第6章剛體力學(xué)

1、第6章剛體力學(xué)（1）提 要?jiǎng)傮w的性質(zhì)剛體的力和力矩剛體的定軸運(yùn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)舉例 1. 1. 剛體的性質(zhì)剛體的性質(zhì)剛體是一種特殊的質(zhì)點(diǎn)系。剛體是一種特殊的質(zhì)點(diǎn)系。剛體中各剛體中各質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位置始終質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位置始終不變不變形變忽略不計(jì)形變忽略不計(jì)剛體運(yùn)動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)的描述的描述剛體剛體的運(yùn)動(dòng)方式分為：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)（繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)、繞定的運(yùn)動(dòng)方式分為：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)（繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)、繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)）和滾動(dòng)（平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)）點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)）和滾動(dòng)（平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)）轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體上所有質(zhì)點(diǎn)都繞同一直線（轉(zhuǎn)軸）作圓周運(yùn)動(dòng)。剛體上所有質(zhì)點(diǎn)都繞同一直線（轉(zhuǎn)軸）作圓周運(yùn)動(dòng)。剛體的一般運(yùn)動(dòng)可以分解剛體的一般運(yùn)動(dòng)可以分解為：為：基點(diǎn)基點(diǎn)的的平動(dòng)平動(dòng)+

2、繞繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)?；c(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)。平動(dòng)：平動(dòng)：1）自由剛體的自由度為6，非自由剛體的自由度小于6。2）對(duì)稱剛體的質(zhì)心在對(duì)稱軸上，非對(duì)稱剛體可先設(shè)法分割為若干對(duì)稱剛體，再找其質(zhì)心位置。3）剛體內(nèi)力作功為零。4）剛體內(nèi)力矩為零。剛體運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)：（自學(xué)并證明）由于剛體不形變的特點(diǎn)，使其具有下列力學(xué)特性：剛體運(yùn)動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)的描述方法：的描述方法：通常以角量描述剛體的運(yùn)動(dòng)！通常以角量描述剛體的運(yùn)動(dòng)?。ń俏恢茫ń俏恢?、角速度、角速度 、角加速度、角加速度）為什么？為什么？1).角速度矢量角速度矢量rv2).2).角位置角位置( (是矢量還是標(biāo)量？）是矢量還是標(biāo)量？）請(qǐng)思考？請(qǐng)思考？dtd/但是但是dtd證明角速度

3、的矢量性。第一第一步步(合運(yùn)動(dòng)方向滿足矢量合成法合運(yùn)動(dòng)方向滿足矢量合成法則則) ：證明合運(yùn)動(dòng)繞證明合運(yùn)動(dòng)繞OC軸，即軸，即OC為為定軸定軸。Vo=Vc=0(C為為OA和和OB構(gòu)成的平行四邊形的對(duì)角線上的頂點(diǎn)。構(gòu)成的平行四邊形的對(duì)角線上的頂點(diǎn)。)第二步第二步：證明某點(diǎn)：證明某點(diǎn)P繞繞OC軸運(yùn)動(dòng)軸運(yùn)動(dòng)的角速度為：的角速度為：OCp |一剛體同時(shí)參與兩種轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度分別一剛體同時(shí)參與兩種轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度分別為為21和Pp11p22rOCrr即：POCPOAPOBSSS思思路路凡是矢量就應(yīng)該服從平行四邊形合成法則，而平行四邊凡是矢量就應(yīng)該服從平行四邊形合成法則，而平行四邊形法則服從交換率。形法則服從交換率

4、。請(qǐng)看下圖：請(qǐng)看下圖：abba應(yīng)該怎樣思考如何解決這一矛盾？（請(qǐng)同學(xué)們應(yīng)該怎樣思考如何解決這一矛盾？（請(qǐng)同學(xué)們展開討論）展開討論）結(jié)論：當(dāng)角位移為無(wú)窮小量時(shí)，為矢量，否結(jié)論：當(dāng)角位移為無(wú)窮小量時(shí)，為矢量，否則為標(biāo)量。（可與路程對(duì)照）則為標(biāo)量。（可與路程對(duì)照）3).3).角加速度角加速度dtd/dtd請(qǐng)根據(jù)請(qǐng)根據(jù)角位置角位置、角速度、角速度 、角加速度、角加速度一一般關(guān)系導(dǎo)出勻角加速轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的角運(yùn)動(dòng)般關(guān)系導(dǎo)出勻角加速轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的角運(yùn)動(dòng)方程。方程。剛體角速度的絕對(duì)性：剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度剛體角速度的絕對(duì)性：剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度與基點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)。與基點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)。注意！注意！證明剛體角速度的絕對(duì)性3. O

5、2 相對(duì)相對(duì)O1 的運(yùn)動(dòng)的角速度的運(yùn)動(dòng)的角速度隨隨O1 的平動(dòng)的平動(dòng)+繞繞O1的轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)1.以以O(shè)1為基點(diǎn)研究剛體運(yùn)動(dòng)的為基點(diǎn)研究剛體運(yùn)動(dòng)的角速度角速度 ：12.以以O(shè)2 為基點(diǎn)研究剛體運(yùn)動(dòng)的角速為基點(diǎn)研究剛體運(yùn)動(dòng)的角速度度 ：24.結(jié)論：結(jié)論：21角角量關(guān)系及角量和線量的量關(guān)系及角量和線量的關(guān)系關(guān)系222 rararvdtddtddtdnt 、本來(lái)是矢量本來(lái)是矢量，但是在，但是在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中軸的方位不中軸的方位不變，故只有沿軸的正負(fù)兩個(gè)方向，可以用標(biāo)量代變，故只有沿軸的正負(fù)兩個(gè)方向，可以用標(biāo)量代替。替。2. 2.施施于剛體的于剛體的力系的簡(jiǎn)化（自學(xué)）力系的簡(jiǎn)化（自學(xué)）作用作用在剛體上

6、的力是滑移矢量在剛體上的力是滑移矢量作用在剛體上的力不能隨便平移，但可以沿力的作用線滑動(dòng)。作用在剛體上的力不能隨便平移，但可以沿力的作用線滑動(dòng)。幾種幾種特殊力系特殊力系共點(diǎn)力系共點(diǎn)力系：可以等效為一個(gè)力。：可以等效為一個(gè)力。 所有力的作用線（或其延長(zhǎng)線）交于一點(diǎn)的力系稱為所有力的作用線（或其延長(zhǎng)線）交于一點(diǎn)的力系稱為共點(diǎn)力系。顯然，這樣的力系可以等效為大小和方向等于共點(diǎn)力系。顯然，這樣的力系可以等效為大小和方向等于諸力矢量和、作用點(diǎn)就是該交點(diǎn)的一個(gè)力，這就是合力。諸力矢量和、作用點(diǎn)就是該交點(diǎn)的一個(gè)力，這就是合力。 平行力系：平行力系：當(dāng)兩平行力同向等大或反向但大小不等時(shí)，可等當(dāng)兩平行力同向等大

7、或反向但大小不等時(shí)，可等效為一個(gè)力。（求重心）效為一個(gè)力。（求重心）當(dāng)其等大反向時(shí)，稱為力偶。當(dāng)其等大反向時(shí)，稱為力偶。(1) F1, F2 (1) F1, F2 同向，如圖同向，如圖6.56.5所示。所示。 (2) F1, F2 (2) F1, F2 反向，但大小不等。反向，但大小不等。 (3) F1, F2 (3) F1, F2 反向，且反向，且 F1 =F1 =F2 F2 。 沒(méi)有合力，這一對(duì)平行力稱為力偶。沒(méi)有合力，這一對(duì)平行力稱為力偶。容易驗(yàn)證，該力偶對(duì)于垂直于該平面的容易驗(yàn)證，該力偶對(duì)于垂直于該平面的任何軸線的力矩相同。（稱該力矩為力任何軸線的力矩相同。（稱該力矩為力偶矩）偶矩）

8、仍可用上法求合力。合力仍可用上法求合力。合力 F = FF = F1 1 + + F F2 2與與 F F1 1, F, F2 2 平行，大小為平行，大小為 F F1 1, F, F2 2 大小大小之差，方向與之差，方向與 F F1 1, F, F2 2中的較大者相同，中的較大者相同，但作用線發(fā)生了改變。但作用線發(fā)生了改變。 討論： (1)(1)求多個(gè)平行力的力系的合力，先求求多個(gè)平行力的力系的合力，先求 F1, F2 F1, F2 的合力，的合力，再求該合力與再求該合力與 F3 F3 的合力，等等。由上述可知，其結(jié)的合力，等等。由上述可知，其結(jié)果或?yàn)橐粋€(gè)合力，或?yàn)橐粋€(gè)力偶矩。果或?yàn)橐粋€(gè)合力，

9、或?yàn)橐粋€(gè)力偶矩。 (2)(2)可用此法求若干可用此法求若干 n n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)的重心，即個(gè)質(zhì)點(diǎn)的重心，即 n n 個(gè)重力的合力。個(gè)重力的合力。(3)(3)選取平動(dòng)參考系統(tǒng)研究剛體時(shí)，剛體中各質(zhì)點(diǎn)所受的選取平動(dòng)參考系統(tǒng)研究剛體時(shí)，剛體中各質(zhì)點(diǎn)所受的慣性力系為平行力系，各力的大小正比于質(zhì)量。這好慣性力系為平行力系，各力的大小正比于質(zhì)量。這好象出現(xiàn)了某種象出現(xiàn)了某種“附加重力場(chǎng)附加重力場(chǎng)”，該力場(chǎng)的合力自然作，該力場(chǎng)的合力自然作用于用于“重心重心”，即作用于質(zhì)心。因而慣性力系對(duì)于通，即作用于質(zhì)心。因而慣性力系對(duì)于通過(guò)質(zhì)心的任一軸線的力矩當(dāng)然為零。過(guò)質(zhì)心的任一軸線的力矩當(dāng)然為零。 異異面力系面力系：所有力

10、的作用線不在同一平面內(nèi)。：所有力的作用線不在同一平面內(nèi)?？傻刃樽饔糜谀骋稽c(diǎn)的一個(gè)力和一對(duì)力偶，其力偶矩等可等效為作用于某一點(diǎn)的一個(gè)力和一對(duì)力偶，其力偶矩等于各力對(duì)該點(diǎn)的力矩的矢量和。于各力對(duì)該點(diǎn)的力矩的矢量和。F1F2F3F 3 F剛體力系簡(jiǎn)化原則：作用在剛剛體力系簡(jiǎn)化原則：作用在剛體上的任何力系，最終可以等體上的任何力系，最終可以等效為一個(gè)作用于剛體上某一點(diǎn)效為一個(gè)作用于剛體上某一點(diǎn)的力和一個(gè)力偶矩方向與之平的力和一個(gè)力偶矩方向與之平行的力偶。行的力偶。共面力系共面力系：所有力的作用線位于同一平面。：所有力的作用線位于同一平面?？煞纸鉃楣颤c(diǎn)力系或平行力系處理?？煞纸鉃楣颤c(diǎn)力系或平行力系處理

11、。zOirifiFitFi3.3.剛體剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)切向分量式為：切向分量式為：Fit+fit= miait= miri切向分力與圓的半徑及切向分力與圓的半徑及轉(zhuǎn)軸三者互相垂直轉(zhuǎn)軸三者互相垂直兩邊乘以兩邊乘以ri ,有：有：Fit ri +fit ri = miri2 外力矩外力矩內(nèi)力矩內(nèi)力矩 miiiiiamfFfit轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)定律定律對(duì)對(duì) m mi i用牛頓第二定律：用牛頓第二定律：對(duì)所有質(zhì)元的同樣的式子求和：對(duì)所有質(zhì)元的同樣的式子求和：Fit ri +fit ri = miri2 一對(duì)內(nèi)力的力矩之和為零，所以有一對(duì)內(nèi)力的力矩之和為零，所以有: :Fit ri = （ miri2） 令

12、令I(lǐng) miri2 ，I為為剛體對(duì)剛體對(duì)于轉(zhuǎn)軸的于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量用用M表示表示Fit ri （合外力矩合外力矩）則有則有 M I fij mj mifjirorjriOiZ剛體所受的對(duì)于剛體所受的對(duì)于某一固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸某一固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸的的合外力矩合外力矩等于剛體等于剛體對(duì)此轉(zhuǎn)軸對(duì)此轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體在在此合外力矩此合外力矩作用下所獲作用下所獲得的角加速度的乘積。得的角加速度的乘積。幾點(diǎn)說(shuō)明：M I 與與 Fm a 地位相當(dāng)?shù)匚幌喈?dāng)2）1 1）剛體是特殊的質(zhì)點(diǎn)組，所有質(zhì)點(diǎn)組的規(guī)律均適用于剛體。）剛體是特殊的質(zhì)點(diǎn)組，所有質(zhì)點(diǎn)組的規(guī)律均適用于剛體。但由于剛體不形變的特點(diǎn)，在研究剛體

13、轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)可借用角量但由于剛體不形變的特點(diǎn)，在研究剛體轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)可借用角量簡(jiǎn)化對(duì)運(yùn)動(dòng)的描述。簡(jiǎn)化對(duì)運(yùn)動(dòng)的描述。3 3） m反映質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)慣性，反映質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)慣性， I反映剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性。與轉(zhuǎn)動(dòng)反映剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性。與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)的因素為剛體的質(zhì)量分布和軸的位置。慣量有關(guān)的因素為剛體的質(zhì)量分布和軸的位置。4 4） 借助轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可討論借助轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可討論剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題，計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量前，問(wèn)題，計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量前，必須先明確定軸的位置。必須先明確定軸的位置。2i iiImr若質(zhì)量連續(xù)分布若質(zhì)量連續(xù)分布2Ir dmdm為質(zhì)量元，簡(jiǎn)稱質(zhì)元。其計(jì)算方法如下：為質(zhì)量元，簡(jiǎn)稱質(zhì)元。其計(jì)算方法如下：dldm

14、dsdmdVdm質(zhì)量為線分布質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布質(zhì)量為體分布其中其中 、 、 分別分別為質(zhì)量的線密度、為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。面密度和體密度。線分布線分布面分布面分布體分布體分布轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的的計(jì)算計(jì)算例例1 1、求質(zhì)量為、求質(zhì)量為m、半徑為半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過(guò)圓心。慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過(guò)圓心。RdmO例例2 2、求質(zhì)量為、求質(zhì)量為m、半徑為半徑為R、厚為厚為l 的均勻圓的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與盤平面垂直并通過(guò)盤心。盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與盤平面垂直并通過(guò)盤心。lORrdr例例3 3、求長(zhǎng)為、求長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)

15、量為質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒對(duì)圖中不的均勻細(xì)棒對(duì)圖中不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。ABLXABL/2L/2CX前例前例中中I I C C表示相對(duì)通過(guò)質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，表示相對(duì)通過(guò)質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量， I I A A表示相對(duì)通過(guò)棒端的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。兩軸平行，相表示相對(duì)通過(guò)棒端的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。兩軸平行，相距距L/2L/2?？梢?jiàn)：可見(jiàn)：222211121243ACLIImmLmLmL推廣上述推廣上述結(jié)論：結(jié)論：若若有任一軸與過(guò)質(zhì)心的軸有任一軸與過(guò)質(zhì)心的軸平行，相距為平行，相距為d d，剛體對(duì)其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為剛體對(duì)其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I I，則有則有：I I Cmd2。這個(gè)結(jié)論稱為這個(gè)結(jié)論稱為平行軸定理平行軸定理

16、。1 1）平行軸定理）平行軸定理平行軸定理證明平行軸定理證明 ABCdxmi =dmriiri iiCmrI2 對(duì)對(duì)C A軸平行軸平行C 軸（質(zhì)心軸）軸（質(zhì)心軸）對(duì)對(duì)AiiAmrI2 由圖由圖 drdrdrriiii 2222)(drmdmrmIiiiiiA 22故：故： 2mdIIcA 平行軸定理平行軸定理 0 Ciiiirmmrmmrm定理表述：質(zhì)量平面分布的剛體，繞垂直于平定理表述：質(zhì)量平面分布的剛體，繞垂直于平面軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于平面內(nèi)兩正交軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣面軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于平面內(nèi)兩正交軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。量之和。zxyIIIxozyxydm2 2）垂直軸定理）垂直軸定理3 3）主軸）主軸慣量定

17、理慣量定理222123IIII123, ,I I I為剛體相對(duì)于三根相互垂直的對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量, 為任意軸與三根主軸的夾角的余弦定理表述：剛體相對(duì)定理表述：剛體相對(duì)于任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量于任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與其主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和方與其主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和方向余弦有如下關(guān)系：向余弦有如下關(guān)系：幾種常見(jiàn)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的I右圖所示剛體對(duì)經(jīng)右圖所示剛體對(duì)經(jīng)過(guò)棒端且與棒垂直過(guò)棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如何計(jì)算？何計(jì)算？( (棒長(zhǎng)為棒長(zhǎng)為L(zhǎng)、圓半徑為圓半徑為R）例例4 4、一個(gè)質(zhì)量為、半徑為、一個(gè)質(zhì)量為、半徑為的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪繞有細(xì)繩，繩的一

18、端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為的物邊上，另一端掛一質(zhì)量為的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體由靜止下落高度時(shí)的速度體由靜止下落高度時(shí)的速度和此時(shí)滑輪的角速度。和此時(shí)滑輪的角速度。mg類比法質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)m平動(dòng)慣性平動(dòng)慣性I轉(zhuǎn)動(dòng)慣性轉(zhuǎn)動(dòng)慣性質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)d角位移角位移dr位移位移速度速度角速度角速度角加速度角加速度a加速度加速度P動(dòng)量動(dòng)量L 角動(dòng)量角動(dòng)量剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)量的類比FMPmLI 212kEm212krEIdFAFrdmAM動(dòng)力學(xué)量的類比質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)類比法質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)規(guī)律

19、的類比MI Fm addPFmtaddLMIt 2201122dAII2201122dAmm質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)類比法質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體剛體的重力勢(shì)能的重力勢(shì)能hhihcxOmCm一一個(gè)質(zhì)元：個(gè)質(zhì)元：iighm()iiPiiiiEm g hgm h重p GcEm g h整個(gè)剛體：整個(gè)剛體：一個(gè)不太大的一個(gè)不太大的剛體（剛體（重心相對(duì)位置不變重心相對(duì)位置不變）的）的重力勢(shì)能重力勢(shì)能相當(dāng)于它的全部質(zhì)量都集中在質(zhì)心時(shí)所具有的勢(shì)能。相當(dāng)于它的全部質(zhì)量都集中在質(zhì)心時(shí)所具有的勢(shì)能。轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能中的功和能力矩力矩的功的功|cosrdFrdFdW力矩對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)物體作的功等

20、于相應(yīng)力矩和角位移的乘積。稱為力矩的功。稱為力矩的功。rdF cos MrFrFcoscosMddW xOrvFPdrd功的另一種表示方法功的另一種表示方法剛體剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能變化的原因可以用力矩做剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能變化的原因可以用力矩做功的效果來(lái)解釋。功的效果來(lái)解釋。iiiiiiKrmvmE22)(2121剛體上所有質(zhì)元的動(dòng)能之和為：剛體上所有質(zhì)元的動(dòng)能之和為：22221)(21Irmiii將定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律兩邊乘以將定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律兩邊乘以d d 再同時(shí)對(duì)再同時(shí)對(duì) 積積分有分有: :21222121II21dIdtdtdI21ddtdI21合外

21、力矩對(duì)一個(gè)繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所做的功等于合外力矩對(duì)一個(gè)繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所做的功等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。12KKEEW上式即為：上式即為：這個(gè)結(jié)論稱為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理。這個(gè)結(jié)論稱為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理。轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之差轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之差21Md剛體剛體的角動(dòng)量、的角動(dòng)量、角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理1 1）剛體）剛體的角動(dòng)量的角動(dòng)量剛體上的一個(gè)質(zhì)元?jiǎng)傮w上的一個(gè)質(zhì)元, ,繞固定軸做圓周運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量為繞固定軸做圓周運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量為：vmrPrL質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的角動(dòng)量為：質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的角動(dòng)量為：iiiiiimrvmrL2所以剛體繞此軸的角動(dòng)量為：所以剛體繞此軸的角動(dòng)量為：IrmLLiiiii)(2剛體對(duì)固定轉(zhuǎn)動(dòng)

22、軸的角動(dòng)量剛體對(duì)固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸的角動(dòng)量L L, ,等于它對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣等于它對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量量I I 和角速度和角速度 的乘積。的乘積。2 2）剛體）剛體的角動(dòng)量定理的角動(dòng)量定理dtLdM 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理為：質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理為：A A：微分形式：微分形式：對(duì)質(zhì)點(diǎn)組討論對(duì)質(zhì)點(diǎn)組討論:dtiLdiM內(nèi)外iMiMiM ijijMiM內(nèi) jj iMiM外 iiMidtiLddtLdMiiMiM)( 內(nèi)外iijijMM外 ZmjmifjirorjriOifijdtLdMM外 剛體是特殊的質(zhì)點(diǎn)組剛體是特殊的質(zhì)點(diǎn)組, ,在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中只考慮力矩和角在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中只考慮力矩和角動(dòng)量平行于轉(zhuǎn)軸的分量，設(shè)轉(zhuǎn)軸為動(dòng)量平行

23、于轉(zhuǎn)軸的分量，設(shè)轉(zhuǎn)軸為z z 軸軸, ,取角動(dòng)量定取角動(dòng)量定理沿理沿z z軸的分量式有軸的分量式有: :dtdLMzz外0 iijijM在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，可用標(biāo)量表示：在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，可用標(biāo)量表示：IdtdIIdtdLdtdM)(剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律實(shí)質(zhì)是角動(dòng)量定理的沿固定軸方向的分量式的一種特殊形式。B:B:積分形式積分形式LLLdLMdttLL12021左邊為對(duì)某個(gè)固定軸的外力矩的作用在某段時(shí)間內(nèi)左邊為對(duì)某個(gè)固定軸的外力矩的作用在某段時(shí)間內(nèi)的積累效果，稱為的積累效果，稱為沖量矩沖量矩；右邊為剛體對(duì)同一轉(zhuǎn)動(dòng)軸的角動(dòng)量的增量。右邊為剛體對(duì)同一轉(zhuǎn)動(dòng)軸的角動(dòng)量的增量。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的守恒定律動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒對(duì)于含有剛體的系統(tǒng)對(duì)于含有剛體的系統(tǒng), ,如果在運(yùn)動(dòng)過(guò)程如果在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受合外力中所受合外力為零為