與垂直故直線方程為，令，得，若，則，直線方程為，直線方程為，直線過點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)【全國(guó)III卷（理）】20.（12分）已知拋物線C：y2=2x，過點(diǎn)（2,0）的直線l交C與A,B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓.（1）證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；（2）設(shè)圓M過點(diǎn)P（4，-2），求直線l與圓M的方程.解:(1)顯然，當(dāng)直線斜率為時(shí)，直線與拋物線交于一點(diǎn)，不符合題意設(shè)，聯(lián)立：得，恒大于，即在圓上(2)若圓過點(diǎn)，則化簡(jiǎn)得解得或當(dāng)時(shí)，圓心為，半徑則圓當(dāng)時(shí)，圓心為，半徑則圓【北京卷】（

7、18）（14分）已知拋物線C：y2=2px過點(diǎn)P(1,1).過點(diǎn)(0,)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M,N，過點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP、ON交于點(diǎn)A,B，其中O為原點(diǎn).（）求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（）求證：A為線段BM的中點(diǎn).（18）解：（）把P（1,1）代入y2=2Px得P=C:y2=x，焦點(diǎn)坐標(biāo)（，0），準(zhǔn)線：x=-.（）設(shè)l：y=kx+，A（x1，y1），B(x2，y2)，OP：y=x，ON：y=，由題知A(x1，x1)，B(x1，)k2x2+（k-1）x+=0，x1+x2=，x1·x2=.由x1+x2=，x1x2=，上式A為線段BM中點(diǎn).【江蘇卷

8、】17.（14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為8.點(diǎn)P在橢圓E上，且位于第一象限，過點(diǎn)F1作直線PF1的垂線l1,過點(diǎn)F2作直線PF2的垂線l2.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l1，l2的交點(diǎn)Q在橢圓E上，求點(diǎn)P的坐標(biāo).17.解:（1）橢圓E的離心率為，.兩準(zhǔn)線之間的距離為8，.聯(lián)立得，故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，則，由題意得，整理得，點(diǎn)在橢圓E上，故點(diǎn)P的坐標(biāo)是.【江蘇卷】B.選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）已知矩陣A= ，B=.(1) 求AB;(2)若曲線C1; 在矩陣AB對(duì)應(yīng)的變換作用下得到另一曲線C

9、2 ，求C2的方程.B.解:（1）AB=.（2）設(shè)是曲線上任意一點(diǎn)，變換后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以，即，因?yàn)樵谇€上，所以即曲線C2的方程.【山東卷】（21）（本小題滿分13分）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的離心率為，焦距為.（）求橢圓的方程；（）如圖，動(dòng)直線：交橢圓于兩點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，直線的斜率為，且，是線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，的半徑為，是的兩條切線，切點(diǎn)分別為.求的最大值，并求取得最大值時(shí)直線的斜率.（21）解：（I）由題意知 ，所以 ，因此 橢圓的方程為.（）設(shè)，聯(lián)立方程得，由題意知，且，所以 .由題意知，所以由此直線的方程為.聯(lián)立方程得，因此 .由題意可知 ，而，令，則，因此 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等

10、號(hào)成立，此時(shí)，所以 ，因此，所以最大值為.綜上所述：的最大值為，取得最大值時(shí)直線的斜率為.【天津卷】（19）（本小題滿分14分）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心率為.已知是拋物線的焦點(diǎn)，到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.（I）求橢圓的方程和拋物線的方程；（II）設(shè)上兩點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，直線與橢圓相交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），直線與軸相交于點(diǎn).若的面積為，求直線的方程.（19）（）解：設(shè)的坐標(biāo)為.依題意，解得，于是.所以，橢圓的方程為，拋物線的方程為.所以，直線的方程為，或.【浙江卷】21（本題滿分15分）如圖，已知拋物線，點(diǎn)A，拋物線上的點(diǎn).過點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q.（）求直線AP斜率的取值范圍；（）求的最大值.2