高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)(教)案(第58講)空間距離

1、題目 第九章(B)直線、平面、簡單幾何體空間距離高考要求 1 理解點(diǎn)到平面、直線和直線、直線和平面、平面和平面距離的概念 2會用求距離的常用方法（如：直接法、轉(zhuǎn)化法、向量法對異面直線的距離只要求學(xué)生掌握作出公垂線段或用向量表示的情況）和距離公式計算七種距離知識點(diǎn)歸納 1點(diǎn)到平面的距離：已知點(diǎn)是平面外的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，則唯一，則是點(diǎn)到平面的距離即 一點(diǎn)到它在一個平面內(nèi)的正射影的距離叫做這一點(diǎn)到這個平面的距離結(jié)論：連結(jié)平面外一點(diǎn)與內(nèi)一點(diǎn)所得的線段中，垂線段最短2 異面直線的公垂線：和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做異面直線的公垂線3公垂線唯一：任意兩條異面直線有且只有一條公垂線4兩條異面

2、直線的公垂線段：兩條異面直線的公垂線夾在異面直線間的部分，叫做兩條異面直線的公垂線段；5公垂線段最短：兩條異面直線的公垂線段是分別連結(jié)兩條異面直線上兩點(diǎn)的線段中最短的一條；6兩條異面直線的距離：兩條異面直線的公垂線段的長度說明：兩條異面直線的距離即為直線到平面的距離即兩條異面直線的距離等于其中一條直線到過另一條直線且與這條直線平行的平面的距離7直線到與它平行平面的距離：一條直線上的任一點(diǎn)到與它平行的平面的距離,叫做這條直線到平面的距離(轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離)8兩個平行平面的公垂線、公垂線段：（1）兩個平面的公垂線：和兩個平行平面同時垂直的直線，叫做兩個平面的公垂線（2）兩個平面的公垂線段：公垂線夾在

3、平行平面間的的部分，叫做兩個平面的公垂線段（3）兩個平行平面的公垂線段都相等（4）公垂線段小于或等于任一條夾在這兩個平行平面間的線段長9兩個平行平面的距離：兩個平行平面的公垂線段的長度叫做兩個平行平面的距離10七種距離：點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)到直線、兩條平行直線、兩條異面直線、點(diǎn)到平面、平行于平面的直線與該平面、兩個平行平面之間的距離，其中點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與直線、點(diǎn)到平面的距離是基礎(chǔ)，求其它幾種距離一般化歸為求這三種距離，點(diǎn)到平面的距離有時用“體積法”來求10用向量法求距離的公式：異面直線之間的距離：，其中直線與平面之間的距離：，其中是平面的法向量兩平行平面之間的距離：，其中是平面的法向量點(diǎn)A到平面的距離：，其

4、中，是平面的法向量另法：點(diǎn)平面則 點(diǎn)A到直線的距離： ，其中，是直線的方向向量兩平行直線之間的距離：，其中，是的方向向量題型講解 例1 設(shè)A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,），D（,4,8），求D到平面ABC的距離解法一：A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,），D（,4,8），設(shè)平面ABC的法向量=（x，y，z），則·=0，·=0，即令z=2，則=（3，2，2）由點(diǎn)到平面的距離公式：=點(diǎn)D到平面ABC的距離為解法二：設(shè)平面ABC的方程為：將A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,）的坐標(biāo)代入，得，取B2，則平面ABC的法向量=(A,B,C)

5、=（3，2，2）又因為 由點(diǎn)到平面的距離公式：=點(diǎn)D到平面ABC的距離為點(diǎn)評： 求點(diǎn)到平面的距離除了根據(jù)定義及等積變換外，還可以借用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一個法向量的坐標(biāo)(兩種方法)，再求出已知點(diǎn)P與平面內(nèi)任一點(diǎn)M構(gòu)成的向量的坐標(biāo)，那么P到平面的距離d=|cos，例2 如圖所求，已知四邊形ABCD、EADM和MDCF都是邊長為a的正方形，點(diǎn)P、Q分別是ED和AC的中點(diǎn) 求：（1）與所成的角；（2）P點(diǎn)到平面EFB的距離；（3）異面直線PM與FQ的距離解：建立空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、M（0，0，a）、E（a，0，a）

6、、F（0，a，a），則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得P（，0，）、Q（，0）（1）=（，0，），=（，a），·=（）×+0+×（a）=a2，且|= a，|= acos，=故得兩向量所成的角為150°（2）設(shè)=（x，y，z）是平面EFB的法向量，即|=1，平面EFB，又=（a，a，0）， =（0，a，a），即有，取，則 =（，0，） 設(shè)所求距離為d，則= a（3）設(shè)=（x1，y1，z1）是兩異面直線的公垂線的方向向量，則由=（，0，），=（，a），得取1，則而 =（0，a，0）設(shè)所求距離為m，則=a例3 已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，求異面直線BD與B

7、1C的距離分析：雖然此題中沒有給出表示兩異面直線距離的線段，但是容易建立直角坐標(biāo)系，使它變?yōu)樽鴺?biāo)系下的異面直線距離的問題，還是屬于考試范圍的問題解：建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則B（0，0，0），C（1，0，0），D（1，1，0） B1（0，0，1），則設(shè)與都垂直的向量為，則由 和得，異面直線BD與B1C的距離：小結(jié)：1用向量求點(diǎn)到平面的距離的步驟為：先確定平面的法向量，再求該點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的連線在法向量上的射影長即得也就是若是平面的法向量，為平面內(nèi)的一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為：2求異面直線的距離方法很多，但考綱僅要求會求圖中已給出表示異面直線間距離的線段，或在空間直角坐標(biāo)系下的異面直線的距離，

8、對于第一類問題要先找出這條線段，證明它是所求距離，然后求之；第二類問題的求解步驟是：先求出與兩異面直線都垂直的一個向量，然后再求異面直線上兩點(diǎn)連線在這個向量上的射影的長，即若是與異面直線都垂直的向量，點(diǎn)，則異面直線與之間的距離： 3兩平面間的距離一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面或線到面的距離來求解學(xué)生練習(xí) 1ABCD是邊長為2的正方形，以BD為棱把它折成直二面角ABDC，E是CD的中點(diǎn)，則異面直線AE、BC的距離為A B C D1解析：易證CE是異面直線AE與BC的公垂線段，其長為所求易證CE=1選D答案：D2在ABC中，AB=15，BCA=120°，若ABC所在平面外一點(diǎn)P到A、B、C的距離都是

9、14，則P到的距離是 A13B11C9D7解析：作PO于點(diǎn)O，連結(jié)OA、OB、OC，PA=PB=PC，OA=OB=OCO是ABC的外心OA=5PO=11為所求選B答案：B3在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中點(diǎn)，則點(diǎn)A1到平面MBD的距離是A aB aC aD a解析：A到面MBD的距離由等積變形可得VAMBD=VBAMD易求d=a答案：D4平面內(nèi)的MON=60°，PO是的斜線，PO=3，POM=PON=4°，那么點(diǎn)P到平面的距離是A B C D 解析：cosPOM=cosPOH·cosMOH，= cosPOHcosPOH=sinPOH=P

10、H=PO·sinPOH=3×=答案：A5正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a，E是CC1的中點(diǎn)，則E到A1B的距離是A aB aC aD a解析：連結(jié)A1E、BE，過E作EHA1B于H，在A1BE中易求EH=a答案：D6A、B是直線l上的兩點(diǎn)，AB=4，ACl于A，BDl于B，AC=BD=3，又AC與BD成60°的角，則C、D兩點(diǎn)間的距離是_解析：CD=答案：5或7設(shè)PARtABC所在的平面，BAC=90°，PB、PC分別與成45°和30°角，PA=2，則PA與BC的距離是_；點(diǎn)P到BC的距離是_解析：作ADBC于點(diǎn)D，PA面AB

11、C，PAADAD是PA與BC的公垂線易得AB=2，AC=2，BC=4，AD=，連結(jié)PD，則PDBC，P到BC的距離PD=答案： 8已知l1、l2是兩條異面直線，、是三個互相平行的平面，l1、l2分別交、于A、B、C和D、E、F，AB=4，BC=12，DF=10，又l1與成30°角，則與的距離是_；DE=_解析：由直線與平面所成角的定義及平行平面距離定義易得與間距離為6由面面平行的性質(zhì)定理可得=，=，即=DE=25答案：6 259已知正方體ABCDA1B1C1D1的邊長為a，E、F分別是棱A1B1、CD的中點(diǎn)（1）證明：截面C1EAF平面ABC1（2）求點(diǎn)B到截面C1EAF的距離（1）證明：連結(jié)EF、AC1和BC1，易知四邊形EB1CF是平行四邊形，從而EFB1C，直線B1CBC1且B1CAB，則直線B1C平面ABC1，得EF平面ABC1而EF平面C1EAF，得平面C1EAF平面ABC1（2）解：在平面ABC1內(nèi)，過B作BH，使BHAC1，H為垂足，則BH的長就是點(diǎn)B到平面C1EAF的距離，在直角三角形中，BH=另法：建立坐標(biāo)系(略)10已知直線l上有兩定點(diǎn)A、B，線段ACl，BDl，AC=BD=a且AC與BD成120°角，求