高中數(shù)學(xué)選修4-5知識點

1、蘇教版高中數(shù)學(xué)選修4-5知識點1不等式的基本性質(zhì)1.實數(shù)大小的比較(1)數(shù)軸上的點與實數(shù)之間具有-對應(yīng)關(guān)系.(2)設(shè)a、b是兩個實數(shù)，它們在數(shù)軸上所對應(yīng)的點分別是A、B當點A在點B的左邊時，a<b；當點A在點B的右邊時a>b.(3)兩個實數(shù)的大小與這兩個實數(shù)差的符號的關(guān)系(不等式的意義)a>bab>0a=ba-bb=0a<bab<0(4)兩個實數(shù)比較大小的步驟作差；變形；判斷差的符號；結(jié)論.2不等關(guān)系與不等式(1)不等號有工，共5個.(2)相等關(guān)系和不等關(guān)系任意給定兩個實數(shù)，它們之間要么相等，要么不相等現(xiàn)實生活中的兩個量從嚴格意義上說相等是特殊的、相對的，不

2、等是普遍的、絕對的，因此絕大多數(shù)的量都是以不等關(guān)系存在的.(3)不等式的定義：用不等號連接起來的式子叫做不等式.(4)不等關(guān)系的表示：用不等式或不等式組表示不等關(guān)系.3.不等式的基本性質(zhì)對稱性：a>bb<a;傳遞性：a>b,b>ca>c;(3)可加性：a>b,cRa+c>b+c;(4)加法法則：a>b,c>da+c>b+d;(5)可乘性：a>b,c>Oac>bc;a>b,c<0ac<bc;(6)乘法法則：a>b>0,c>d>0ac>bd;(7)乘方法則:a>b&g

3、t;0,neN且n>2an>bn;(8)開方法則:a>b>0,nN且n>2na>nb.11(9)倒數(shù)法則,即a>b>-<C.ab2.基本不等式1 .重要不等式定理1：如果a,beR,那么a2+b2>2ab，當且僅當a二b時，等號成立.2 .基本不等式a+b定理2：如果a,b>0,那么ab2.ab(ab)，當且僅當a=b時，等號成立.(2)定理2的應(yīng)用：對兩個正實數(shù)x,y,S2如果它們的和S是定值，則當且僅當x二y時，它們的積P取得最大值，最大值為如果它們的積P是定值，則當且僅當x二y時，它們的和S取得最小值，最小值為2,P.a+

4、b3 .基本不等式，26¥十的幾何解釋如圖，AB是。的直徑，C是AB上任意一點，DE是過C點垂直AB的弦.若AC=a,BC=b,則AB=a+b,OO的半徑R=a-+b,RtACDRtADCBCD二AC-BC=ab,CD=S),CDclb生歲，當且僅當C點與O點重合zAB口”一a+b時，CD=R二，即，ab二2.4幾個常用的重要不等式(1)如果aR,那么a2>0，當且僅當a=0時取等號；(a+b)2(2)如果a,b>0,那么ab<,當且僅當a二b時等號成立.41(3)如果a>0,那么a+.2，當且僅當a=1時等號成立.aab(4)如果ab>0,那么八+彳2

5、,當且僅當a二b時等號成立.2 .(定理3)如果a、b、cR+，那么a be3 3 abc(咒嚴3 abc)，當且僅當a二b二c時，等號成立即三個正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均.3i+32+3nn3.如果a、a2,，anR+,那么.+aia2.an,當且僅當a=a2=an時，等號成立.即對于n個正數(shù)a,a?,它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均.絕對值不等式1 .絕對值三角不等式1 .絕對值及其幾何意義a(a>0)(1)絕對值定義：|a|二a(a<0)(2)絕對值幾何意義：實數(shù)a的絕對值|a|表示數(shù)軸上坐標為a的點A到原點0的距離|0斥(3)數(shù)軸上兩點間的距離公式：設(shè)數(shù)軸上任意兩

6、點A,B分別對應(yīng)實數(shù)X,X2,則|AB二|Xi-X2|.2.絕對值三角不等式定理1：如果a,b是實數(shù)，則|a+a|+|b|，當且僅當ab>0時，等號成立.推論1：如果a,b是實數(shù)，那么|卻一|b|<|ab|<|a|+|b|.推論2:如果a,b是實數(shù)，那么|a|一|b|w|a+b|<|a|+|b|.(2)定理2：如果a,b,c是實數(shù)，那么|ac|w|a-b|+|b-c|，當且僅當(ab)(b-c)0時，等號成立.2.絕對值不等式的解法1. |x|va與|x|>a型不等式的解法設(shè)a>0，則(1)|x|<aa<x<a;(2) |x|wa-awx&

7、lt;a；(3) |x|>ax<一a或x>a;(4) 1xaxwa或xa.2. |ax+b|wc(c>0)與|ax+b|>c(c>0)型不等式的解法(1)1ax+b|wc-cwax+bwc；(2)|ax+b|>cax+bwc或ax+b>c.3. |xa|+|xb|wc與|xa|+|xb|c型不等式的解法(1)利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，理解絕對值的幾何意義，給絕對值不等式以準確的幾何解釋.(2)以絕對值的零點為分界點，將數(shù)軸分為幾個區(qū)間，利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)分類討論的思想-確定各個絕對值號內(nèi)多項式的正、負號，進而去掉

8、絕對值號.(3)通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.正確求出函數(shù)的零點并畫出函數(shù)圖象時需要考察函數(shù)的增減性)是關(guān)鍵.注：絕對值的幾何意義(1) IX|的幾何意義是數(shù)軸上點X與原點。的距離；(2) |x-a|+|x-b|的幾何意義是數(shù)軸上點x到點a和點b的距離之和；(3) |x-a|-|x-b|的幾何意義是數(shù)軸上點x到點a和點b的距離之差.2 .絕對值不等式的幾何意義(1) |x|wa(a>0)的幾何意義是以點a和一a為端點的線段，|x|wa的解集是a,a,(2) |x|>a(a>0)的幾何意義是數(shù)軸除去以點a和一a為端點的線段后剩下的兩條射線，Ix|&g

9、t;a的解集是(0。a)U(a,+八).3 .解含絕對值不等式的關(guān)鍵是去掉絕對值變形為不含絕對值的不等式(組)求解.例題：例如：分類討論法：即通過合理分類去絕對值后再求解。例1：解不等式x1x25。分析：由X10,X20，得x1和x2。2和1把實數(shù)集合分成三個區(qū)間，即2x1,x1,按這三個區(qū)間可去絕對值，故可按這三個區(qū)間討論。x2解：當xv.2時，得解得：3x2(X1)(X2)5當-2 w xw 1時，得2x1, (x 1)(x 2) 5解得:1時，得X 1,(X 1) (X2) 5.解得：1 x 2綜上，原不等式的解集為例2:解不等式|2X-4|-|3X+9|<1.解：當x>2時

10、，原不等式可化為X>2,(2X4)(3X+9)</,解得X>2.當一3<XW2時，原不等式可化為一3wx<2,(2X4)(3X+9)<1,6解得一YXW2.5當x<3時，原不等式可化為X<3,(2X4)+(3X+9)<1,解得XV12.綜上所述，原不等式的解集為X|xv12或X>-g.第二講證明不等式的基本方法一比較法比較法主要有1作差比較法2作商比較法1 .作差比較法(簡稱比差法)(1) 作差比較法的證明依據(jù)是：a>ba-b>0;a=bab=0;a<ba-b<0.(2)基本步驟是：作差；變形；判號；結(jié)論.2

11、.作商比較法(簡稱比商法)aaa(1)作商比較法的證明依據(jù)是：當b>0時，b>1a>b;1a=b;£<1a<b.(2)基本步驟是：作商；變形；比較與1的大?。唤Y(jié)論.注意：對作差比較法的理解(1)在證明不等式的各種方法中，作差比較法是最基本、最重要的方法-作差比較法是通過確定不等式兩邊的差的符號來證明不等式的，因而其應(yīng)用非常廣泛.(2)不等式差的符號是正是負，一般必須利用不等式的性質(zhì)經(jīng)過變形才能判斷，其中變形的目的在于判斷差的符號，而不必考慮差的值是多少-變形的方法主要有配方法、通分法、因式分解法等.(3)作差比較法，主要適用于不等式兩邊是整式或分式型的有

12、理不等式的證明.(4)在判定不等式兩邊的式子同號的條件下，如果直接作差不易變形，可以借助不等式性質(zhì)作平方差或立方差，進行證明.2.對作商比較法的理解aaa(1)使用作商法證明不等式a>b時，一定要注意b>0這個前提條件.若b<0,b<1a>b,1a=b,b>1a<b.(2)當欲證明的不等式的兩邊是乘積形式、指數(shù)幕形式，不同底的對數(shù)式形式時，常用作商法證明.二綜合法與分析法1 .綜合法一般地，從已知條件出發(fā)，禾U用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立，這種證明方法叫做綜合法.綜合法又叫順推證法或由因?qū)Ч?2 .分析法證明命題時

13、，從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直到所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法,這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法.1 .用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系A(chǔ)BBBB由已知逐步推演不等式成立的必要條件，從而得結(jié)論.2 .用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系A(chǔ)BBBB由結(jié)論步步尋求不等式成立的充分條件，從而到已知.3 .綜合法和分析法的比較(1)相同點：都是直接證明.(2)不同點：綜合法：由因?qū)Ч问胶啙?，易于表達；分析法：執(zhí)果索因，利于思考，易于探索.4 .證明不等式的通常做法常用分析法找證題切入點，用綜合法寫證

14、題過程.反證法與放縮法1反證法證明不等式時，首先假設(shè)要證的命題不成立，以此為出發(fā)點，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實等)矛盾的結(jié)論，以說明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立-我們把它稱之為反證法.2 放縮法證明不等式時，通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達到證明的目的，我們把這種方法稱為放縮法.3 換元法將所證的不等式的字母作適當?shù)拇鷵Q，以達到簡化證題過程的目的，這種方法稱為換元法.1關(guān)于反證法(1)反證法的原理是否定之否定等于肯定.即第一次否定一在假設(shè)中，否定了結(jié)論第二次否定一通過推理論證，又

15、否定了假設(shè)(2)反證法的使用范圍一般以下幾種情況適宜使用反證法：結(jié)論本身是以否定形式出現(xiàn)的一類命題；有關(guān)結(jié)論是以“至多”或“至少”的形式出現(xiàn)的一類命題；關(guān)于唯一性、存在性的命題；結(jié)論的反面是比原結(jié)論更具體、更容易研究的命題.(3)使用反證法的主要步驟(4)準確地作出反設(shè)是反證法證題的前提，下面是常用詞語的反設(shè)原結(jié)論反設(shè)原結(jié)論反設(shè)是不是至少有一個一個也沒有都是至少有一個不是至多有一個至少有兩個大于小于等于至少有n個至多有（n-1）個小于大于等于至多有n個至少有（n+1）個對所有X成立至少有一個X不成立P或q非P且非q對任何X不成立至少有一個X成立p且q非P或非q（5）運用反證法的五點說明反設(shè)時一

16、定不能把“假設(shè)”寫成“設(shè)”.當結(jié)論的反面有多種可能時，必須全部列出，否則證明是不完整的.必須從結(jié)論的否定出發(fā)進行推理，就是一定把結(jié)論的否定作為推理的條件，只要推理中沒有用到“假設(shè)”就不是反證法.最后導(dǎo)出的矛盾是多樣的，可能與已知矛盾、與假設(shè)矛盾、與定義、定理、公式矛盾、與已知的事實矛盾等，但矛盾必須是明顯的.反證法是一種間接證明的方法.2關(guān)于放縮法（1）放縮法證明不等式的理論依據(jù)有：不等式的傳遞性；等量加不等量為不等量其中減去一個正數(shù)值變?。s），加上一個正數(shù)值變大（放）：同分子（分母）異分母（分子）的兩個分式大小的比較；基本不等式與絕對值三角不等式；三角函數(shù)的有界性等.（2）運用放縮法證題的

17、關(guān)鍵是：放大或縮小要適當，千萬不能放（縮）過頭，否則問題無法獲證.（3）使用放縮法的常用變形沙2 2+3沙2 2 行放縮比如：放縮法是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮必須有目標，而且要恰到好處，目標往往從要證明的結(jié)論考慮-常用的放縮法有增項、減項、禾U用分式的性質(zhì)、禾U用不等式的性質(zhì)、禾U用已知不等式、禾U用函數(shù)的性質(zhì)等進12(nN )；r<7=7= (n W Nyjn Vn+/n- 111n2<n(n-11m>1且22);2)nn(n+1)12當 a>b>0, m>0 時，, a a+ m b b+ m且n2),nn+n+1第三講柯西不等式與排序不等

18、式1 二維形式的柯西不等式若a,b,c,d都是實數(shù)，則(a+b)(c+d)(ac+bd)，當且僅當ad二be時，等號成立.2 .柯西不等式的向量形式設(shè)a，3是兩個向量，則la-mWla|臼，當且僅當口是零向量，或存在實數(shù)k，使a=k口時，等號成立.3 .二維形式的三角不等式設(shè)Xi,V、,X2,y2R,那么x2+力+X2+y2>(XX2)+y.y2)注意：1 .二維柯西不等式的三種形式及其關(guān)系定理1是柯西不等式的代數(shù)形式，定理2是柯西不等式的向量形式,，定理3是柯西不等式的三角形式.根據(jù)向量的意義及其坐標表示不難發(fā)現(xiàn)二維形式的柯西不等式及二維形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的

19、坐標表示.2 .理解并記憶三種形式,取“二”的條件(1)代數(shù)形式中當且僅當ad二be時取等號.(2)向量形式中當存在實數(shù)k,a二kp或3二。時取等號.(3)三角形式中當P,P2,0三點共線且P,F2在原點0兩旁時取等號.3 .掌握二維柯西不等式的常用變式(1) a2+b2e2+d2>|ac+bd|.(2)負占a2+b2-c2+d2>|ac|+|bd|.(3) a2+b2寸c?+d2>ac+bd.(4) (a+b)(c+d)>(ac+bd)2.(5) 本不等式與二維柯西不等式的對比(1)基本不等式是兩個正數(shù)之間形成的不等關(guān)系.二維柯西不等式是四個實數(shù)之間形成的不等關(guān)系，從

20、這個意義上講，二維柯西不等式是比基本不等式高一級的不等式.2基本不等式具有放縮功能，利用它可以比較大小，證明不等式.，當和(或積)為定值時，可求積(或和)的最值，同樣二維形式的柯西不等式也有這些功能，利用二維形式的柯西不等式求某些特殊函數(shù)的最值非常有效.二一般形式的柯西不等式i.三維形式的柯西不等式設(shè)a,a2,a3,b,b2,b3是實數(shù)，則(a?+a2+a2)(b+b2+b2)>(abi+a2b2+ask)2，當且僅當b=0(i=i,2,3)或存在一個數(shù)k,使得a=kbi(i=i,2,3)時，等號成立.2.一般形式的柯西不等式設(shè)a,a2,a3,，an,b,b2,b3,，bn是實數(shù)，貝u(

21、ai+a2+a2)(b2+b2+b2)>(abi+a2b2+anbn)2,當且僅當b=0(i=1,2,，n)或存在一個數(shù)k，使得a二kb(i=1,2，n)時，等號成立.注意：1 .對柯西不等式一般形式的說明：一般形式的柯西不等式是二維形式、三維形式、四維形式的柯西不等式的歸納與推廣，其特點可類比二維形式的柯西不等式來總結(jié)，左邊是平方和的積，右邊是積的和的平方,運用時的關(guān)鍵是構(gòu)造出符合柯西不等式的結(jié)構(gòu)形式.2 .關(guān)于柯西不等式的證明：對于函數(shù)f(x)=(axbi)+(axb2)+(anxbn)，顯然f(x)>0時xr恒成立，即f(x)=(ai+a2+a：)x22(ab+a2b2+an

22、bn)x+(bi+£+b)>0對xr恒成立，.=4(ab+32b?+anbn)4+32+3n)(b+b2+bn)wO,除以4得(a+比+an)(bi+b2+bn)>(ab+a2b2+anbn).3 .一般形式柯西不等式成立的條件：aa?由柯西不等式的證明過程可知Za二Of(X)min=03iX-bl=S2Xbz=二3nXbn=Obi=62=bn=0,或一二一anbibabn4 .柯西不等式的幾種常見變形：(j)a2+a：+a：n=b2+b：+b=i,貝ijiwab+a2b2+anbnwI;J22232+3n2222aa2-一an-4a+類+an)aR,b>°

23、;(i=I2,3,'n>，則+-+七之b±b±b;bbbnb>+b2+bnaibi>o(i=i,2,3,n),則£爵+b;用b+靚2町:4+賽排序不等式i.亂序和、反序和、順序和設(shè)a<a2vwan,b<b2<<bn為兩組實數(shù)，Ci,C2,，Cn為bi,b2,bn的任一排列，稱8C+GC2+a3c3+anCn為亂序和abn+azbni+3sbn2+anbi為反序和3ibi+aab2+3sb3+anbn為順序和.-i+.+anbiwac+a2c2+.+anCnvaib+a2b2+.+anbn,當且僅當a=32=an或b

24、=bz二一=bn時，反序和等于順序和.3-排序原理的簡記反序和w亂序和w順序和.第四講用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式一數(shù)學(xué)歸納法1 .數(shù)學(xué)歸納法的定義一般地，當要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)%的所有正整數(shù)n都成立時，可以用以下兩個步驟：(1)證明當n二n。時命題成立.(2)假設(shè)當n=k(kN+且k>n。)時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立.在完成了這兩個步驟后，就可以斷定命題對于不小于m的所有正整數(shù)都成立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.2 .數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍適用于證明一個與無限多個正整數(shù)有關(guān)的命題.3 .數(shù)學(xué)歸納法的步驟(1)(歸納奠基)驗證當n=n0(n。為命題成立的起始自然數(shù))時命

25、題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè)當n=k(kN+,且kn。)時命題成立，推導(dǎo)n=k+1時命題也成立.(3)結(jié)論：由可知，命題對一切n)n。的自然數(shù)都成立.注意：用數(shù)學(xué)歸納法證明，關(guān)鍵在于兩個步驟要做到“遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉”，因此必須注意以下三點：(1)驗證是基礎(chǔ).數(shù)學(xué)歸納法的原理表明：第一個步驟是要找一個數(shù)Q，這個n。就是我們要證明的命題對象的最小自然數(shù)，這個自然數(shù)并不一定就是“1”，因此“找準起點，奠基要穩(wěn)”是正確運用數(shù)學(xué)歸納法要注意的第一個問題.(2)遞推是關(guān)鍵.數(shù)學(xué)歸納法的實質(zhì)在于遞推，所以從“k”到“k+1”的過程，必須把歸納假設(shè)“n=k”時命題成立作為條件來

26、導(dǎo)出“n=k+1”時命題成立，在推導(dǎo)過程中，要把歸納假設(shè)用上一次或幾次，沒有用上歸納假設(shè)的證明不是數(shù)學(xué)歸納法.(3)正確尋求遞推關(guān)系.數(shù)學(xué)歸納法的第二步遞推是至關(guān)重要的，那么如何尋找遞推關(guān)系呢在第一步驗證時，不妨多計算幾項，并正確寫出來，這樣對發(fā)現(xiàn)遞推關(guān)系是有幫助的；探求數(shù)列的通項公式時，要善于觀察式子或命題的變化規(guī)律，觀察n處在哪個位置；在書寫f(k+1)時，一定要把包含f(k)的式子寫出來，尤其是f(k)中的最后一項.除此之外，多了哪些項，少了哪些項都要分析清楚.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例1數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的不等式的步驟. 證明：當n取第一個值n。時結(jié)論成立； 假設(shè)當n=k(kN+,且kn。)時結(jié)論成立，證明當n=k+1時結(jié)論也成立.由可知命題對從n。開始的所有正整數(shù)n都成立.(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的重點.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的重點在第二步(同時也是難點所在)，即假設(shè)f(k)>g(k)成立，證明f(k+l)>g(k+1)成立.2貝努利不等式(1)定義：如果X是實數(shù)，且x>1,X羊0,n為大于1的自然數(shù)，那么有(1+x)n>i+nx.(2)作用：在數(shù)學(xué)研究中經(jīng)常用貝努利不等式把二項式的乘方(1+x)n縮小為簡單的1+nx的形式，這在數(shù)值估計和放縮法證明不等