大連理工大學(xué)數(shù)理統(tǒng)計復(fù)習(xí)

1、 概率統(tǒng)計是研究什么的？客觀世界中發(fā)生的現(xiàn)象客觀世界中發(fā)生的現(xiàn)象 確定性的確定性的在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象1)1)拋出物體會下落。拋出物體會下落。2)2)充滿氣的氣球受到擠壓會破。充滿氣的氣球受到擠壓會破。 隨機(jī)性的隨機(jī)性的在一定條件下，具有多種可能在一定條件下，具有多種可能的結(jié)果，但事先又不能預(yù)知確切的結(jié)果的結(jié)果，但事先又不能預(yù)知確切的結(jié)果1)1)拋擲一枚硬幣，其結(jié)果可能是國徽面朝上，也可能是國徽面拋擲一枚硬幣，其結(jié)果可能是國徽面朝上，也可能是國徽面朝下。朝下。2)2)足球比賽，其結(jié)果可能是勝、平、負(fù)。足球比賽，其結(jié)果可能是勝、平、負(fù)。3)3)投擲一個骰子，其結(jié)果

2、有投擲一個骰子，其結(jié)果有6 6種，即可能出現(xiàn)種，即可能出現(xiàn)1,2,3,4,5,61,2,3,4,5,6點。點。4)4)股市的變化。股市的變化。5)5)人的壽命。人的壽命。 經(jīng)典的數(shù)學(xué)理論如微積分、微分方程等經(jīng)典的數(shù)學(xué)理論如微積分、微分方程等都是研究確定性現(xiàn)象的有力的數(shù)學(xué)工具。都是研究確定性現(xiàn)象的有力的數(shù)學(xué)工具。 對于某些隨機(jī)現(xiàn)象，雖然對個別試驗來對于某些隨機(jī)現(xiàn)象，雖然對個別試驗來說，無法預(yù)言其結(jié)果，但在相同的條件說，無法預(yù)言其結(jié)果，但在相同的條件下，進(jìn)行大量的重復(fù)試驗或觀察時，卻下，進(jìn)行大量的重復(fù)試驗或觀察時，卻又呈現(xiàn)出某些規(guī)律性（如拋擲硬幣）。又呈現(xiàn)出某些規(guī)律性（如拋擲硬幣）。 隨著社會生產(chǎn)

3、與科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，研究隨著社會生產(chǎn)與科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的理論和方法獲隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的理論和方法獲得了迅速的發(fā)展，形成了數(shù)學(xué)的一個重得了迅速的發(fā)展，形成了數(shù)學(xué)的一個重要分支，并被廣泛應(yīng)用于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、要分支，并被廣泛應(yīng)用于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、軍事、科技、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域。軍事、科技、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域。 概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的學(xué)科統(tǒng)計規(guī)律性的學(xué)科 應(yīng)用范圍廣泛。例如：應(yīng)用范圍廣泛。例如： 氣象預(yù)報、水文預(yù)報、地震預(yù)報、產(chǎn)品質(zhì)量檢驗、氣象預(yù)報、水文預(yù)報、地震預(yù)報、產(chǎn)品質(zhì)量檢驗、產(chǎn)品的可靠性評估、壽命預(yù)測、生物統(tǒng)計、衛(wèi)生統(tǒng)計、產(chǎn)品的可靠性評估、壽命預(yù)測

4、、生物統(tǒng)計、衛(wèi)生統(tǒng)計、保險、金融等各領(lǐng)域。保險、金融等各領(lǐng)域。 經(jīng)典數(shù)學(xué)與概率論與數(shù)理統(tǒng)計是相經(jīng)典數(shù)學(xué)與概率論與數(shù)理統(tǒng)計是相輔相成，互相滲透的。輔相成，互相滲透的。第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念 隨機(jī)事件及其運算隨機(jī)事件及其運算 頻率與概率頻率與概率1.1隨機(jī)試驗、樣本空間、隨機(jī)事件隨機(jī)試驗、樣本空間、隨機(jī)事件一、隨機(jī)試驗（簡稱一、隨機(jī)試驗（簡稱“試驗試驗”）隨機(jī)試驗的特點隨機(jī)試驗的特點 (1)(1)試驗可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；試驗可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；(2)(2)每次試驗的可能結(jié)果不止一個，并且事先可每次試驗的可能結(jié)果不止一個，并且事先可以知道試驗所有可能的結(jié)果；以知道

5、試驗所有可能的結(jié)果；(3)(3)進(jìn)行一次試驗之前不能確定出現(xiàn)的是哪個結(jié)進(jìn)行一次試驗之前不能確定出現(xiàn)的是哪個結(jié)果果; ;滿足上述特點的試驗稱為滿足上述特點的試驗稱為隨機(jī)試驗隨機(jī)試驗，一般記為，一般記為E。 E1：拋拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察正面和反面出觀察正面和反面出現(xiàn)的情況；現(xiàn)的情況；E2：擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，觀察其出現(xiàn)的點數(shù)；擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，觀察其出現(xiàn)的點數(shù)；E3：記錄某網(wǎng)站一分鐘內(nèi)受到的點擊次數(shù)；記錄某網(wǎng)站一分鐘內(nèi)受到的點擊次數(shù)；E4：在某高樓上任意擲下一朵玫瑰花，觀察其在地在某高樓上任意擲下一朵玫瑰花，觀察其在地面上的位置；面上的位置；E5：從某品牌的電視機(jī)

6、中任取一臺，觀察其使用壽從某品牌的電視機(jī)中任取一臺，觀察其使用壽命。命。隨機(jī)試驗的例子二、樣本空間二、樣本空間 1、樣本空間：、樣本空間：由隨機(jī)試驗的一切可能的結(jié)果由隨機(jī)試驗的一切可能的結(jié)果組成的一個集合組成的一個集合稱為試驗稱為試驗E的的樣本空間樣本空間，記為，記為S或或； 2、樣本點：、樣本點：試驗的每一個可能的結(jié)果試驗的每一個可能的結(jié)果（或樣或樣本空間的元素）稱為一個本空間的元素）稱為一個樣本點樣本點，記為，記為e。三、隨機(jī)事件三、隨機(jī)事件例例 將一顆骰子連擲兩次，依次記錄所得點將一顆骰子連擲兩次，依次記錄所得點數(shù)，則所有可能出現(xiàn)的結(jié)果即該試驗的數(shù)，則所有可能出現(xiàn)的結(jié)果即該試驗的樣本空間

7、是：樣本空間是：(1,1)(1,2)(1,6)(2,1)(2,2)(2,6)(6,1)(6,2)(6,6)Snnnnnnn其中有其中有3636個可能的結(jié)果，即個可能的結(jié)果，即3636個樣本點。個樣本點。每做一次試驗，這每做一次試驗，這3636個樣本點必有一個且僅有一個個樣本點必有一個且僅有一個出現(xiàn)。在很多時候，我們是對樣本空間中某些子集出現(xiàn)。在很多時候，我們是對樣本空間中某些子集感興趣，稱之為感興趣，稱之為事件事件。如事件如事件A：兩次投擲所得點數(shù)之和為：兩次投擲所得點數(shù)之和為8 8。事件事件B：兩次投擲所得點數(shù)相等。：兩次投擲所得點數(shù)相等。A發(fā)生發(fā)生(2,6),(3,5),(4,4),(5,

8、3),(6,2)(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)記作：記作：A=(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)=(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)，A是是S的子集。的子集。類似地，類似地，B=(1,1),(2,2),=(1,1),(2,2),(6,6),(6,6)，B也是也是S的子的子集。集。 1、隨機(jī)事件隨機(jī)事件隨機(jī)試驗隨機(jī)試驗E的樣本空間的樣本空間S的子集為的子集為E的的隨機(jī)事件隨機(jī)事件，簡稱事件。通常用大寫字母，簡稱事件。通常用大寫字母A、B、C表示表示。 任何事件均可表示為樣本空間的某個子集任何事件均可表示為樣本空間的某個子

9、集.稱稱事件事件A發(fā)生發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)試驗的結(jié)果是子集當(dāng)且僅當(dāng)試驗的結(jié)果是子集A中的元素中的元素。當(dāng)一個事件僅包含一個樣本點時，稱為基本事件當(dāng)一個事件僅包含一個樣本點時，稱為基本事件 2、兩個特殊事件兩個特殊事件 必然事件必然事件S 包含所有的樣本點，每次試驗包含所有的樣本點，每次試驗它總是發(fā)生它總是發(fā)生 不可能事件不可能事件 空集空集，不包含任何樣本點，不包含任何樣本點，每次試驗總是不發(fā)生每次試驗總是不發(fā)生1.事件的包含與相等事件的包含與相等 A中的樣本點一定屬于B，記為AB，也稱A是B的子事件。 A與B兩個事件相等：AB AB且BA。四、事件之間的關(guān)系四、事件之間的關(guān)系A(chǔ)BAB2n個事件個事件

10、A1, A2, An至少有一個發(fā)生，記作至少有一個發(fā)生，記作iniA12” 可列個事件可列個事件A1, A2, An 至少有一個發(fā)生，記至少有一個發(fā)生，記作作inA13.積事件積事件 :A與與B同時發(fā)生，記作同時發(fā)生，記作 ABAB3n個事件個事件A1, A2, An同時發(fā)生，記作同時發(fā)生，記作nniiAAAA2113”可列個事件可列個事件A1, A2, An , 同時發(fā)生，記作同時發(fā)生，記作nniAAAA2114.差事件差事件 ：AB稱為稱為A與與B的差事件的差事件,表示事件表示事件A發(fā)生而發(fā)生而B不發(fā)生，不發(fā)生，它是由屬于它是由屬于A而不屬于而不屬于B的樣本點所構(gòu)成的事件。的樣本點所構(gòu)成的

11、事件。5.互斥的事件互斥的事件 ：AB= ,指事件指事件A與與B不能同時發(fā)生。不能同時發(fā)生。又稱又稱A與與B互不相容。互不相容。基本事件是基本事件是兩兩互不相容的兩兩互不相容的6. 互逆的互逆的事件事件 AB , 且且AB ;BAAABAB記作，稱為 的補(bǔ)事件 易見A與與B互逆：互逆：事件事件A與與B既不能同既不能同時發(fā)生，又不能同時時發(fā)生，又不能同時不發(fā)生。即在每次試不發(fā)生。即在每次試驗中，驗中，A與與B有且僅有且僅有一個發(fā)生。有一個發(fā)生。五、事件的運算五、事件的運算1、交換律：、交換律：ABBA，ABBA2、結(jié)合律、結(jié)合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC)3、分配律、分配律：(

12、AB)C(AC)(BC)， (AB)C(AC)(BC)4、對偶、對偶(De Morgan)律律： .,kkkkkkkkAAAABAABBABA可推廣1.2 頻率與概率頻率與概率 一、頻率一、頻率定義定義1.1.設(shè)在相同的條件下，進(jìn)行了設(shè)在相同的條件下，進(jìn)行了n次試驗。次試驗。若隨機(jī)事件若隨機(jī)事件A在這在這n次試驗中發(fā)生了次試驗中發(fā)生了nA次次, ,則比值則比值nnA稱為事件稱為事件A在這在這n次試驗中發(fā)生的頻率，次試驗中發(fā)生的頻率，記作記作fn(A)，即，即fn(A)=nnA實踐證明：當(dāng)試驗次數(shù)實踐證明：當(dāng)試驗次數(shù)n增大時，增大時， 隨機(jī)事隨機(jī)事件件A的頻率的頻率fn(A) 逐漸趨向一個穩(wěn)定值

13、逐漸趨向一個穩(wěn)定值。這是隨機(jī)現(xiàn)象固有的性質(zhì)，即頻率的穩(wěn)這是隨機(jī)現(xiàn)象固有的性質(zhì)，即頻率的穩(wěn)定性，也就是我們所說的隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)定性，也就是我們所說的隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。計規(guī)律性。二、概率二、概率從直觀上來看，事件從直觀上來看，事件A A的概率是指事件的概率是指事件A A發(fā)發(fā)生的可能性生的可能性1、概率的統(tǒng)計定義、概率的統(tǒng)計定義設(shè)隨機(jī)事件設(shè)隨機(jī)事件A在在n次重復(fù)試驗中發(fā)生的次數(shù)為次重復(fù)試驗中發(fā)生的次數(shù)為nA，若當(dāng)試驗次數(shù)若當(dāng)試驗次數(shù)n很大時，頻率很大時，頻率nA/n穩(wěn)定地在某穩(wěn)定地在某一數(shù)值一數(shù)值p的附近擺動，且隨著試驗次數(shù)的附近擺動，且隨著試驗次數(shù)n的增加，的增加，其擺動的幅度越來越小，則稱數(shù)其

14、擺動的幅度越來越小，則稱數(shù)p為隨機(jī)事件為隨機(jī)事件A的概率，記為的概率，記為P(A)=p。由定義，顯然有由定義，顯然有00P( (A)1, )1, P(S)=1，P()=0。設(shè)設(shè)E是隨機(jī)試驗，是隨機(jī)試驗，S是它的樣本空間，對于是它的樣本空間，對于E的每一個的每一個事件事件A，賦予一個實數(shù)，賦予一個實數(shù)P(A)與之對應(yīng)，如果集合與之對應(yīng)，如果集合函數(shù)函數(shù)P()具有如下性質(zhì)：具有如下性質(zhì)：非負(fù)性：對任意一個事件非負(fù)性：對任意一個事件A，均有，均有P(A)0 ；規(guī)范性：規(guī)范性：P(S)=1；可列可加性：若可列可加性：若A1，A2，An，是兩兩互不相是兩兩互不相容的事件序列，即容的事件序列，即AiAj=

15、(ij, i, j=1,2,)，有，有P(A1A2An)= P(A1)+ P(A2) + P(An)+則稱則稱P(A)為事件為事件A的的概率概率。2、概率的公理化定義（、概率的公理化定義（Kolmogorov公理）公理）3、概率的性質(zhì)、概率的性質(zhì) 不可能事件的概率為零，即不可能事件的概率為零，即P()=0；概率具有概率具有，即若事件即若事件A1，A2，An兩兩互不兩兩互不相容，則必有相容，則必有P(A1A2An)= P(A1)+ P(A2) + P(An)設(shè)設(shè)A，B是兩個事件，則是兩個事件，則P(A- -B)=P(A)- -P(AB)特別地，若特別地，若A B，則，則AB=B，有有P(A- -

16、B)=P(A)- -P(B)，且且P(A)P(B)，此性質(zhì)稱為此性質(zhì)稱為。)(1)(APAP 對任一事件對任一事件A，有有 對任意兩個事件對任意兩個事件A，B，有，有P(AB)=P(A)+P(B) - - P(AB)可推廣可推廣。 對任意兩事件對任意兩事件A，B，有，有)()()(BAPABPAP二、條件概率二、條件概率在事件在事件B發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的發(fā)生的條件概條件概率率，記為，記為 )()()|(BPABPBAP 乘法法則乘法法則 )()|()(BPBAPABP )()|()(APABPABP 全概率公式：全概率公式：貝葉斯公式：貝葉斯公式： niiiABPAPB

17、P1)|()()( niiimmmABPAPAPABPBAP1)|()()()|()|(二、事件的統(tǒng)計獨立性二、事件的統(tǒng)計獨立性兩個事件的統(tǒng)計獨立兩個事件的統(tǒng)計獨立()( ) ( )P ABP A P B多個事件的統(tǒng)計獨立多個事件的統(tǒng)計獨立 kjikjijjAPAP11)()(第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量 隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù) 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量 隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布用實數(shù)來表示隨機(jī)試驗的各種結(jié)果，即引入隨機(jī)變量用實數(shù)來表示隨機(jī)試驗的各種結(jié)果，即引入隨機(jī)變量的概念。這樣，不僅可以更全面揭

18、示隨機(jī)試驗的客觀的概念。這樣，不僅可以更全面揭示隨機(jī)試驗的客觀存在的統(tǒng)計規(guī)律性，而且可使我們用（高等數(shù)學(xué)）微存在的統(tǒng)計規(guī)律性，而且可使我們用（高等數(shù)學(xué)）微積分的方法來討論隨機(jī)試驗。積分的方法來討論隨機(jī)試驗。 在隨機(jī)試驗中，如果把試驗中觀察的對象與實數(shù)對應(yīng)在隨機(jī)試驗中，如果把試驗中觀察的對象與實數(shù)對應(yīng)起來，即建立對應(yīng)關(guān)系起來，即建立對應(yīng)關(guān)系X，使其對試驗的每個結(jié)果，使其對試驗的每個結(jié)果e，都有一個實數(shù)都有一個實數(shù)X(e)與之對應(yīng)，與之對應(yīng)， 試驗的結(jié)果試驗的結(jié)果e實數(shù)實數(shù)X( (e) )對應(yīng)關(guān)系對應(yīng)關(guān)系XX的取值隨著試驗的重復(fù)而不同，的取值隨著試驗的重復(fù)而不同， X是一個變量，且是一個變量，且在

19、每次試驗中，究竟取什么值事先無法預(yù)知，也就是在每次試驗中，究竟取什么值事先無法預(yù)知，也就是說說X是一個隨機(jī)取值的變量。由此，我們稱是一個隨機(jī)取值的變量。由此，我們稱X為為隨機(jī)變隨機(jī)變量量。 關(guān)于隨機(jī)變量關(guān)于隨機(jī)變量(及向量及向量)的研究，是概率論的的研究，是概率論的中心內(nèi)容中心內(nèi)容對于一個隨機(jī)試驗，我們所關(guān)心的往往是與對于一個隨機(jī)試驗，我們所關(guān)心的往往是與所研究的特定問題有關(guān)的某個或某些量，而所研究的特定問題有關(guān)的某個或某些量，而這些量就是隨機(jī)變量這些量就是隨機(jī)變量隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機(jī)現(xiàn)象，隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)變量則是一種動態(tài)的觀點而隨機(jī)變量則是一種動態(tài)的觀

20、點2.12.1隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量的概念定義定義2.1 2.1 設(shè)設(shè)E是一個隨機(jī)試驗，是一個隨機(jī)試驗，S=e 是試驗是試驗E的樣的樣本空間，如果對于本空間，如果對于S中的每一個樣本點中的每一個樣本點e，有一實，有一實數(shù)數(shù)X( (e) )與之對應(yīng)，這個定義在與之對應(yīng)，這個定義在S上的實值函數(shù)上的實值函數(shù)X( (e) )就稱為就稱為隨機(jī)變量隨機(jī)變量(random variable)(random variable)。由定義可知，隨機(jī)變量由定義可知，隨機(jī)變量X( (e) )是以樣本空間是以樣本空間S為定為定義域的一個單值實值函數(shù)。義域的一個單值實值函數(shù)。有關(guān)隨機(jī)變量定義的幾點說明：有關(guān)隨機(jī)變量定義

21、的幾點說明：(1)隨機(jī)變量隨機(jī)變量X是樣本點是樣本點e的函數(shù)，常用大寫字母的函數(shù)，常用大寫字母X、Y、Z 或小寫希臘字母或小寫希臘字母 (xi)、 (eta)、 (zeta)等表示等表示。(2)隨機(jī)變量隨機(jī)變量X隨著試驗結(jié)果而取不同的值，因而在試驗隨著試驗結(jié)果而取不同的值，因而在試驗結(jié)束之前，只知道其可能的取值范圍，而事先不能預(yù)結(jié)束之前，只知道其可能的取值范圍，而事先不能預(yù)知它取什么值，對任意實數(shù)區(qū)間知它取什么值，對任意實數(shù)區(qū)間( (a,b) )，“aXb”的的概率是確定的；概率是確定的；(3)(3)隨機(jī)變量隨機(jī)變量X( (e) )的值域即為其一切可能取值的全體構(gòu)的值域即為其一切可能取值的全體

22、構(gòu)成的集合；成的集合；(4)(4)引入隨機(jī)變量后，就可以用隨機(jī)變量描述事件，而引入隨機(jī)變量后，就可以用隨機(jī)變量描述事件，而且事件的討論，可以納入隨機(jī)變量的討論中。且事件的討論，可以納入隨機(jī)變量的討論中。 離 散 型連 續(xù) 型混 合 型隨機(jī)變量的分類隨機(jī)變量的分類：隨機(jī)變量隨機(jī)變量2.2 2.2 離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量 一、一、 離散型隨機(jī)變量及其分布律離散型隨機(jī)變量及其分布律1 1、離散型隨機(jī)變量的概念、離散型隨機(jī)變量的概念 若某個隨機(jī)變量的所有可能取值是有限多個或若某個隨機(jī)變量的所有可能取值是有限多個或可列無限多個，則稱這個隨機(jī)變量為可列無限多個，則稱這個隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變離散型隨

23、機(jī)變量量。 討論隨機(jī)變量的目的是要研究其統(tǒng)計規(guī)律性，討論隨機(jī)變量的目的是要研究其統(tǒng)計規(guī)律性，要知道離散型隨機(jī)變量要知道離散型隨機(jī)變量X的統(tǒng)計規(guī)律必須且只須知的統(tǒng)計規(guī)律必須且只須知道道X的所有可能取值以及的所有可能取值以及X取每一個可能值的概率。取每一個可能值的概率。 2 2、分布律、分布律 設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X，其所有可能取值為，其所有可能取值為x1, x2, , xk, , 且取這些值的概率依次為且取這些值的概率依次為p1, p2, , pk, , 即即則稱則稱P(X=xk)=pk(k=1, 2, ) 為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X 的概率分布的概率分布律（律（列列），簡稱），簡稱分布

24、律分布律。分布分布律律可用表格形式表示為：可用表格形式表示為：11)(kkkkpxXP1 1P(X=xk)=pk, (k=1, 2, )滿足滿足（1 1）P(X=xk)=pk0，(k=1, 2, )（2）Xx1x2x3xkPp1p2p3pk二、幾個常用的離散型隨機(jī)變量的概率分布律二、幾個常用的離散型隨機(jī)變量的概率分布律1、 (0-1)分布分布 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X的分布律為：的分布律為： P(X=k)=pk(1- -p)1- -k， k=0，1，(0p1)則稱則稱X服從以服從以p為參數(shù)的為參數(shù)的0-1分布，記為分布，記為XB(1,p)。0-1分布的分布律也可寫成分布的分布律也可寫成X1 10

25、 0Pp1-1-p即隨機(jī)變量只可能取即隨機(jī)變量只可能取0 0，1 1兩個值，且取兩個值，且取1 1的概率為的概率為p，取取0 0的概率為的概率為1-1-p (0p00是常數(shù)，則稱是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分的泊松分布，記為布，記為XP( )。, 2 , 1 , 0,!)(kekkXPk4、幾何分布幾何分布 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的可能取值是的可能取值是1,2,3,1,2,3, ,且且P(X=k)=(1- -p)k- -1p=qk- -1p，k=1，2，3， ,其中其中0p1是參數(shù)，則稱隨機(jī)變量是參數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)服從參數(shù)p為的幾何分布。為的幾何分布。幾何分布背景：幾何

26、分布背景： 隨機(jī)試驗的可能結(jié)果只有隨機(jī)試驗的可能結(jié)果只有2 2種，種，A與與試驗進(jìn)行到試驗進(jìn)行到A發(fā)生為止的概率發(fā)生為止的概率P( (X=k) )，即，即k次次試驗，前試驗，前k- -1次失敗，第次失敗，第k次成功。次成功。A2.3 隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù) 離散型隨機(jī)變量，我們可用分布律來完整地描離散型隨機(jī)變量，我們可用分布律來完整地描述。而對于非離散型隨機(jī)變量，由于其取值不可能述。而對于非離散型隨機(jī)變量，由于其取值不可能一個一個列舉出來，而且它們?nèi)∧硞€值的概率可能一個一個列舉出來，而且它們?nèi)∧硞€值的概率可能是零。例如：燈泡的壽命是零。例如：燈泡的壽命 由于許多隨機(jī)變量的概率分布

27、情況不能以其取由于許多隨機(jī)變量的概率分布情況不能以其取某個值的概率來表示，因此我們往往關(guān)心隨機(jī)變量某個值的概率來表示，因此我們往往關(guān)心隨機(jī)變量X取值落在某區(qū)間取值落在某區(qū)間 ( (a, ,b 上的概率上的概率( (ab) )。 由于由于 a Xb=Xb-Xa,(,(ab) )，因此對，因此對任意任意xR，只要知道事件，只要知道事件 Xx 發(fā)生的概率，則發(fā)生的概率，則X落在落在( (a, ,b 的概率就立刻可得。因此我們用的概率就立刻可得。因此我們用P( (Xx) )來討論隨機(jī)變量來討論隨機(jī)變量X的概率分布情況。的概率分布情況。P( (Xx) )：“隨隨機(jī)變量機(jī)變量X取值不超過取值不超過x的概率

28、的概率”。 定義定義 設(shè)設(shè)X是一隨機(jī)變量，是一隨機(jī)變量，X是任意實數(shù)，則實值是任意實數(shù)，則實值函數(shù)函數(shù)F(x)P X x， x(-(-，+)+)稱為隨機(jī)變量稱為隨機(jī)變量X的的累積累積分布函數(shù)，分布函數(shù)，簡稱分布函數(shù)。簡稱分布函數(shù)。 有了分布函數(shù)定義，任意有了分布函數(shù)定義，任意x1，x2R， x1x2，隨，隨機(jī)變量機(jī)變量X落在落在( (x1, ,x2 里的概率可用分布函數(shù)來計算：里的概率可用分布函數(shù)來計算：P x1X x2PX x2PX x1 F(x2)F(x1).xX 在這個意義上可以說，在這個意義上可以說，分布函數(shù)完整地描述了隨分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計規(guī)律性機(jī)變量的統(tǒng)計規(guī)律性，或者

29、說，或者說，分布函數(shù)完整地表示分布函數(shù)完整地表示了隨機(jī)變量的概率分布情況了隨機(jī)變量的概率分布情況。 一、累積分布函數(shù)的概念一、累積分布函數(shù)的概念二、累積分布函數(shù)的性質(zhì)二、累積分布函數(shù)的性質(zhì) 1、單調(diào)不減性單調(diào)不減性：若：若x1x2, 則則F(x1) F(x2)； 2、歸一歸一 性性：對任意實數(shù)：對任意實數(shù)x，0 F(x) 1，且，且 ; 1)(lim)(, 0)(lim)(xFFxFFxx)()(lim) 0(000 xFxFxFxx3、右連續(xù)性：對任意實數(shù)右連續(xù)性：對任意實數(shù)x，反之，具有上述三個性質(zhì)的實函數(shù)，必是某個反之，具有上述三個性質(zhì)的實函數(shù)，必是某個隨機(jī)變量的累積分布函數(shù)。故該三個性

30、質(zhì)是累隨機(jī)變量的累積分布函數(shù)。故該三個性質(zhì)是累積分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)積分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)。2.4 連續(xù)型隨機(jī)變量1 1、概念概念 設(shè)設(shè)F(X)是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，若的分布函數(shù)，若存在非負(fù)可積函數(shù)存在非負(fù)可積函數(shù)f(x)，(- - x+ + )，使對一切，使對一切實數(shù)實數(shù)x，均有，均有xdttfxXPxF)()()(則稱則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，且稱為連續(xù)型隨機(jī)變量，且稱f(x)為隨機(jī)變?yōu)殡S機(jī)變量量X的的概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)，簡稱密度。常記為，簡稱密度。常記為X f(x) , (- - x+ )一、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)一、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)X連續(xù)型隨機(jī)

31、變量，則連續(xù)型隨機(jī)變量，則X的分布函數(shù)必是連續(xù)函數(shù)。的分布函數(shù)必是連續(xù)函數(shù)。 (1) 非負(fù)性非負(fù)性 f(x) 0，(- - x0）f(x)的圖像為的圖像為22()21( ),(,)2xf xex (1) 單峰對稱單峰對稱 密度曲線關(guān)于直線密度曲線關(guān)于直線x= 對稱對稱，即f( + +x)=f( - -x)，x(- -,+)21正態(tài)分布密度函數(shù)正態(tài)分布密度函數(shù)f(x)的性質(zhì)的性質(zhì)(2)x= 時，時， f(x)取得最大值取得最大值f( )= ； (3)x= 處有拐點；處有拐點；函數(shù)由此從凹函數(shù)變成函數(shù)由此從凹函數(shù)變成凸函數(shù)。凸函數(shù)。(4) 的大小直接影響概率的分布，的大小直接影響概率的分布， 越大

32、，曲線越越大，曲線越平坦平坦， 越小，曲線越陡峭越小，曲線越陡峭。（如圖）。（如圖）正態(tài)分布也稱為高斯正態(tài)分布也稱為高斯( (Gauss)Gauss)分布分布(5)曲線曲線f(x)以以x軸為漸近線。軸為漸近線。正態(tài)分布隨機(jī)變量正態(tài)分布隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為xtdtexF222)(21)(其圖像為其圖像為O xF(x)1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 當(dāng)參數(shù)當(dāng)參數(shù) 0， 21時，稱隨機(jī)變量時，稱隨機(jī)變量X服從服從標(biāo)準(zhǔn)正標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作態(tài)分布，記作XN(0, 1)。.,21)(22xexx分布函數(shù)表示為分布函數(shù)表示為xdtexXPxxt,21)(22其其密度函數(shù)密度函數(shù)表示為表示為O x2

33、11(x)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)與分布函數(shù)度函數(shù)與分布函數(shù)的圖像分別為的圖像分別為可得可得)()(xx1)()(xx正態(tài)隨機(jī)變量的正態(tài)隨機(jī)變量的3 3 原則：原則：設(shè)設(shè)X N( , 2)在工程應(yīng)用中，通常認(rèn)為在工程應(yīng)用中，通常認(rèn)為 ，忽略，忽略 的值。質(zhì)量控制中，常用標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)值的值。質(zhì)量控制中，常用標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)值3 3 作兩條線，當(dāng)生產(chǎn)過作兩條線，當(dāng)生產(chǎn)過程的指標(biāo)觀察值落在兩線之外時發(fā)出警報，表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常。程的指標(biāo)觀察值落在兩線之外時發(fā)出警報，表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常。6827. 01) 1 (21)(XPXP9545. 01)2(22)2(XPXP(3 )32 (3) 10.9974

34、XP XP 在一次試驗中，正態(tài)分布的隨機(jī)變量在一次試驗中，正態(tài)分布的隨機(jī)變量X落在以落在以 為中心，為中心，3 3 為半為半徑的區(qū)間徑的區(qū)間( ( - -3 , +3 )內(nèi)的概率相當(dāng)大內(nèi)的概率相當(dāng)大(0.9974)，即，即X幾乎必然落幾乎必然落在上述區(qū)間內(nèi)，或者說在一般情形下，在上述區(qū)間內(nèi)，或者說在一般情形下，X在一次試驗中落在在一次試驗中落在( ( - -3 , +3 )以外的概率可以忽略不計。以外的概率可以忽略不計。 31XP3X3、指數(shù)分布、指數(shù)分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度具有概率密度0001)(xxexfx則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為0的指數(shù)分布。的指數(shù)分布。其

35、分布函數(shù)為其分布函數(shù)為 0001)()()(xxedttfxXPxFxx指數(shù)分布的另一種表示形式指數(shù)分布的另一種表示形式 0, 00,)(xxexfXx則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 0的指數(shù)分布。的指數(shù)分布。其分布函數(shù)為其分布函數(shù)為)( xfxO0,0( )1,0 xxF xex2.5 2.5 隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布 Y=g(X)，如，如sin(X)離散型隨機(jī)變量：總結(jié)離散型隨機(jī)變量：總結(jié)Y Y不同取值對應(yīng)的不同取值對應(yīng)的X X的概的概率率 連續(xù)型隨機(jī)變量：連續(xù)型隨機(jī)變量：確定確定Y Y的取值范圍；的取值范圍；列出列出Y Y的分布函數(shù)（化作的分布函數(shù)（化作X X落在一定范圍的積

36、落在一定范圍的積分）；分）；1.1. 求導(dǎo)得求導(dǎo)得Y Y的密度函數(shù)的密度函數(shù)第三章第三章 多維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布 二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量 隨機(jī)變量的獨立性隨機(jī)變量的獨立性3.1 3.1 二維隨機(jī)變量及其分布二維隨機(jī)變量及其分布1 1、二維隨機(jī)變量、二維隨機(jī)變量 設(shè)設(shè)S=e是隨機(jī)試驗是隨機(jī)試驗E的樣本空間，的樣本空間，X=X(e)，Y=Y(e)是定義在是定義在S上的隨機(jī)變量，則由它們構(gòu)成的一上的隨機(jī)變量，則由它們構(gòu)成的一個二維向量個二維向量(X,Y)稱為二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量。稱為二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量。 二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量(X,Y)的性質(zhì)不僅與的性質(zhì)不僅與X及

37、及Y有關(guān)，而有關(guān)，而且還依賴于這兩個隨機(jī)變量的相互關(guān)系。因此，單獨且還依賴于這兩個隨機(jī)變量的相互關(guān)系。因此，單獨討論討論X和和Y的性質(zhì)是不夠的，需要把的性質(zhì)是不夠的，需要把(X,Y)作為一個整作為一個整體來討論。體來討論。一、二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)一、二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù) 定義定義3.13.1 設(shè)設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，二元是二維隨機(jī)變量，二元實值函數(shù)實值函數(shù)F(x,y)=P(X xY y)=P(X x,Y y) x(- -,+),y(- -,+)稱為二維隨機(jī)變量稱為二維隨機(jī)變量(X,Y)的的分布函數(shù)分布函數(shù)，或稱，或稱X與與Y的聯(lián)合分布函數(shù)。的聯(lián)合分布函數(shù)。即即F(x,y)為事件為

38、事件X x與與Y y同時發(fā)生的概率。同時發(fā)生的概率。2 2、二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)、二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)幾何意義：幾何意義：若把二維隨機(jī)變量若把二維隨機(jī)變量(X,Y)看成平面上隨機(jī)點的坐標(biāo)，看成平面上隨機(jī)點的坐標(biāo)，則分布函數(shù)則分布函數(shù)F(x,y)在在(x,y)處的函數(shù)值處的函數(shù)值F(x0,y0)就表示就表示隨機(jī)點隨機(jī)點(X,Y)落在區(qū)域落在區(qū)域 - -X x0， - -Y y0中的概率。如圖陰影部分：中的概率。如圖陰影部分：(x0,y0)xyO 對于對于(x1, y1), (x2, y2) R2, (x1 x2， y1y2 )，則隨機(jī)點，則隨機(jī)點(X,Y)落在矩形區(qū)域落在矩形區(qū)域x1

39、X x2，y1Y y2內(nèi)的概率可用分內(nèi)的概率可用分布函數(shù)表示為布函數(shù)表示為P(x1X x2，y1Y y2)F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1)(x1, y1)(x2, y2)O x1 x2 xy1y2y分布函數(shù)分布函數(shù)F(x, y)具有如下性質(zhì)：具有如下性質(zhì)：(,)lim( , )0 xyFF x y 1),(lim),(yxFFyx0),(lim),(yxFyFx0),(lim),(yxFxFy(1)對任意對任意(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1。(2)F(x, y)是變量是變量x或或y的非降函數(shù)，即的非降函數(shù)，即 對任意對任意y R,

40、當(dāng)當(dāng)x1x2時，時，F(xiàn)(x1,y) F(x2,y)； 對任意對任意x R, 當(dāng)當(dāng)y1y2時，時，F(xiàn)(x,y1) F(x,y2)。(3),(),(lim), 0(000yxFyxFyxFxx),(),(lim)0,(000yxFyxFyxFyy(4)函數(shù)函數(shù)F(x,y)關(guān)于關(guān)于x是右連續(xù)的，關(guān)于是右連續(xù)的，關(guān)于y也也是右連續(xù)的，是右連續(xù)的，即對任意即對任意x R，y R，有，有(5)對于任意對于任意(x1, y1)，(x2, y2) R2，(x1x2，y10,1|1|lim1 niinXnP2 大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了隨大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了隨機(jī)現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：機(jī)現(xiàn)象最根本的

41、性質(zhì)之一：平均結(jié)果的穩(wěn)定性平均結(jié)果的穩(wěn)定性中心極限定理中心極限定理 自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)分布之后，自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見. 觀察表明，如果一個量是由大量相互獨立觀察表明，如果一個量是由大量相互獨立的隨機(jī)因素的影響所造成，而每一個因素在總的隨機(jī)因素的影響所造成，而每一個因素在總影響中所起的作用不大影響中所起的作用不大. 則這種量一般都服從則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布或近似服從正態(tài)分布.定理：（定理：（獨立同分布下的中心極限定理）獨立同分布下的中心極限定理）它表明，當(dāng)它表明，當(dāng)n充分大時，充分大

42、時，n個具有期望和方差個具有期望和方差的獨立同分布的的獨立同分布的r.v之和近似服從正態(tài)分布之和近似服從正態(tài)分布.設(shè)設(shè)X1,X2, 是獨立同分布的隨機(jī)是獨立同分布的隨機(jī)變量序列，且變量序列，且E(Xi)= ，Var(Xi)= ，i=1,2,，則，則2 lim1xnnXPniinx-2t -dte212 第六章第六章 數(shù)理統(tǒng)計的基本概念數(shù)理統(tǒng)計的基本概念 總體和樣本總體和樣本 幾個常用的分布和抽樣分布幾個常用的分布和抽樣分布總體和樣本總體和樣本一、總體一、總體 在數(shù)理統(tǒng)計中，把所研究的對象的全體稱為在數(shù)理統(tǒng)計中，把所研究的對象的全體稱為總體總體。通常指研究對象的某項數(shù)量指標(biāo)，一般記為通常指研究對

43、象的某項數(shù)量指標(biāo)，一般記為X。 把總體的每一個基本單位稱為把總體的每一個基本單位稱為個體個體。如全體在校生的身高如全體在校生的身高X，某批燈泡的壽命，某批燈泡的壽命Y。對不同的個體，對不同的個體，X的取值是不同的。的取值是不同的。X是一個隨機(jī)變量。是一個隨機(jī)變量。X的分布也就完全描述了我們所關(guān)心的指標(biāo)，即總體的分布也就完全描述了我們所關(guān)心的指標(biāo)，即總體就是指分布。就是指分布。二、隨機(jī)樣本二、隨機(jī)樣本從總體從總體X中抽出若干個個體稱為中抽出若干個個體稱為樣本樣本，一般記為，一般記為(X1,X2,Xn)。n稱為稱為樣本容量樣本容量。而對這。而對這n個個體的一次個個體的一次具體的觀察結(jié)果具體的觀察結(jié)

44、果(x1,x2,xn)是完全確定的一組數(shù)值是完全確定的一組數(shù)值，但它又隨著每次抽樣觀察而改變。，但它又隨著每次抽樣觀察而改變。(x1,x2,xn)稱為樣稱為樣本觀察值。本觀察值。如果樣本如果樣本(X1,X2,Xn)滿足滿足(1)代表性：樣本的每個分量代表性：樣本的每個分量Xi與與X有相同的分布；有相同的分布；(2)獨立性：獨立性： X1,X2,Xn是相互獨立的隨機(jī)變量，是相互獨立的隨機(jī)變量，則稱樣本則稱樣本(X1,X2,Xn)為為簡單隨機(jī)樣本簡單隨機(jī)樣本。設(shè)總體設(shè)總體X的分布為的分布為F(x)，則樣本，則樣本(X1,X2,Xn)的聯(lián)合分的聯(lián)合分布為布為),(),(221121nnnxXxXxX

45、PxxxF)()()(2211nnxXPxXPxXPniinxFxFxFxF121)()()()(當(dāng)總體當(dāng)總體X是離散型時，其分布律為是離散型時，其分布律為iipxXP)(, 2 , 1i樣本的聯(lián)合分布律為樣本的聯(lián)合分布律為)()()(),(22112211nnnnxXPxXPxXPxXxXxXPniixXP1)(當(dāng)總體當(dāng)總體X是連續(xù)型時，是連續(xù)型時， Xf(x)，則樣本的聯(lián)合密度為，則樣本的聯(lián)合密度為niinxfxxxf121)(),(總體、樣本、樣本觀察值的關(guān)系總體、樣本、樣本觀察值的關(guān)系總體總體 樣本樣本 樣本觀察值樣本觀察值 理論分布理論分布 統(tǒng)計是從手中已有的資料統(tǒng)計是從手中已有的資

46、料樣本觀察值，去推斷總樣本觀察值，去推斷總體的情況體的情況總體分布?？傮w分布決定了樣本取值的總體分布?？傮w分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣本取到樣本觀察值的規(guī)律，因而概率規(guī)律，也就是樣本取到樣本觀察值的規(guī)律，因而可以用樣本去推斷總體?？梢杂脴颖救ネ茢嗫傮w。三、統(tǒng)計量三、統(tǒng)計量 樣本是我們進(jìn)行分析和推斷的起點，但實際上我樣本是我們進(jìn)行分析和推斷的起點，但實際上我們并不直接用樣本進(jìn)行推斷，而需對樣本進(jìn)行們并不直接用樣本進(jìn)行推斷，而需對樣本進(jìn)行“加工加工”和和“提煉提煉”，將分散于樣本中的信息集中起來，為此，將分散于樣本中的信息集中起來，為此引入統(tǒng)計量的概念。引入統(tǒng)計量的概念。 (X1,X2,

47、Xn)g(X1,X2,Xn)其中其中g(shù)(x1,x2,xn)是是(x1,x2,xn)的連續(xù)函數(shù)。的連續(xù)函數(shù)。如果如果g(X1,X2,Xn)中不含有未知參數(shù)，稱中不含有未知參數(shù)，稱g(X1,X2,Xn)為為統(tǒng)計量統(tǒng)計量。（不含未知參數(shù)的樣本的函數(shù)）（不含未知參數(shù)的樣本的函數(shù)）),(2NX如如2,未知：未知：niiXnX11niiX12是統(tǒng)計量是統(tǒng)計量X221iX不是統(tǒng)計量不是統(tǒng)計量若若已知，已知，2未知：未知：521,maxXXXX是統(tǒng)計量是統(tǒng)計量幾個常用的統(tǒng)計量幾個常用的統(tǒng)計量樣本均值樣本均值niiXnX11樣本方差樣本方差niiXXnS122)(11樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本標(biāo)準(zhǔn)差niiXXnS12)(1

48、1樣本樣本k階原點矩階原點矩nikikXnA11, 2 , 1knikikXXnM1)(1, 2 , 1k樣本樣本k階中心矩階中心矩幾個常用的分布和抽樣分布幾個常用的分布和抽樣分布(一一) 2分布分布1、定義：設(shè)、定義：設(shè)n個個r.v. X1,X2,Xn，XiN(0,1)，i=1,2,n則稱則稱一、常用分布一、常用分布 2分布、分布、 t 分布和分布和F分布。分布。 )(2122nXnii服從自由度為服從自由度為n的的 2分布。分布。 2分布的密度函數(shù)分布的密度函數(shù)f(y)曲線曲線/ 211222( /2)10,0( )0,0( ),0.nnynxtyeyf yyxte dt x其中2、性質(zhì)、

49、性質(zhì)(1)nE)(2nD2)(2(2) 2分布的可加性分布的可加性)(121nX)(222nXX1, X2 相互獨立，則相互獨立，則X1+X2 2(n1+n2)練習(xí)練習(xí)3、 2分布表及有關(guān)計算分布表及有關(guān)計算(1)構(gòu)成構(gòu)成 P 2(n)=p，已知，已知n,p可查表求得可查表求得;(2)有關(guān)計算有關(guān)計算pnP)(2)(2npp分位點分位點1、定義、定義 若若XN(0, 1)，Y 2(n)，X與與Y獨立，則獨立，則).(ntnYXT t(n)稱為自由度為稱為自由度為n的的t分布。分布。(二二) t分布分布t(n) 的概率密度為的概率密度為tntnnntfn,)1 ()2()21()(2122、基本

50、性質(zhì)、基本性質(zhì): (1) f(t)關(guān)于關(guān)于t=0(縱軸縱軸)對稱；對稱；(2) f(t)的極限為的極限為N(0,1)的密度函數(shù)，即的密度函數(shù)，即 3、t分布表及有關(guān)計算分布表及有關(guān)計算(1)構(gòu)成：構(gòu)成： Pt(n)=p(2)有關(guān)計算有關(guān)計算Pt(n)=p，=tp(n)xettftn,21)()(lim22p注注:)()(1ntntpp)(1ntp)(ntp(三三) F分布分布1、定義、定義 若若X 2(n1)，Y 2(n2) ，X,Y獨立，則獨立，則),(2121nnFnYnXF 稱為第一自由度為稱為第一自由度為n1 ，第二自由度為，第二自由度為n2的的F分布，其分布，其概率密度為概率密度為0

51、, 00,)1)(2()()/)(2()(2/ )(2122122/212121111yyynnnynnnnyhnnnnn2、 F分布表及有關(guān)計算分布表及有關(guān)計算(1)構(gòu)成：構(gòu)成：PF(n1,n2)=p(2)有關(guān)計算有關(guān)計算PF(n1,n2)=p=Fp(n1,n2)一、抽樣分布一、抽樣分布 1、設(shè)、設(shè)(X1,X2,Xn)是正態(tài)總體是正態(tài)總體N(,2)的樣本，的樣本，則則 (1)nNX2,(2) 1() 1(222nSn(3)X與與S2獨立獨立2、設(shè)、設(shè)(X1i,X2i,Xnii)是來自具有相同方差是來自具有相同方差2 ，均值為，均值為i的正態(tài)總體的正態(tài)總體N(i,2)的樣本，的樣本，i=1,2

52、,t，且設(shè)這，且設(shè)這t個樣本個樣本之間相互獨立，設(shè)之間相互獨立，設(shè)分別是第分別是第i個總體的樣本均值和樣本方差，個總體的樣本均值和樣本方差，i=1,2,t，則有則有(1)2t個隨機(jī)變量個隨機(jī)變量injjiiiXnX11injijiiiXXnS122)(11;,21tXXX22221,tSSS是相互獨立的。是相互獨立的。(2)()() 1(22112212tnXXSntinjijiniiii其中其中tnnnn21(3)當(dāng)當(dāng)t=2時，有時，有)2(112) 1() 1()()(2121212222112121nntnnnnSnSnXX3、設(shè)、設(shè)(X1,X2,Xn)是正態(tài)總體是正態(tài)總體N(,2)的樣

53、本，的樣本，則則) 1(ntnSX。 稱稱為為混混合合樣樣本本方方差差其其中中就就有有, , ,假假定定進(jìn)進(jìn)一一步步, ,2) 1() 1() 1, 1(/1/1)(2122221122121212221*nnSnSnSnntnnSYXTww(2)4、設(shè)、設(shè)(X1,X2,Xn1)是是N(1,12)的樣本，的樣本，(Y1,Y2,Yn2)是是N(2,22)的樣本，且相互獨立，的樣本，且相互獨立，S12，S22是樣本方差，是樣本方差，則則(1) 1, 1(2122222121nnFSSF第六章第六章 參數(shù)估計參數(shù)估計 參數(shù)的點估計參數(shù)的點估計 估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)估計量的評選標(biāo)準(zhǔn) 正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計

54、正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計參數(shù)的點估計參數(shù)的點估計一、參數(shù)估計的概念一、參數(shù)估計的概念問題的提出：已知總體問題的提出：已知總體X的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x;1,2,k)，其中其中1, 2, k是未知參數(shù)。是未知參數(shù)。點估計：由總體的樣本點估計：由總體的樣本(X1,X2,Xn)對每一個未知參數(shù)對每一個未知參數(shù)i(i=1,2,k)構(gòu)造統(tǒng)計量構(gòu)造統(tǒng)計量),(21niiXXX作為參數(shù)作為參數(shù)i的的估計估計，稱，稱),(21niiXXX為參數(shù)為參數(shù)i的的估計量估計量。樣本樣本(X1,X2,Xn)的一組取值的一組取值(x1,x2,xn)稱為樣本觀察稱為樣本觀察值，將其代入估計量值，將其代入估計量i，得到數(shù)值，

55、得到數(shù)值),(21niixxx稱為參數(shù)稱為參數(shù)i的的估計值估計值。由于由于),(21nixxx現(xiàn)用它來估計未知參數(shù)現(xiàn)用它來估計未知參數(shù) ，故稱這種估計為故稱這種估計為點估計點估計。是實數(shù)域上的一個點，是實數(shù)域上的一個點，點估計的經(jīng)典方法是：點估計的經(jīng)典方法是： (1)矩估計法矩估計法 (2)極大似然估計法極大似然估計法二、矩估計法二、矩估計法(簡稱簡稱“矩法矩法”) 英國統(tǒng)計學(xué)家皮爾遜英國統(tǒng)計學(xué)家皮爾遜(Karl Pearson)提出提出1、矩法的基本思想：、矩法的基本思想：以樣本矩作為相應(yīng)的總體同階矩的估計；以樣本矩作為相應(yīng)的總體同階矩的估計；以樣本矩的函數(shù)作為相應(yīng)的總體矩的同一函數(shù)的以樣本

56、矩的函數(shù)作為相應(yīng)的總體矩的同一函數(shù)的估計。估計。2、矩法的步驟：、矩法的步驟：設(shè)總體設(shè)總體X的分布為的分布為F(x;1,2,k)，k個參數(shù)個參數(shù)1,2,k待估計，待估計，(X1,X2,Xn)是一個樣本是一個樣本 。(1)計算總體分布的計算總體分布的i階原點矩階原點矩E(Xi)=i(1,2,k)，i=1,2,k，(計算到計算到k階矩為止，階矩為止，k個參數(shù)個參數(shù))；(2)列方程列方程njkjkkkknjjknjjkXnXXEXnXXEXnXXE121122221212111)(),(1)(),(1)(),(從中解出方程組的解，記為從中解出方程組的解，記為k21，則則k21，為參數(shù)為參數(shù)1,2,k

57、的矩估計。的矩估計。二、極大似然估計法二、極大似然估計法( (R.A.Fisher) )例例 設(shè)總體設(shè)總體X服從服從01分布，即分布律為分布，即分布律為)()1 ()(1ixxxfxXPi=0,1，其中，其中01未知未知(X1,X2,Xn)為為X的一個樣本，設(shè)其觀察值為的一個樣本，設(shè)其觀察值為(x1,x2,xn)，則事件則事件(X1=x1,X2=x2,Xn=xn)發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為niiinnxXPxXxXxXP12211)(),(niixf1);(nixxii11)1 (niiniixnx11)1 (對于給定的樣本觀察值，上述概率為對于給定的樣本觀察值，上述概率為的函數(shù)，稱其為似的函數(shù)

58、，稱其為似然函數(shù)，并記為然函數(shù)，并記為L()為使上述隨機(jī)事件的概率達(dá)到最大，為使上述隨機(jī)事件的概率達(dá)到最大，應(yīng)選取使應(yīng)選取使L()達(dá)到最大的參數(shù)值達(dá)到最大的參數(shù)值(如果存在如果存在)，即，即)(max)(10LL1、極大似然估計法的基本思想、極大似然估計法的基本思想 一般說，事件一般說，事件A發(fā)生的概率與參數(shù)發(fā)生的概率與參數(shù) 有關(guān)，有關(guān)， 取值不同，則取值不同，則P(A)也不同。因而應(yīng)記也不同。因而應(yīng)記事件事件A發(fā)生的發(fā)生的概率為概率為P(A| )。若。若A發(fā)生了，則認(rèn)為此時的發(fā)生了，則認(rèn)為此時的 值應(yīng)是值應(yīng)是在在 中使中使P(A| )達(dá)到最大的那一個達(dá)到最大的那一個。使得取該樣本值發(fā)生的可能

59、性最大。使得取該樣本值發(fā)生的可能性最大。 由樣本的具體取值，選擇參數(shù)由樣本的具體取值，選擇參數(shù)的估計量的估計量 對每一樣本值對每一樣本值(x1,x2,xn)，在參數(shù)空間，在參數(shù)空間 內(nèi)使似內(nèi)使似然函數(shù)然函數(shù)L(x1,x2,xn;)達(dá)到最大的參數(shù)估計值達(dá)到最大的參數(shù)估計值,稱為參數(shù)稱為參數(shù)的的極大似然估計值極大似然估計值，它滿足，它滿足),.,(21nxxx);,.,(max),.,(;,.,(212121nnnxxxLxxxxxxL稱統(tǒng)計量稱統(tǒng)計量),.,(21nXXX為參數(shù)為參數(shù)的的極大似然估計量極大似然估計量。記為記為L2、似然函數(shù)與極大似然估計似然函數(shù)與極大似然估計niinxfxxLL11);();,()(設(shè)設(shè),),;(,1xfXXiidn則稱則稱為該總體為該總體X的的似然函數(shù)似然函數(shù)。3、求極大似然估計的步驟、求極大似然估計的步驟設(shè)總體設(shè)總體X的分布中，有的分布中，有m個未知參數(shù)個未知參數(shù)1,2,m，它們，它們的取值范圍的取值范圍 。(1)寫出似然函數(shù)寫出似然函數(shù)L的表達(dá)式的表達(dá)式如果如果X是離散型隨機(jī)變量，