貴州省遵義市私立貴龍中學(xué)高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 函數(shù)的單調(diào)性與最值課件 新人教A版

1、第4講函數(shù)的單調(diào)性與最值1函數(shù)的單調(diào)性定義f(x1)f(x2)單調(diào)增區(qū)間設(shè)函數(shù) yf(x)的定義域?yàn)?A，區(qū)間 IA，如果對于區(qū)間 I內(nèi)的任意兩個值 x1、x2，當(dāng) x1x2 時，都有yf(x)在區(qū)間 I 上是單調(diào)增函數(shù)，I 稱為 yf(x)的，那么就說；如果對于區(qū)間 I 內(nèi)的任意兩個值 x1、x2，當(dāng) x1f(x2)單調(diào)減區(qū)間2用導(dǎo)數(shù)的語言來講函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù) yf(x)，如果在某區(qū)間 I 上間 I 上的增函數(shù)；如果在某區(qū)間 I 上，那么 f(x)為區(qū)，那么 f(x)為區(qū)間 I上的減函數(shù)f(x)0f(x)x12，x1x2(x1x2)a，x1x2x1x2由 x2x12 得 x1x2(x1x2

2、)16，x1x20.要使 f(x)在區(qū)間2，)上是增函數(shù)，只需 f(x1)f(x2)0 恒成立，則 a16.要使 f(x)在區(qū)間2，)上是增函數(shù)，則 a2x316，)恒成立，故當(dāng) a16 時，f(x)在區(qū)間2，)上是增函數(shù)【互動探究】1已知 f(x)xxa(xa)(1)若 a2，試證 f(x)在(，2)內(nèi)單調(diào)遞增；(2)若 a0 且 f(x)在(1，)內(nèi)單調(diào)遞減，求 a 的取值范圍則 f(x1)f(x2)2(x1x2)(x12)(x22).(x12)(x22)0，x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)在(，2)內(nèi)單調(diào)遞增(1)證明：任設(shè) x1x22，(3)y 2(5)yx .(2)解：任設(shè)

3、 1x1x2，則考點(diǎn) 2 函數(shù)的最值與值域例 2：求下列函數(shù)的值域：(1)y3x2x2；(2)yx22x3(5x2)；x2xx x1；(4)yx 2x1；4xx x10，y3.解題思路：關(guān)于 x 的一次分式函數(shù)，這種題目可通過求關(guān)于 x 的方程在定義域內(nèi)有解的條件來求得值域，也可以經(jīng)過變形(分離常量)，觀察得出結(jié)果； 有理分式函數(shù)，去分母化成關(guān)于 x 的二次方程，用判別式可求值域，也可把函數(shù)解析式化成 AB2(A、B 是常數(shù))的形式來求值域；用換元法將無理函數(shù)化為有理函數(shù)或?qū)⒁阎仁交申P(guān)于 x 的二次方程，用判別式求函數(shù)的值域解析：(1)方法一：y3x2x2(3x6)83x28x2，由于8x

4、2(3)方法一：y 21 2x x1函數(shù) y3x2x2的值域是y|yR 且 y33x2方法二：由 y ，得 xx22(y1)y3，y3.(2)yx22x3(x1)24，x5，2，其圖像是開口向下，頂點(diǎn)為(1,4)，在 x5，2上對應(yīng)的拋物線上的一段弧當(dāng) x5 時，ymin12；當(dāng) x2 時，ymax3.yx22x3(5x2)的值域是12,3x2xx x11.axb故 x2 時，f(x)極大值f(2)4；x2 時，f(x)極小值f(2)4.所求函數(shù)的值域?yàn)?，44，)(4)反函數(shù)法： 適用于形如 ycxd類的函數(shù)常用的求值域的方法有：(1)代入法：適用于定義域?yàn)橛邢藜暮瘮?shù)(2)分離系數(shù)法：若函

5、數(shù) yf(x)解析式中含有|x|，x2， ，sinx，cosx 等元素，又能用 y 表示出來，則利用這些元素的有界性解出 y 的范圍(3)配方法：適用于二次函數(shù)類的函數(shù) mx nxp(3)y 2(5)判別式法： 適用于形如 yax2bxc2類的函數(shù)(6)換元法：主要處理一些根式類的函數(shù)(7)不等式法：借助于不等式的性質(zhì)和均值不等式等工具求最值(8)最值法：通過求導(dǎo)求出最值【互動探究】2求下列函數(shù)的值域：(1)y3x254x； (2)yx2x2；3x21x 2.考點(diǎn) 3借助于導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性解題思路：可用分離參數(shù)的方法，再結(jié)合不等式恒成立知識求解；也可求出整個函數(shù)的遞增(減)區(qū)間，再用所給區(qū)

6、間是所求區(qū)間的子區(qū)間知識求解解析：函數(shù) f(x)的導(dǎo)數(shù) f(x)x2axa1，令 f(x)0，解得 x1 或 xa1.當(dāng) a11 即 a2 時，函數(shù) f(x)在(1，)上為增函數(shù)，不合題意當(dāng) a11，即 a2 時，函數(shù) f(x)在(，1)上為增函數(shù)，在(1，a1)內(nèi)為減函數(shù)，在(a1，)上為增函數(shù)依題意應(yīng)有：當(dāng) x(1,4)時，f(x)0；當(dāng) x(6，)時，f(x)0.所以 4a16，解得 5a7，所以 a 的取值范圍是5,7在研究函數(shù)的單調(diào)性時，當(dāng)函數(shù)解析式中既含有指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、又含有二次或三次函數(shù)，定義法判斷單調(diào)性較為困難，用導(dǎo)數(shù)來研究較為方便本題關(guān)鍵之處在于就變量系數(shù)值進(jìn)行分類討論

7、【互動探究】3設(shè) f(x)、g(x)分別是定義在 R 上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng) x0 時，f(x)g(x)f(x)g(x)0，且 g(3)0，則不等式 f(x)g(x)0 的解集是()DA(3,0)(3，)C(，3)(3，)B(3,0)(0,3)D(，3)(0,3)解析：當(dāng) x0，所以函數(shù) f(x)g(x)在(，0)上為增函數(shù)又 f(x)g(x)為奇函數(shù)，f(x)g(x)在(0，)上為增函數(shù)且 f(3)g(3)0，f(3)g(3)0，故 f(x)g(x)0 的解集為(，3)(0,3)錯源：沒有考慮定義域誤解分析：(1)忽略 x 需滿足 4xx20 這個條件；(2)對復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷出錯【互動

8、探究】4(2011 屆蘭州一中考試)函數(shù)：yxsinx；yxcosx；yx|cosx|；yx2x 的圖像(部)如圖 241，但順序被打亂，)C照從左到右將圖像對應(yīng)的函數(shù)序號安排正確的一組是( 圖 241則按A BC Df(mx) mf(x)0 恒 成 立 ， 則 實(shí) 數(shù) m 的 取 值 范 圍 是_解析：已知 f(x)為增函數(shù)且 m0，若 m0，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知 f(mx)和 mf(x)均為增函數(shù)，此時不符合題意當(dāng) m本題是較為典型的恒成立問題，解決恒成立問題通常可以利用分離變量轉(zhuǎn)化為最值的方法求解，屬于難題求函數(shù)值域的常用方法：有配方法、分離變量法、單調(diào)性法、圖像法、換元法、不等式法等無論用什么