線性代數(shù) n階行列式 答案

1、第一章第一章n 階行列式階行列式(Determinants)一、行列式的一、行列式的定義定義第一節(jié)全排列及逆序數(shù)第一節(jié)全排列及逆序數(shù)第二節(jié)第二節(jié)n階行列式的定義階行列式的定義第三節(jié)對換第三節(jié)對換二、行列式的二、行列式的性質(zhì)性質(zhì)第四節(jié)行列式的性質(zhì)第四節(jié)行列式的性質(zhì)第五節(jié)行列式按行第五節(jié)行列式按行(列列)展開展開三、行列式的三、行列式的應(yīng)用應(yīng)用第六節(jié)克拉默法則第六節(jié)克拉默法則一、行列式的一、行列式的定義定義1 全排列及逆序數(shù)全排列及逆序數(shù) 定義定義 1 .由由1,2,n組成的一個組成的一個有序有序數(shù)組數(shù)組稱為稱為一個一個n 級全排列級全排列(簡稱簡稱排列排列) 排列排列12n(小小大大)自然排列自

2、然排列：定義定義2 例：例：排列排列，1221 215479683135(2n-1)(2n)(2n-2) (2n-4)42一個排列一個排列j1 j2jn中逆序的中逆序的總數(shù)總數(shù)稱為該稱為該排列的逆序數(shù)排列的逆序數(shù)。 記為記為 (j1 j2jn) ( )= 0。 ( )=1 = 11。 ( )= 1+0 +1 +0 +0 +2 +1 +6 ( )= 2 +22 + +2(n-2) +2(n-1) =n(n-1) .奇奇(偶偶)數(shù)數(shù)奇奇(偶偶)排列排列則稱則稱jr , js構(gòu)成構(gòu)成一個一個逆序逆序(反序反序)。給給定定排排列列若若12,nrrssjjjjjjj 前前面面后后面面大大 小小()()

3、定義定義3:逆序數(shù)逆序數(shù)為為奇奇( (偶偶) )數(shù)數(shù)奇奇( (偶偶) )排列排列. . 一個排列中一個排列中, ,將某將某兩數(shù)對調(diào)兩數(shù)對調(diào), ,其余的數(shù)不動其余的數(shù)不動, ,這種這種對排列的變換對排列的變換叫叫對換對換3定義定義4例：例：排列排列23141324逆序數(shù)逆序數(shù)(2314)= 2 (1324)= 1 偶排列偶排列奇奇排列排列1234(1234)= 0 偶排列偶排列將相鄰兩數(shù)對換將相鄰兩數(shù)對換, ,叫做叫做相鄰對換相鄰對換(鄰換鄰換)定理定理1 一個排列中的一個排列中的任意任意兩數(shù)兩數(shù)對換對換,排列排列改變奇偶性改變奇偶性。 證證 先證鄰換先證鄰換改變改變排列的排列的奇偶性奇偶性12

4、1211221()iiiiniiiinp ppppp p設(shè)212iin11212()iiiinppppppp11ii1iipp 21211() 1,iiniip pp pppp逆序數(shù)的逆序數(shù)的奇偶性改變奇偶性改變1iipp 下證一般對換下證一般對換改變改變排列的排列的奇偶性奇偶性111211,iiii mmniii mppppppppp設(shè)排列為設(shè)排列為111211,iiii mi mii mnppppppppppi依次作依次作m次鄰換次鄰換111211,iiii mi mini mpppppppppPi+m依次作依次作m-1次鄰次鄰換換11111ii miii mi mnpppppppp111

5、11iii mimniimpppppppp 作作2m-1次鄰換次鄰換一次對換后的前后一次對換后的前后兩個排列的奇偶性相反兩個排列的奇偶性相反.即排列也就改變了即排列也就改變了 2m-1 次奇偶性，次奇偶性，一次對換一次對換25, ,24 15.8P7 92j kjk例例求求使使為為偶偶排排列列解解 若若63,:,jk (24 1567)398 = =9,時時3,6,jk 為為偶偶排排列列24 157 98jk兩兩排列奇偶性相反，排列奇偶性相反，0+ +3+ +1 1 + +0 0 + +4 4+ +0 0 + +1 1 2 n階行列式的定義階行列式的定義 111222122aaDaa 2階行列

6、式階行列式3 3階行列式階行列式 123123123123123123a a aa a aaa a aaaaaaaa a1232313123212131321112133212223313233aaaDaaaaaa 特點：特點： 1) 乘積項乘積項的代數(shù)的代數(shù)和和。 2)乘積項中乘積項中,行指標自然數(shù)序排列，行指標自然數(shù)序排列， 3)乘積項中乘積項中,列指標是排列列指標是排列，乘積項各因子處于不同行乘積項各因子處于不同行乘積項各因子處于不同列，乘積項各因子處于不同列，乘積項數(shù)乘積項數(shù)=列指標排列數(shù)列指標排列數(shù)符號符號列指標排列逆序數(shù)列指標排列逆序數(shù)(12)11 22( 1)a a (21)12

7、 21( 1)a a 1 2121 2(j j )12( 1).jjj jaa 1 2 31321 2 3()123( 1)j j jjjjj j jaaa (123)(231)(312)123121232313123123( 1)( 1)( 1)a a aa a aa a a (321)(213)123123212131(312332213 )( 1)( 1)( 1)a a aa a aa a a 12211221aaaa 112111121()2122212121nnnnjjnnjjnjjjnnnnaaaaaaDaaaaaa 定義定義4 n階行列式階行列式注：注： 1) 等式右邊是等式右邊

8、是由由位于不同行不同列位于不同行不同列n個元素的乘積項個元素的乘積項的代數(shù)的代數(shù)和和。2)乘積乘積項項符符號與列標排列有關(guān)號與列標排列有關(guān),偶排列為正偶排列為正,奇排列為負奇排列為負。3)等式右邊共有等式右邊共有n!項項(=列指標排列數(shù)列指標排列數(shù))。例：例：n階階下三角形行列式下三角形行列式1121()121nnnjjjjnjjja aa解：解：(12)1n 1122nna aa主對角線主對角線元乘積元乘積 112111121()2122212121nnnnjjnnjjnjjjnnnnaaaaaaDaaaaaa 11a22anna213132112233123000000nnnnnnaaaa

9、aaDaaaa 定義定義4 n階行列式階行列式例：例：n階階上三角形行列式上三角形行列式11211()121,1nnnnjjjnjjjjjnaa aa解：解：nna1122nna aa特別的特別的,n階階對角形行列式對角形行列式11221100000000000000nnnnnaaDaa1122nna aa(121 )1nn 11121112221211100000000nnnnnnnnnnnaaaaaaaDaaa 11nna22a 11a11121(1)212,11,211,11,211000nn nnnnnnnnaaaa aaaaaa 例例4 證明證明 證明證明: 111211,11,21

10、000nnnnaaaaaa(1)212,11,211n nnnnna aaa 11211()121,1nnnnjjjnjjjjjnaa aa111221nnnnaaaa1 2112,11,211nnnnna aaa 特別的特別的,0001002003004000D 4(4 1)211 2 3 424 (121)1n n 1111111111110000kkkknknnnknnbDcabcccbabaa11111kkkkaaDaa其中11121nnnnbbDbb例例 證證: :=D1D2. .證明證明: 111,1,k nk nk n k nddDdd11 21121,2(),1=( 1)k k

11、kk nnkkrrr rkrrrkrrrk nddddd11k kk nrr rr1,10,i ki kjj nd 1,21,kkk nkrrrk n 指指: :非非 項項前前標標行行列列121,0kr rrki 1 212(12=( 1)kkrrrrrkraaak iirkq 1 21)()(knrqkrrkq11,nqn qbb1()(k)nqkq：行行列列指指標標i1 21121()(k)121,=( 1)knknrrrqkqrrkrqn qDaaa bb1 21)()(knrqkrrkq1 21()(k)knrrr qkq1 2()krrr1()(k)nqkq1 21()()knrrr

12、qq1 2121112()(1,),=( 1)knknrrrrrqqkrqn qaaa bb1 21,knrrqqr 1121 21121()12()1,2,( 1)()( 1)kknknnqqqqn qqqrrrrrkrrrbbbaaa12D D1 2121()122( 1)kkkrrrrrkrrraaa D22()nnnn解：解：不等于的元素個數(shù)不等于的元素個數(shù)2()nnn 在在一一個個 階階行行列列式式中中等等于于零零的的元元素素如如果果比比還還多多，求求此此例例：行行列列式式的的值值。11211()121,1nnnnjjjjnjnjjjDa aaa0含元 0，111 22 2(.)(.

13、)2( 1)nnn nppqqp qp qp qaaa 定定理理 112111121()2122212121nnnnjjnnjjnjjjnnnnaaaaaaDa aaaaa 定定義義證明：證明：nnqpqpqpaaa2221每調(diào)整兩個數(shù)順序每調(diào)整兩個數(shù)順序,其其 行標、列標同時作了一次對換，行標、列標同時作了一次對換，2121nnqqqaaa一次對換一次對換,總逆序數(shù)之和奇偶性總逆序數(shù)之和奇偶性不改變不改變。調(diào)整順序調(diào)整順序行標成為自然順序行標成為自然順序11(.)(.)( 1)nnppqq).().2, 1(1) 1(nqqn).(1) 1(nqq111 1(.)(.)( 1).nnn np

14、pqqp qp qaa11(.)1( 1).nnqqqnqaanD11.,.排列nnpp qq同時同時改變奇偶性。改變奇偶性。11(.) 1(.) 1( 1)nnppqq 11(.)(.)=( 1)nnppqq，1121(.)12.( 1)nnnppppp nppa aa 推推論論多次對換后多次對換后,亦然亦然435123123( )123122xxxxBf xxxxxx 2828P EP E求求中中與與的的系系數(shù)數(shù)以以及及常常數(shù)數(shù)項項。習(xí)題習(xí)題4:x:(0)=f常常數(shù)數(shù)項項解解：33x 32x 35x 01230012031201201()324(1)ijmnmnijjimna aaa 13

15、 3 (3412)( 1) 4 1()324(1)ijmmnnijmnijaaaa (21)12143424( 1)a aa (4231)14423132( 1)aaaa 410 x 3:x1 (3142)( 1) 22 (1234)11223344( 1)a a a a 33a1 1 22 1 1 1 3 (3421)( 1) 4 102022023100113【小結(jié)小結(jié)】：1、全排列全排列,逆序逆序,逆序數(shù)逆序數(shù),奇偶排列奇偶排列，對換對換,一次對換改變排列的奇偶性一次對換改變排列的奇偶性2、行列式，行列式，1121111212122212()121nnnnnnnnnnjjjjnjjjaa

16、aaaaDaaaa aa111 22 2(.)(.)( 1)nnn nppqqp qp qp qaaa1121(.)12.( 1)nnnppppp nppaaa11112222000000000nnnnaaaaaa 1122nna aa 0000*【作業(yè)作業(yè)】：251(2)(3);2; ; (2);5(42 3(3,) )PEx二、行列式性質(zhì)（二、行列式性質(zhì)（4 ）性質(zhì)性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等 。212221112211nnnnnnaaaaaaaaaD 212211221211nnnnnnaaaaaaaDaa (行列式行列式D的的轉(zhuǎn)置行列式轉(zhuǎn)置行列式)證：證

17、：111212122212,nnnnnnbbbbbbDbbb即即bi a i按行列式定義按行列式定義 1 2121 2()121nnnj jjjjnjj jjb bbj j(i，j1，2，n) 1 2121 2()12nnnj jjjjj nj jja aaD行具有的性質(zhì)，列也具有行具有的性質(zhì)，列也具有性質(zhì)性質(zhì)2 互換行列式的兩行互換行列式的兩行(列列),行列式反號。行列式反號。 證證 1()pqniiii ( 1)1()qpniiii 必有對應(yīng)必有對應(yīng)1212qnpiiii nqpiaaa aa1DD 推論推論 若行列式若行列式D有兩行有兩行(列列)元素對應(yīng)相等元素對應(yīng)相等D=0證：證：由條

18、件有由條件有 DDD0注注:交換行列式交換行列式i,j兩行兩行(列列)記作記作r(i,j)（c(i,j)）()ijijrrcc11()()( 1)( 1)qpnnpqiiiiiiii 12121qnpi pi qiii naaaa a1111111piqiqpniinnnpnnqnaaaaaaaaDaaaa 11111111pipnpniqiqnqinnnnaaaaaaaaaaDaa 行列式的某一行行列式的某一行(列列) 中所有元素都乘以同一個數(shù)中所有元素都乘以同一個數(shù)k，等于用數(shù)，等于用數(shù)k乘以此行列式。乘以此行列式。 行列式行列式D中若有兩行元素對應(yīng)成比例中若有兩行元素對應(yīng)成比例D=0 性

19、質(zhì)性質(zhì)3 性質(zhì)性質(zhì)4 若行列式的某行若行列式的某行(列列) 的元素都是兩個數(shù)之和的元素都是兩個數(shù)之和.性質(zhì)性質(zhì)5 nnnnininiiiinnaaaaaaaaaaaaaaaD2122112222111211 行列式行列式D等于下列兩個行列式之和：等于下列兩個行列式之和： 1112111121212222122212121212nnnniiiniiinnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa (), ( ) ()ikr i kc i k 注注: :第第 行行 列列記記作作/()iikrkc 1121()12(1)innnjjjjnjjjijDaakaa 1121()121

20、()inninjjjjnjjijjjiDaaaaa 性質(zhì)性質(zhì)6 把行列式某一行把行列式某一行(列列) 的元素乘以數(shù)的元素乘以數(shù)k,加到另一行加到另一行(列列) 對應(yīng)的元素上去對應(yīng)的元素上去,行列式的值不變。行列式的值不變。 注注:k乘以第乘以第i行上的元素加到第行上的元素加到第j行對應(yīng)元素上記作行對應(yīng)元素上記作rji(k).111211112112121211221212()()()nniiiniiinjiijjjjnjijijninnnnnnnnnaaaaaaaaaaaarkraaaakaakaakaaaaaaa 【小結(jié)小結(jié)】行列式三種變換行列式三種變換:/1()1.換兩ijijrrccDD

21、D 互互行行 列列/1 ()2.iiikkr kcDkDD 第第 行行 列列/1 ()()3.ijijrkrckijckDDD 第第 行行 列列第第 行行 列列P28B1：已知已知n階行列式階行列式D的每的每一列元素之和均為零，則一列元素之和均為零，則D=( ) 【小結(jié)小結(jié)】行列式性質(zhì)行列式性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1 121212222111211112121222()nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa轉(zhuǎn)置行列式i12112122jjjjnjjjiiinnrniiriaaaaaaaaaaaa性質(zhì)性質(zhì)2 1212iiiniiinkkakakaaaa21210,iiiiniinkk

22、aaaaaka11221212iiiiininiiiniiinaaaaaaaaaaaa1212121212jjjnjjijnjjiijinnijinirkaaaaaaaakakarakaaaa行具有的性質(zhì)，列也具有行具有的性質(zhì)，列也具有性質(zhì)性質(zhì)3 性質(zhì)性質(zhì)4性質(zhì)性質(zhì)5 性質(zhì)性質(zhì)6 2222222222222222262141(1)(2)(3)3121(1)(2)(3)7(2)01232(1)(2)(3)5062(1)(2)(3)P E 6(1)aaaabbbbcccdddxcd 10P7.acbdcabdcadbacdb例例11121312122232123.nnnnnnnnababababa

23、babababDabababab 例例 用用行列式分解行列式分解的方法求行列式的方法求行列式解解：時當(dāng)1n111Dab111222122ababDabab 1221()()aabb 時當(dāng)2n12aa 22bb11bb+ +12aa2n 當(dāng)當(dāng)時時，Dn可表為可表為2 2n n個個n n階行列式之和階行列式之和2n這這個個行行列列式式的的必必有有兩兩列列相相同同或或成成比比例例，2Dnn n0 0當(dāng)當(dāng)時時，練習(xí)練習(xí)111212122212.nnnnnnnax axaxax axaxDax axax 12aa 22bb 11221100000000nnnnaaaa 1122nna aa (主對角線主

24、對角線元乘積元乘積)112233000000nnaaaa 111211121222121112111121nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaDaaaaaaaa 1【化化三角形三角形法法】質(zhì) 行行列列式式性性質(zhì)nD 行行列列式式性性求求值值: :三三角角行行列列式式()0依依次次將將對對角角線線下下 上上 方方元元素素化化為為()左左 右右例例 計算四階行列式計算四階行列式1533201131125134D解解4315211311023351D 13cc 1345112301125331 415rr 1345 0468 0112 0 182324 23rr/p>

25、80182324 21rr 1345011221600 1345011204680182324 0 0560 134501122001800560 2 13450112001800020 40 【小小結(jié)結(jié)】化三角形法化三角形法:利用利用行列式性質(zhì)行列式性質(zhì),將行列式化成將行列式化成三角三角 行列式行列式求值求值,注意注意交換兩行交換兩行(列列),行列式加負號行列式加負號.4218rr 324rr 435rr 226327(1) 22()11PE1,aabbaabbxab 例例9.bbbabbbabbba 1.1.(1) 1.1.b bba bbanbb abb ba 1.(1)bbban 00

26、0a b 000a b 000a b (1)(1)().nanab 12121272111111.;P 8(1)9.111nnnnnaaaxaaaxDDaaax 26123423416(4)34123,412PEx.babbDbbabbbbaabbb (1)(1)(1)(1)anbanbanbanb 11,jccjn 11,irrjn 各各行行元元特特點點: :素素和和相相等等( (列列) )0121.0 .000.001). .000 .0000 .nnaaaaaxxxxDxxx 例例 用化三角形的方法求下面行列式用化三角形的方法求下面行列式=1iirr 00.0nax1000nii nax

27、 2000niiax 1000niiax 00000niia niinax001212.10.02)01.0.00.1nnaaaabDbb ,2,1in =1i irbr ,2,1in 0121.010 .0001.0. . . .000 .1ni iniaabaaa 01niiiaa b 例例 計算計算ababaabbbbD000000 解解0202babbba 0000002bbabaa 31cc 2b 002ab22(4)ab 000000bbbDaaabbba 0000*:*【擬三角形行列式公式】42cc 例例 求方程求方程f(x)=0的根的根,其中其中解解12124( )364148

28、2522xxxxxxf xxxxxxxxxxx 12,3,412( )34iccixxf xxx 1234 0011x 1222001122331441xxxxx0012 11112212xxx ( 22x 2)x(21)xx (1)x 方程方程f(x)=0的根為的根為x1=0,x2=1【作業(yè)作業(yè)】：266(2)(4);7(1)(2)(5);8(1);9,三角形化“列】式【”行xPE42cc 43152113,11023351D 5 行列式按行行列式按行(列列)展開展開 n階行列式階行列式D中中,劃去元素劃去元素aij所在的行和列中的元素所在的行和列中的元素,余下的元素按其原有的順序構(gòu)成一個余

29、下的元素按其原有的順序構(gòu)成一個n1階行列式叫階行列式叫做做元素元素aij的余子式的余子式,記為記為Mij 。ijjiijMA )1(元素元素aij的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式： Mij , Aij與行列式與行列式D的第的第i行、第行、第j列的元素?zé)o關(guān)列的元素?zé)o關(guān)。 定義定義6 例例 0的余子式的余子式 M33= 435213331 0的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式A33=3 3435( 1)213331 1,11,1,1,11,1,00iijiniijjiniaaaaDaaa 引理引理(D中第中第i行元素除行元素除aij外全部為零外全部為零)ijija A 證證 nnnjjjnjjjjjjaaaa323

30、23232)(111 2 3232 3(1)11231nnnj jjjjnjj jja aaa 22232323331123nnnnnnaaaaaaaaaa 1111a M 1 111111Ma 112122232123000nnnnnnaaaaaDaaaa 1111a A 1 2 3232 31()2131nnnj j jjjjnjjjjjaaaa (1)先證先證i,j1的情形的情形 (2),(1),當(dāng)換D 適適行行列列交交一一般般情情形形得得結(jié)結(jié)論論一般情形：一般情形：11111,11,1,1,11,1,100jniijiniijinnnjnjniaaaaaaaDaaaaaa 1111,1

31、1,1111,1,11,11,11,1,1,11,11,11,1,1,1000001ijjjjniijiijijinijiijijinnjnjnn jn jnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 11111,11,1,1,11,1,100ijjniijiniijinnnjnnaaaaaaaaaaaaa 1ij ijija A 11i (1)j (D中第中第i行元素除行元素除aij外全部為零外全部為零)iijja M定理定理3 1,11,1,1,1,jniinnnijjnnaaaaaaDaaa 1122,(1,2, )iiiiinina Aa Aa Ain -行列式等于它的任一行行列式

32、等于它的任一行(列列) 的各元素與的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和1122,(1,2, )jjjjnjnja Aa Aa Ajn 證證nnnniniinaaaaaaaaaD2121112110000000 nnnninnnnninaaaaaaaaaaaaaa21211211211112110000 .2211ininiiiiAaAaAa nnnninnaaaaaaa211121100 1 121D 2 2【降階法降階法】運用定理運用定理3 3降階計算行列式方法降階計算行列式方法, ,例例1010 計算計算 0031005010224023D 解解：由定理由定理3

33、知知 2 4 123cc 44 4 (156)488 原則原則:(:(1)1)選取選取0 0較多的行較多的行( (列列);); 1 441 11221122 (1,2, ) Th3 (:1,2, )iiiiininjjjjnjnjDa Aa Aa Aina Aa Aa Ajn1 2511 ( 1)63 121122( 1)( 1)( 1)iiiNiiiiininaMaMaM( 1)ijijijAM 100010232105031023005011623 271,1PEx2( (2)2)利用行列式性質(zhì)將某行利用行列式性質(zhì)將某行( (列列) )變?yōu)檩^多變?yōu)檩^多0;0;例例2 計算計算2241240

34、10105200117D 4210=10201D2 11 ( 1) 117 9181734 解解：70151320207212cc 412cc 901817 034132rr 232rr 2按按第第 列列展展開開1 (34 9 2按按第第 行行展展開開【降階法降階法】運用定理運用定理3 3降階計算行列式方法降階計算行列式方法, ,原則原則:(:(1)1)選取選取0 0較多的行較多的行( (列列););11221122 (1,2, ) Th3 (:1,2, )iiiiininjjjjnjnjDa Aa Aa Aina Aa Aa Ajn 7321521127203 21 ( 1) 17 18)6

35、12 11121123112000.?103001000nnnnDAAAn 解解例例12000103001000n 11 11 12 00 00 30 00 00 n 21(1)nii 41424344412343344,?156711224:BADAAA 11221122 (1,2, ) Th3 (:1,2, )iiiiininjjjjnjnjDa Aa Aa Aina Aa Aa Ajn11121.nAAA 12 013 1n 00 1313cc !n1212cc 4142434423?AAAA D一一行行(列列)元素代數(shù)余子式與該行元素代數(shù)余子式與該行(列列)元素?zé)o關(guān)元素?zé)o關(guān)。 * *

36、* *1 1 11 111nccn 推論推論 行列式一行行列式一行(列列)的元素與另一行的元素與另一行(列列)的對應(yīng)元素的對應(yīng)元素 的代數(shù)余子式乘積之和等于零的代數(shù)余子式乘積之和等于零,即即 )(02211jiAaAaAajninjiji 11220()ijijninja Aa Aa Aij證證 當(dāng)當(dāng)i j時時01122ijijinjnaAaAaA 同理可證同理可證02211 njnijijiAaAaAa11221122 (1,2, ) Th3 (:1,2, )iiiiininjjjjnjnjDa Aa Aa Aina Aa Aa Ajn111111 iinniinnnnaaaaaaaa 11

37、1111 niinjnnnjnaaaaaaDaa 112211220()()ijijinjnijijninja Aa Aa Aija Aa Aa Aij即即:1,0,;nikjkkD ija Aij 1,0,;nkikjkD ija Aij 解：解：31323334355()3()0AAAAA 31323334352()()0AAAAA 31323334351234555533222114653254232AAAAAA, ,求求, ,例例: :, ,313233()0,AAA11221122 (1,2, ) Th3 (:1,2, )iiiiininjjjjnjnjDa Aa Aa Aina A

38、a Aa Ajn3435()0AA123455553322211465235553322211例例13 計算計算yyxxD 11111111111111113【加邊法加邊法】特點特點:各列各列(行行)中中除主對除主對角線外其它元素均相同角線外其它元素均相同解解 :1111101111011110111101111xDxyy 當(dāng)當(dāng)x0，且，且y00，111111000100010001000 xxyy 12,3,4irri 12311()cccxx 14511()cccyy 1111100000000000000 xxyy 22x y 12121272111111.;P 8(1)9.111nnn

39、nnaaaxaaaxDDaaax 由引理知由引理知 當(dāng)當(dāng)x0 或或y0時，時，D0，007(5).例例 證明證明范德蒙范德蒙( (Vander monde) )行列式行列式112112222121.1.11 nnnnnnnxxxxxxxxxV nijjixx1)(當(dāng)當(dāng)n2 2時時21211xxV 12xx 12() ijj ixx 成立證證: :假設(shè)對假設(shè)對n1 1階成立，對階成立，對n階行列式有階行列式有111111,1iirx rin 222222211211121121.1.1nnnnnnnnnnnxxxxxxVxxxxxx 4 4【數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法】02221()nxxx 21nn

40、nxxx 0221()xxx 1nnxxx 021()xx 1nxx 3111232222131212121331()()()()()()()nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxVxxxxxxx 23213112222311.1.()().nnnnnnxxxxxxxxxxxx2()ijj i nxx 歸納假設(shè)歸納假設(shè)211().()nxxxx1()ijj i nxx 結(jié)論成立。結(jié)論成立。232232232111() 1,1( )17 3aaaabbabbccabbcccc 1111123222211223322221 122331111123,.)0(10nnnnnnnnnnn

41、ninnnnnnnnnnnaaaaababababDaa ba ba ba bbbbb例例 計算計算1222212222121211.1.nnnnnnnnnnxxxxxxDxxxxxx 解解：考慮考慮n n1 1階范德蒙行列式階范德蒙行列式111()().()().nnjii j nxxxxxxxx 111112222121212211.1.1.nnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxDxxxxxx 121( 1),nnDxDD 的的系系數(shù)數(shù)：( )f x 121(.)()njiij nxxxxx 1( ):nf xx 的的的的系系數(shù)數(shù)二二者應(yīng)相等，者應(yīng)相等，121.().njiij nD

42、xxxxx （）【作業(yè)作業(yè)】：26-276(3);7(5);8(2)(3);10;11;,4降階法加邊法xBPE例例15 15 計算計算12211 0 0 00 0 0 00 0 1 00 0 0 1 axaaaaxxxxDnnnn 111axaxD 5【遞推公式法遞推公式法】 解解1 1( 1)x 1nD 按按第第 列列展展開開1nxD 1232110000100.0001nnnxxxaaaax a 1( 1)nna 1000100,000.001xxx na 11Dxa1,(2)nnnDxDan 11Dxa12121.nnnnnxa xa xaxa 21()nnnx xDaa221nnnx

43、 Daxa=12121nnnnxDa xaxa 27(4);8(40021000121000001200()00000210001)002nnnababDadbcDcdcd2(1)()nadbc D 122nnDD例例 0 .000275 .000027 .000. . . . . . .000 . 750000 .275000 .70275.nD 用用遞推關(guān)系法遞推關(guān)系法求行列式求行列式解解: :按第一行按第一行展開展開17nD522nD127 5 20nnnDDD 即即12(5)225nnnDDD 1225()2nnnnDDDD 12252()nDD 215 (2)DD2n 112552(

44、)nnnnDDDD 275 39,27D 其其中中71D21225;DD5n 2154.DD2n nD 52 1152.3nn 【小結(jié)小結(jié)】利用行列式性質(zhì)計算利用行列式性質(zhì)計算 方法方法1 :化為化為已知行列式求值已知行列式求值化三角形法化三角形法111122221122*(1)nnnnnnaa aaaaaaa0000*)*(2范德蒙范德蒙( (Vander monde) )行列式行列式122221211111211.1.(3)().nnijj i nnnnnxxxxxxxxxxx 方法方法2 :降階法降階法-Laplace展開展開11221122 (1,2, ) Th3 (:1,2, )ii

45、iiininjjjjnjnjDa Aa Aa Aina Aa Aa Ajn12220001002222000110;22326(3)8(20110000012220030)( )nnxyaxybDcxydnyxD 112233440000()002:00abBababab 41424344412343344,?156711224:BADAAA 11. 已知已知4階行列式階行列式D中第中第3列元素依次為列元素依次為-1,2,0,1，它們的余子式依次為，它們的余子式依次為8,7,2,10，求行，求行列式列式D的值的值方法方法4 :遞推公式法遞推公式法方法方法5 :數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法方法方法3 :

46、加邊法加邊法1211111111111117(5)nniiiinaaaaa 27(4)8(40021000121000001200() ;00000210000)012nnnababDadbcDcdcd1122122711127(5)8(1111111)911111111;.;11111 1.nnnninniiinnaaaaxaaaaxaDDaaaaaxP 【作業(yè)作業(yè)】：26-277(4);8;,(4)xPE三、行列式的三、行列式的應(yīng)用應(yīng)用 6克拉默克拉默(Cramer)法則法則 克拉默法則克拉默法則: :如果線性方程組如果線性方程組 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxa

47、xa22112222212111212111.,的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式01111 nnnnaaaaD方程組方程組有唯一解有唯一解 ,2211DDxDDxDDxnn D中的第中的第j列元素用方程組列元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得右端的常數(shù)項代替后所得到的到的n階行列式階行列式12111,11,11212,12,121,1,1njjnjjnjnn jn jnnaaaaaaaaDabbbaaa 證明證明 (1)1212,nnDDDxxxDDD是方程組的解：是方程組的解：1111221111221122,.,.nnkkknnknnnnnna xa xa xba xaxa xba xaxa xb 簡寫為簡寫為1,nkjjkja xb 1212,nnDDDxDDkxxD把把代代入入第