課時跟蹤檢測（四十九）空間向量與空間角

1、課時跟蹤檢測(四十九)空間向量與空間角1.如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90°，點E、F分別是棱AB、BB1的中點，則直線EF和BC1所成的角為_2如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90°，2ACAA1BC2.若二面角B1DCC1的大小為60°，則AD的長為_3.如圖，在正四棱錐SABCD中，O為頂點在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點，且SOOD，則直線BC與平面PAC所成角為_4(2012·廣州模擬)如圖，在底面為直角梯形的四棱錐PABCD中，ADBC，ABC90°，PA平面ABCD

2、，PA3，AD2，AB2，BC6.(1)求證：BD平面PAC；(2)求二面角PBDA的大小5(2012·遼寧高考)如圖，直三棱柱ABCABC，BAC90°，ABACAA，點M，N分別為AB和BC的中點(1)證明：MN平面AACC；(2)若二面角AMNC為直二面角，求的值6如圖1，在RtABC中，C90°，BC3，AC6，D，E分別是AC，AB上的點，且DEBC，DE2.將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如圖2.(1)求證：A1C平面BCDE；(2)若M是A1D的中點，求CM與平面A1BE所成角的大??；(3)線段BC上是否存在點P，使平面A1DP與平

3、面A1BE垂直？說明理由1(2013·汕頭模擬)如圖所示，四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，PD平面ABCD，PDAB2，E、F、G分別為PC、PD、BC的中點(1)求證：PAEF；(2)求二面角DFGE的余弦值2(2012·北京西城模擬)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC2AA1，ABC90°，D是BC的中點(1)求證：A1B平面ADC1；(2)求二面角C1ADC的余弦值；(3)試問線段A1B1上是否存在點E，使AE與DC1成60°角？若存在，確定E點位置；若不存在，說明理由答 案課時跟蹤檢測(四十九)A級1解析：建立如圖所示的空間

4、直角坐標系設(shè)ABBCAA12，則C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(xiàn)(0,0,1)，則(0，1,1)，(2,0,2)，·2，cos，EF和BC1所成角為60°.答案：60°2解析：如圖，以C為坐標原點，CA，CB，CC1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)設(shè)ADa，則D點坐標為(1,0，a)，(1,0，a)，(0,2,2)，設(shè)平面B1CD的一個法向量為m(x，y，z)則，令z1，得m(a,1，1)，又平面C1DC的一個法向量為n(0,1,0)，則由cos 60°

5、;，得，即a，故AD.答案：3解析：如圖所示，以O(shè)為原點建立空間直角坐標系Oxyz.設(shè)ODSOOAOBOCa，則A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P.則(2a,0,0)，(a，a,0)設(shè)平面PAC的法向量為n，可求得n(0,1,1)，則cos，n.，n60°，直線BC與平面PAC的夾角為90°60°30°.答案：30°4解：(1)證明：由題可知，AP、AD、AB兩兩垂直，則分別以AB、AD、AP所在直線為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2，6,0)，D(0,2,0)，P(0

6、,0,3)，(0,0,3)，(2，6,0)，(2，2,0)，·0，·0.BDAP，BDAC.又PAACA，BD平面PAC. (2)顯然平面ABD的一個法向量為m(0,0,1)，設(shè)平面PBD的法向量為n(x，y，z)，則n·0，n·0.由(1)知，(2，0,3)，整理得令x，則n(，3,2)，cosm，n.結(jié)合圖形可知二面角PBDA的大小為60°.5解：(1)法一：證明：如圖，連接AB，AC，由已知BAC90°，ABAC，三棱柱ABCABC為直三棱柱，所以M為AB中點又因為N為BC的中點，所以MNAC.又MN平面AACC，AC平面AAC

7、C，所以MN平面AACC.法二：證明：取AB 中點P，連接MP，NP，而M，N分別為AB與BC的中點，所以MPAA，PNAC，所以MP平面AACC，PN平面AACC.又MPNPP，因此平面MPN平面AACC.而MN平面MPN，因此MN平面AACC.(2)以A為坐標原點，分別以直線AB，AC，AA為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系Oxyz，如圖所示設(shè)AA1，則ABAC，于是A(0,0,0)，B(，0,0)，C(0，0)，A(0,0,1)，B(，0,1)，C(0，1)，所以M，N.設(shè)m(x1，y1，z1)是平面AMN的法向量，由得可取m(1，1，)設(shè)n(x2，y2，z2)是平面MNC的法向量，由

8、得可取n(3，1，)因為AMNC為直二面角，所以m·n0，即3(1)×(1)20，解得(負值舍去)6解：(1)證明：因為ACBC，DEBC，所以DEAC.所以EDA1D，DECD，所以DE平面A1DC.所以DEA1C.又因為A1CCD.所以A1C平面BCDE.(2)如圖，以C為坐標原點，建立空間直角坐標系Cxyz，則A1(0,0,2)，D(0,2,0)，M(0,1, )，B(3,0,0)，E(2,2,0)設(shè)平面A1BE的法向量為n(x，y，z)，則n·0，n·=0. 又(3,02) (1,2，0)，所以令y1，則x2，z.所以n(2,1，)設(shè)CM與平面A

9、1BE所成的角為.因為(0,1,),所以sin |cosn, |.所以CM與平面A1BE所成角的大小為.(3)線段BC上不存在點P，使平面A1DP與平面A1BE垂直，理由如下：假設(shè)這樣的點P存在，設(shè)其坐標為(p,0,0)，其中p0,3設(shè)平面A1DP的法向量為m(x，y，z)，則m·0，m·0.又(0，2，2),(p，2,0)，所以令x2，則yp，z.所以m(2，p，)平面A1DP平面A1BE，當且僅當m·n0，即4pp0.解得p2，與p0,3矛盾所以線段BC上不存在點P，使平面A1DP與平面A1BE垂直B級1解：以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz

10、，則D(0,0,0)，A(0,2,0)，C(2,0,0)，P(0,0,2)，E(1,0,1)，F(xiàn)(0,0,1)，G(2,1,0)(1)證明：由于(0,2，2)，(1,0,0)，則·1×00×2(2)×00，PAEF.(2)易知(0,0,1)，(1,0,0)，(2,1，1)，設(shè)平面DFG的法向量m(x1，y1，z1)，則解得令x11，得m(1,2,0)是平面DFG的一個法向量設(shè)平面EFG的法向量n(x2，y2，z2)，同理可得n(0,1,1)是平面EFG的一個法向量cosm，n，設(shè)二面角DFGE的平面角為，由圖可知m，n，cos ，二面角DFGE的余弦值為

11、.2解：(1)證明：連接A1C，交AC1于點O，連接OD.由ABCA1B1C1是直三棱柱，得四邊形ACC1A1為矩形，O為A1C的中點又D為BC的中點，所以O(shè)D為A1BC的中位線，所以A1BOD，因為OD平面ADC1，A1B平面ADC1，所以A1B平面ADC1.(2)由ABCA1B1C1是直三棱柱，且ABC90°，得BA，BC，BB1兩兩垂直以BC，BA，BB1所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Bxyz.設(shè)BA2，則B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,2,0)，C1(2,0,1)，D(1,0,0)，所以(1，2,0)，(2，2,1)設(shè)平面ADC1的法向量為n(x，y，z)，則有所以取y1，得n(2,1，2)易知平面ADC的一個法向量為v(0,0,1)所以cosn，v.因為二面角C1