材料力學(xué) 第四章_5

1、梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件對(duì)于中性軸為橫截面對(duì)稱軸的梁，上述強(qiáng)度條件對(duì)于中性軸為橫截面對(duì)稱軸的梁，上述強(qiáng)度條件可寫作可寫作 zWMmax 由拉、壓許用應(yīng)力由拉、壓許用應(yīng)力 t和和 c不相等的鑄鐵等脆不相等的鑄鐵等脆性材料制成的梁性材料制成的梁 t,max t c,max c 。第第四章四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 圖圖a所示為槽形截面鑄鐵梁，橫截面尺寸和形心所示為槽形截面鑄鐵梁，橫截面尺寸和形心C的位置，如圖的位置，如圖b所示。已知橫截面對(duì)于中性軸所示。已知橫截面對(duì)于中性軸z 的的慣性矩慣性矩Iz=5493104 mm4，b=2 m。鑄鐵的許用拉應(yīng)。鑄鐵的許用拉應(yīng)力力 t=30 MPa，許

2、用壓應(yīng)力，許用壓應(yīng)力 c=90 MPa 。試求梁。試求梁的許用荷載的許用荷載F。例題例題 4-11第第四章四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力1. 鑄鐵的拉壓強(qiáng)度不等，其強(qiáng)度條件為鑄鐵的拉壓強(qiáng)度不等，其強(qiáng)度條件為 t,max t ， c,max c。2. 由由M圖可知，危險(xiǎn)截面為圖可知，危險(xiǎn)截面為C截面。截面。3. B、C截面上正應(yīng)力的分布規(guī)律如圖截面上正應(yīng)力的分布規(guī)律如圖d所示。所示。862/1max, t zBIFb zCIFb 1344/1max, t 分析分析:Bmax, tmax, t Bmaxc,maxc,第第四章四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力1. 由由 t,max t 確定確定F。Pa1030m105

3、493)m1086)(m22/(648-3max, t F F119200N=19.2kN解解:Bmax, tmax, t Bmaxc,maxc,第第四章四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力F236893N=36.893kN2. 由由 c,max c 確定確定F。Pa1090m105493)m10134)(m22/(648-3maxc, F F=19.2kN，可見梁的強(qiáng)度由拉應(yīng)力確定。，可見梁的強(qiáng)度由拉應(yīng)力確定。第第四章四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力y1y2GA1A2A3A4解：畫彎矩圖并求危面內(nèi)力練習(xí)：練習(xí)： T 字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的t=30MPa，c=60 MPa，其截面形心位于C點(diǎn)，y1=52mm

4、， y2=88mm，Iz=763cm4，試畫彎矩圖并校核此梁的強(qiáng)度。kN5 .10;kN5 . 2BAFF)(kNm5 . 2下拉、上壓CM（上拉、下壓）kNm4BM畫危面應(yīng)力分布圖，找危險(xiǎn)點(diǎn)P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm-4kNmMend第第四章四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力校核強(qiáng)度MPa2 .2810763885 . 282 2zCtAIyMMPa2 .271076352481 3zBtAIyMMPa2 .461076388482 4 zBcAIyMLt2 .28max yc2 .46max y1y2GA1A2A3A4x2.5kNm-4kNmM第第四章四章 彎曲應(yīng)力彎曲

5、應(yīng)力4-5 梁橫截面上的切應(yīng)力梁橫截面上的切應(yīng)力梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件I. 梁橫截面上的切應(yīng)力梁橫截面上的切應(yīng)力(1) 橫截面上各點(diǎn)處的切應(yīng)力均與側(cè)邊平行；橫截面上各點(diǎn)處的切應(yīng)力均與側(cè)邊平行；(2) 橫截面上距中性軸等遠(yuǎn)處的切應(yīng)力大小相等。橫截面上距中性軸等遠(yuǎn)處的切應(yīng)力大小相等。zyy從而對(duì)于狹長(zhǎng)矩形截面可以假設(shè)：從而對(duì)于狹長(zhǎng)矩形截面可以假設(shè)：第第四章四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力從發(fā)生橫力彎曲的梁中取出長(zhǎng)為從發(fā)生橫力彎曲的梁中取出長(zhǎng)為dx的微段，如圖的微段，如圖所示。所示。hbzyO第第四章四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力*111*1N*dddzzAzAzASIMAyIMAIMyAF 第第四章四

6、章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力*112*N2dddd)d(d*zzAzAzASIMMAyIMMAyIMMAF 第第四章四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力式中，式中， 為面積為面積A*(圖圖b)對(duì)中性軸對(duì)中性軸z的靜的靜矩；矩； *d1*AzAyS第第四章四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 0 xF*N1*N2SdFFF *SddzzSIMF 即即由于由于 ，故縱截面，故縱截面AA1B1B上有切向內(nèi)力上有切向內(nèi)力dFS(圖圖b)：*1N*2NFF 第第四章四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力xbFddS bISFbISxMzzzz*S*dd 得得第第四章四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知，梁的橫截面上距根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知，梁的

7、橫截面上距中性軸中性軸z的距離為的距離為y處的切應(yīng)力處的切應(yīng)力 必與必與 互等，從互等，從而亦有而亦有bISFzz*S 第第四章四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力矩形截面梁橫力彎曲時(shí)切應(yīng)力計(jì)算公式矩形截面梁橫力彎曲時(shí)切應(yīng)力計(jì)算公式FS為橫截面上的剪力；為橫截面上的剪力；Iz 為整個(gè)橫截面對(duì)于中性軸的慣性矩為整個(gè)橫截面對(duì)于中性軸的慣性矩b為矩形截面的寬度為矩形截面的寬度(與剪力與剪力FS垂直垂直的截面尺寸的截面尺寸)；Sz*為橫截面上求切應(yīng)力為橫截面上求切應(yīng)力 的點(diǎn)處橫的點(diǎn)處橫線以外部分面積對(duì)中性軸的靜矩。線以外部分面積對(duì)中性軸的靜矩。 *d1*AzAySbISFzz*S zyy第第四章四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)

8、力 222111*42dd*yhbybyAySAhyz 22S22S4242yhIFyhbbIFzz bhdy1yyzOy1第第四章四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 AFbhFbhhFIhFz23231288SS32S2Smax 可見：可見： 1. 沿截面高度系按沿截面高度系按二次拋物線規(guī)律變化；二次拋物線規(guī)律變化； 2. 同一橫截面上的最同一橫截面上的最大切應(yīng)力大切應(yīng)力 max在中性軸在中性軸處處(y=0): 22S42yhIFz 第第四章四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力2. 工字形截面梁工字形截面梁 22*22222 222yhdhbyyhdyhhbSz (1) 腹板上的切應(yīng)力腹板上的切應(yīng)力dISFzz*S

9、其中其中第第四章四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 可見腹板上的切應(yīng)力在與中性軸可見腹板上的切應(yīng)力在與中性軸z垂直的方向垂直的方向按二次拋物線規(guī)律變化。按二次拋物線規(guī)律變化。第第四章四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力(2) 在腹板與翼緣交界處：在腹板與翼緣交界處：在中性軸處：在中性軸處： hbdIFz2Smin 2S*max,Smax222 hdhbdIFdISFzzz第第四章四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力(3) 翼緣上的切應(yīng)力翼緣上的切應(yīng)力 翼緣橫截面上平行于翼緣橫截面上平行于剪力剪力FS的切應(yīng)力在其上、的切應(yīng)力在其上、下邊緣處為零下邊緣處為零( (因?yàn)橐砭壍囊驗(yàn)橐砭壍纳?、下表面無切應(yīng)力上、下表面無切應(yīng)力) )，可，可見翼

10、緣橫截面上其它各處見翼緣橫截面上其它各處平行于平行于FS的切應(yīng)力不可能的切應(yīng)力不可能大，故不予考慮。分析表大，故不予考慮。分析表明，工字形截面梁的腹板明，工字形截面梁的腹板承擔(dān)了整個(gè)橫截面上剪力承擔(dān)了整個(gè)橫截面上剪力FS的的90%以上。以上。第第四章四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 由由56a號(hào)工字鋼制成的簡(jiǎn)支梁如圖號(hào)工字鋼制成的簡(jiǎn)支梁如圖a所示，試所示，試求梁的橫截面上的最大切應(yīng)力求梁的橫截面上的最大切應(yīng)力 max和同一橫截面上和同一橫截面上腹板上腹板上a點(diǎn)處點(diǎn)處( (圖圖b) )的切應(yīng)力的切應(yīng)力 a 。不計(jì)梁的自重。不計(jì)梁的自重。例題例題 4-13第第四章四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力1. 求求 max 梁

11、的剪力圖如圖梁的剪力圖如圖c所示，由圖可見所示，由圖可見FS,max=75kN。由型鋼表查得由型鋼表查得56a號(hào)工字鋼截面的尺寸如圖號(hào)工字鋼截面的尺寸如圖b所示，所示，Iz=65 586 cm4和和Iz/S * z,max=47.73cm。d=12.5mm解解:第第四章四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 MPa6 .12Pa106 .12m105 .12m1073.47N10756323*max,max,S*max,max,Smax dSIFdISFzzzz 第第四章四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力dISFzzaa*max,S 其中：其中：33*mm109402mm212mm560mm21mm166 zaS于是有：

12、于是有： MPa6 . 8Pa106 . 8m105 .12m1065586m10940N10756348363 a 2. 求求 a和最大切應(yīng)力相差不大。和最大切應(yīng)力相差不大。第第四章四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力3. 薄壁環(huán)形截面梁薄壁環(huán)形截面梁 薄壁環(huán)形截面梁在豎直平面薄壁環(huán)形截面梁在豎直平面內(nèi)彎曲時(shí)，其橫截面上切應(yīng)力內(nèi)彎曲時(shí)，其橫截面上切應(yīng)力的特征如圖的特征如圖a所示：所示： (1) 由于由于d r0，故認(rèn)為切應(yīng)，故認(rèn)為切應(yīng)力力 的大小和方向沿壁厚的大小和方向沿壁厚 無變無變化；化； (2) 由于梁的內(nèi)、外壁上無切由于梁的內(nèi)、外壁上無切應(yīng)力，故根據(jù)切應(yīng)力互等定理應(yīng)力，故根據(jù)切應(yīng)力互等定理知，橫截

13、面上切應(yīng)力的方向與知，橫截面上切應(yīng)力的方向與圓周相切；圓周相切；第第四章四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 (3) 根據(jù)與根據(jù)與y軸的對(duì)稱關(guān)系軸的對(duì)稱關(guān)系可知：可知： (a) 橫截面上與橫截面上與y軸相交的軸相交的各點(diǎn)處切應(yīng)力為零；各點(diǎn)處切應(yīng)力為零； (b) y軸兩側(cè)各點(diǎn)處的切應(yīng)軸兩側(cè)各點(diǎn)處的切應(yīng)力其大小及指向均與力其大小及指向均與y軸對(duì)軸對(duì)稱。稱。AFISFSz*zSmax22第第四章四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力(4) 圓截面梁圓截面梁 圓截面梁在豎直平面內(nèi)彎曲圓截面梁在豎直平面內(nèi)彎曲時(shí)，其橫截面上切應(yīng)力的特征時(shí)，其橫截面上切應(yīng)力的特征如圖如圖a所示：認(rèn)為離中性軸所示：認(rèn)為離中性軸z為為任意距離任意距離y的水

14、平直線的水平直線kk上各上各點(diǎn)處的切應(yīng)力均匯交于點(diǎn)處的切應(yīng)力均匯交于k點(diǎn)和點(diǎn)和k點(diǎn)處切線的交點(diǎn)點(diǎn)處切線的交點(diǎn)O ，且這些，且這些切應(yīng)力沿切應(yīng)力沿y方向的分量方向的分量 y相等。相等。因此可先利用公式因此可先利用公式 求出求出kk上各點(diǎn)的切應(yīng)上各點(diǎn)的切應(yīng)力豎向分量力豎向分量 y ，然后求出各點(diǎn)處各自的切應(yīng)力。，然后求出各點(diǎn)處各自的切應(yīng)力。kkzzybISF *S 第第四章四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力AFdFddddFdISFzz344346432421S2S42S*Smax 圓截面梁橫截面上的圓截面梁橫截面上的最大切應(yīng)力最大切應(yīng)力 max在中性軸在中性軸z處，其計(jì)算公式為處，其計(jì)算公式為第第四章四章

15、彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力II. 梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件彎矩最大截面的彎矩最大截面的C點(diǎn)和點(diǎn)和D點(diǎn)點(diǎn)處于處于單軸應(yīng)力狀態(tài)單軸應(yīng)力狀態(tài)(state of uniaxial stress) (圖圖d及圖及圖e)，按單軸應(yīng)力狀態(tài)建立的正按單軸應(yīng)力狀態(tài)建立的正應(yīng)力強(qiáng)度條件應(yīng)力強(qiáng)度條件 max第第四章四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力最大剪力所在截面的中性最大剪力所在截面的中性軸上軸上E和和F點(diǎn)，處于點(diǎn)，處于純剪切純剪切應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài) (shearing state of stress ) (圖圖f及圖及圖g)，按，按純剪切應(yīng)力狀態(tài)建立強(qiáng)度純剪切應(yīng)力狀態(tài)建立強(qiáng)度條件為條件為亦即亦即 max bISFzz*ma

16、x,max,S式中，式中， 為材料在橫力彎曲時(shí)的許用切應(yīng)力。為材料在橫力彎曲時(shí)的許用切應(yīng)力。第第四章四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 梁在荷載作用下，必須同時(shí)滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條梁在荷載作用下，必須同時(shí)滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件和切應(yīng)力強(qiáng)度條件。在選擇梁的截面尺寸時(shí)，通件和切應(yīng)力強(qiáng)度條件。在選擇梁的截面尺寸時(shí)，通常常先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件定出截面尺寸，再按切應(yīng)力先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件定出截面尺寸，再按切應(yīng)力強(qiáng)度條件校核強(qiáng)度條件校核。第第四章四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 圖圖a所示梁，其既所示梁，其既有剪力又有彎矩的橫有剪力又有彎矩的橫截面截面m-m上任意點(diǎn)上任意點(diǎn)G和和H處于如圖處于如圖h及圖及圖i所示所示的的平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)

17、力狀態(tài)(state of plane stress)。第第四章四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力工字鋼梁如果同一橫截面上的彎矩和剪力都是最大或工字鋼梁如果同一橫截面上的彎矩和剪力都是最大或接近最大的接近最大的(圖圖a、b、c)，則該截面上腹板與翼緣交，則該截面上腹板與翼緣交界點(diǎn)處由于正應(yīng)力和切應(yīng)力均相當(dāng)大界點(diǎn)處由于正應(yīng)力和切應(yīng)力均相當(dāng)大 (圖圖d)，這樣的，這樣的點(diǎn)必須進(jìn)行強(qiáng)度校核（參見點(diǎn)必須進(jìn)行強(qiáng)度校核（參見第七章）第七章）。第第四章四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 一簡(jiǎn)易吊車的示意圖如圖一簡(jiǎn)易吊車的示意圖如圖a所示，其中所示，其中F=30 kN，跨長(zhǎng)跨長(zhǎng) l=5 m。吊車大梁由。吊車大梁由20a號(hào)工字鋼制成，許

18、用彎號(hào)工字鋼制成，許用彎曲正應(yīng)力曲正應(yīng)力 =170 MPa，許用切應(yīng)力，許用切應(yīng)力 =100 MPa。試校核梁的強(qiáng)度。試校核梁的強(qiáng)度。 例題例題 4-14第第四章四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力1. 校核正應(yīng)力強(qiáng)度。吊車梁可簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支梁校核正應(yīng)力強(qiáng)度。吊車梁可簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支梁(圖圖b)。 荷載移至跨中荷載移至跨中C截面處截面處(圖圖b)時(shí)梁的橫截面上的時(shí)梁的橫截面上的最大彎矩比荷載在任何其它位置都要大。荷載在此最大彎矩比荷載在任何其它位置都要大。荷載在此最不利荷載位置時(shí)的彎矩圖如圖最不利荷載位置時(shí)的彎矩圖如圖c所示，所示，mkN5 .374maxFlM解解:第第四章四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 由型鋼規(guī)格表查得由

19、型鋼規(guī)格表查得20a號(hào)工字鋼的號(hào)工字鋼的Wz=237cm3。梁的最大彎曲正應(yīng)力為梁的最大彎曲正應(yīng)力為MPa158Pa10158m10237mN105 .376363maxmax zWM第第四章四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力mm7 ,cm2 .17*max, dSIzz2. 校核切應(yīng)力強(qiáng)度。校核切應(yīng)力強(qiáng)度。 荷載移至緊靠支座荷載移至緊靠支座A處處(圖圖d)時(shí)時(shí)梁的剪力為最大。此時(shí)的約束力梁的剪力為最大。此時(shí)的約束力FAF，相應(yīng)的剪，相應(yīng)的剪力圖如圖力圖如圖e所示。所示。FS,max=FA=30kN對(duì)于對(duì)于20a號(hào)鋼，由型鋼規(guī)格表查得：號(hào)鋼，由型鋼規(guī)格表查得：第第四章四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力于是有于是有 MPa9 .24m107m102 .17N103032