屆高考數(shù)學專題訓練試題

1、.第一部分 專題二 第2講 數(shù)列的綜合應用(限時60分鐘，滿分100分)一、選擇題(本大題共6個小題，每小題6分，共36分)1命題甲：()x,21x,2x2成等比數(shù)列；命題乙：lgx，lg(x1)，lg(x3)成等差數(shù)列，則甲是乙的()A充分非必要條件 B必要非充分條件C充要條件 D既非充分又非必要條件解析：命題甲：(21x)22x·2x2，即2(1x)xx2，得：x2或x1.命題乙：2lg(x1)lgxlg(x3)，即(x1)2x(x3)，得：x1.故甲/乙，乙甲，故甲是乙的必要非充分條件答案：B2已知等比數(shù)列an中，a21，則其前3項的和S3的取值范圍是()A(，1 B(，0)(

2、1，)C3，) D(，13，)解析：設a1x，且x0，則S3x1，由函數(shù)yx的圖象知：x2或x2，y(，13，)答案：D3首項為b，公比為a的等比數(shù)列an的前n項和為Sn，對任意的nN*，點(Sn，Sn1)在()A直線yaxb上 B直線ybxa上C直線ybxa上 D直線yaxb上解析：當a1時，Sn，Sn1，點(Sn，Sn1)為：(，)，顯然此點在直線yaxb上當a1時，顯然也成立答案：A4已知函數(shù)f(x)滿足f(x1)f(x)(xR)，且f(1)，則數(shù)列f(n)(nN*)前20項的和為()A305 B315 C325 D335解析：因為f(1)，f(2)，f(3)，f(n)f(n1)，所以f

3、(n)是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以S2020××335.答案：D5等差數(shù)列an中，a10，公差d0，Sn為其前n項和，對任意自然數(shù)n，若點(n，Sn)在以下4條曲線中的某一條上，則這條曲線應是()解析：Snna1d，Snn2(a1)n，又a10，公差d0，所以點(n，Sn)所在拋物線開口向下，對稱軸在y軸右側答案：C6古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)比如：他們研究過圖1中的1,3,6,10，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1,4,9,16，這樣的數(shù)為正方形數(shù)，下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是()A289B1 024C1

4、 225 D1 378解析：根據(jù)圖形的規(guī)律可知第n個三角形數(shù)為an，第n個正方形數(shù)為bnn2，由此可排除D(1 378不是平方數(shù))將A、B、C選項代入到三角形數(shù)表達式中檢驗可知，符合題意的是C選項答案：C二、填空題(本大題共3個小題，每小題6分，共18分)7已知數(shù)列an滿足：a4n31，a4n10，a2nan(nN*)，則a2009_，a2014_.解析：a2009a4×50331，a2014a1007a252×410.答案：108等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且a4a28，a3a526，記Tn，如果存在正整數(shù)M，使得對一切正整數(shù)n，TnM都成立，則M的最小值是_解析：由a

5、4a28，得2d8，d4.又a3a526，得a413，a11.于是Snn·4(2n1)n，Tn22.要使MTn恒成立，只需M2，M的最小值是2.答案：29已知等比數(shù)列an的前n項和Snt·5n2，則實數(shù)t的值為_解析：Snt·5n2，a1S1，當n2時，anSnSn1().又an為等比數(shù)列，q5，5，即5，t5.答案：5三、解答題(本大題共3個小題，共46分)10(本小題滿分15分)已知數(shù)列an的首項a11，且點An(an，an1)在函數(shù)y的圖象上(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)求證：弦AnAn1的斜率隨n的增大而增大解：(1)an1且a11，1，1，是以1為首

6、項，1為公差的等差數(shù)列1(n1)×1n，an.(2)證明：an，an1，an2，弦AnAn1的斜率kn.kn1kn0，弦AnAn1的斜率隨n的增大而增大11(本小題滿分15分)已知數(shù)列an是等差數(shù)列，a11，a2a3a10144.(1)求數(shù)列an的通項an；(2)設數(shù)列bn的通項bn，記Sn是數(shù)列bn的前n項和，若n3時，有Snm恒成立，求m的最大值解：(1)an是等差數(shù)列，a11，a2a3a10144，S10145.S10145.a1028.281(101)×d.d3.ana1(n1)d1(n1)×33n2.(2)bn()，Snb1b2bn(1)(1).Sn1S

7、n>0，數(shù)列Sn是遞增數(shù)列當n3時，(Sn)minS3.依題意，m，m的最大值為.12(理)(本小題滿分16分)數(shù)列an滿足a10，a22，an2(1cos2)an4sin2，n1,2,3，.(1)求a3，a4，并求數(shù)列an的通項公式；(2)設Ska1a3a2k1，Tka2a4a2k，Wk(kN*)，求使Wk1的所有k的值，并說明理由解：(1)因為a10，a22，所以a3(1cos2)a14sin2a144，a4(1cos2)a24sin22a24.一般地，當n2k1(kN*)時a2k11cos2a2k14sin2a2k14，即a2k1a2k14.所以數(shù)列a2k1是首項為0，公差為4的等

8、差數(shù)列，因此a2k14(k1)當n2k(kN*)時，a2k2(1cos2)a2k4sin22a2k.所以數(shù)列a2k是首項為2、公比為2的等比數(shù)列，因此a2k2k.故數(shù)列an的通項公式為an(2)由(1)知，Ska1a3a2k1044(k1)2k(k1)，Tka2a4a2k2222k2k12，Wk.于是W10，W21，W3，W4，W5，W6.下面證明：當k6時；Wk1.事實上，當k6時，Wk1Wk0，即Wk1Wk.又W61，所以當k6時，Wk1.故滿足Wk1的所有k的值為3,4,5.(文)設等差數(shù)列an的公差為d(d>0)，且滿足：a2·a555，a4a622.(1)求數(shù)列an的

9、通項公式；(2)若數(shù)列bn的前n項和為an，數(shù)列bn和數(shù)列cn滿足：bn，求數(shù)列cn的前n項和Sn.解：(1)由題意知，即，得，數(shù)列an的通項公式為an32(n1)，即an2n1.(2)設數(shù)列bn的前n項和為Tn，則Tnan2n1，Tn1an12(n1)12n1(n2，nN*)，bnTnTn12(n2)，又b1T1a13，c1b1×26，cnbn·2n2n1(n2)，即cn，從而當n2時，Sn623242n2n122223242n2n12n22，當n1時，S16也滿足上式，故Sn2n22.1an是等差數(shù)列，a28，S10185，從an中依次取出第3項，第9項，第27項，第3

10、n項，按原來的順序排成一個新數(shù)列bn，則bn等于()A3n12B3n12C3n2 D3n2解析：由a28，S10185可求得a15，公差d3，an3n2.由于an的第3n項恰是bn的第n項，bna3n3×3n23n12.答案：A2設函數(shù)f(x)(x1)2n，(x1,3，nN*)的最小值為an，最大值為bn，則cnbanbn是()A公差不為零的等差數(shù)列B公比不為1的等比數(shù)列C常數(shù)列D既不是等差也不是等比數(shù)列解析：f(x)(x1)2n，x1,3，nN*，anf(1)n，bnf(1)f(3)banbnbn(bnan)4(n4)是公差不為零的等差數(shù)列答案：A3定義

11、“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和已知數(shù)列an是等和數(shù)列，且a12，公和為5，那么a18的值為_，且這個數(shù)列的前21項的和S21的值為_解析：根據(jù)定義和條件知，anan15對一切nN*恒成立，因為a12，所以an于是a183，S2110(a2a3)a152.答案：3524已知數(shù)列an的前n項和為Sn，對任意nN*，點(n，Sn)都在函數(shù)f(x)2x2x的圖象上(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設bn，且數(shù)列bn是等差數(shù)列，求非零常數(shù)p的值；(3)設cn，Tn是數(shù)列cn的前n項和，求使得Tn<對所有nN*

12、都成立的最小正整數(shù)m.解：(1)由已知，對所有nN*，Sn2n2n，所以當n1時，a1S11，當n2時，anSnSn14n3，因為a1也滿足上式，所以數(shù)列an的通項公式為an4n3(nN*)(2)由已知bn，因為bn是等差數(shù)列，可設bnanb(a、b為常數(shù))，所以anb，于是2n2nan2(apb)nbp，所以因為p0，所以b0，p.(3)cn()，所以Tnc1c2cn(1)(1)由Tn<，得m>10(1)因為1<1，所以m10.所以，所求的最小正整數(shù)m的值為10.5設數(shù)列an的各項均為正數(shù)，前n項和為Sn，已知4Sna2an1(nN*)(1)證明an是等差數(shù)列，并求an；(

13、2)設m、k、pN*，mp2k，求證：.解：(1)4Sna2an1，4Sn1a2an11(n2)兩式相減得4anaa2an2an1.整理得(anan1)(anan12)0.anan10，anan12(常數(shù))，an是以2為公差的等差數(shù)列又4S1a2a11，即a2a110，解得a11，an1(n1)×22n1.(2)證明：由(1)知Snn2，Smm2，Spp2，Skk2.由0，即.6這是發(fā)生在德國的一個真實故事，一個9歲的孤兒德比為了尋找母親，表達他對母親的愛，他每幫助一個人，就請這位被幫助者再去幫助另外10個人，假設每個人都以這種方式將愛心傳遞下去，且被幫助的人不重復總有一天自己的母親也會成為被幫助的對象如果德比每天幫助一個人，被幫助的人第二天去幫助另外10個人(假設被幫助的人第三天及以后不再幫助其他人)而德國有8 220萬人(1)設n天后，被幫助的總人數(shù)為Sn，試求出Sn；(2)最多第幾天，德比的母親成為被幫助的對象？解：(1)根據(jù)條件，可知SnSn1110