天津公路安全生產(chǎn)法律法規(guī)

1、第三章第三章 空間力系空間力系 空間匯交力系空間匯交力系 力對軸之矩和力對點(diǎn)之矩力對軸之矩和力對點(diǎn)之矩 空間力偶系空間力偶系 空間力系的簡化空間力系的簡化 空間力系的平衡條件和平衡方程空間力系的平衡條件和平衡方程 物體的重心物體的重心3.1 空間匯交力系yxzFFxFyFzikj若已知力與正交坐標(biāo)系Oxyz三軸間夾角，則用直接投影法cos(, )cos(, )cos(, )xyzFFFFFFF iF jF k3.1.1 力在直角坐標(biāo)軸的投影yxzFFxFyFzFxyjg當(dāng)力與坐標(biāo)軸Ox 、Oy間的夾角不易確定時(shí)，可把力F先投影到坐標(biāo)平面Oxy上，得到力Fxy，然后再把這個力投影到x 、y軸上，

2、這叫間接投影法。sincossinsincosxyzFFFFFFgjgjg3.1.1 力在直角坐標(biāo)軸的投影1. 合成將平面匯交力系合成結(jié)果推廣得：R12ni FFFFF合力的大小和方向?yàn)椋?22R()()()xyzFFFF RRRRRRcos(, ),cos(, ),cos(, )yxzFFFFFFFiFjFk3.1.2 空間匯交力系的合成與平衡RxyzFFF Fijk或2. 平衡空間匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系的合力等于零。R0i FF以解析式表示為：3.1.2 空間匯交力系的合成與平衡000 xyzFFF空間匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系力系中所有各力在三個坐標(biāo)軸上的投影

3、的代數(shù)和分別等于零。ABCDEPABCDEPDTCTSxyz例1 重為P的物體用桿AB和位于同一水平面的繩索AC與AD支承，如圖。已知P1000N，CEED12cm，EA24cm， 45，不計(jì)桿重；求繩索的拉力和桿所受的力。解：以鉸A為研究對象，受力如圖。0sinsin:0DCTTX0sincoscos:0STTYDC0cos:0PSZ由幾何關(guān)系：52241224cos22解得：NS1414NTTDC5593.2 力對點(diǎn)的矩和力對軸的矩3.2.1 力對點(diǎn)的矩以矢量表示力矩矢xyzOFMO(F)rA(x,y,z)hB 空間力對點(diǎn)的矩的作用效果取決于：力矩的大小、轉(zhuǎn)向和力矩作用面方位。這三個因素可

4、用一個矢量MO(F)表示，如圖。其模表示力矩的大??；指向表示力矩在其作用面內(nèi)的轉(zhuǎn)向(符合右手螺旋法則)；方位表示力矩作用面的法線。由于力矩與矩心的位置有關(guān)，所以力矩矢的始端一定在矩心O處，是定位矢量。3.2.1 力對點(diǎn)的矩以矢量表示力矩矢以r表示力作用點(diǎn)A的矢徑，則()O MFrF以矩心O為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則xyzxyzFFF rijkFijk()()()()OxyzzyxzyxxyzFFFyFzFzFxFxFyF ijkMFrF =ijkxyzOFMO(F)rA(x,y,z)hBjik3.2.1 力對點(diǎn)的矩以矢量表示力矩矢力矩矢MO(F)在三個坐標(biāo)軸上的投影為()()()OxzyOyxzOz

5、yxyFzFzFxFxFyF MFMFMFxyzOFMO(F)rA(x,y,z)hBjik力F對z 軸的矩定義為：()()2zOxyxyOabMMF hA FF力對軸的矩是力使剛體繞該軸轉(zhuǎn)動效果的度量，是一個代數(shù)量，其絕對值等于力在垂直于該軸平面上的投影對于軸與平面交點(diǎn)的矩。3.2.2 力對軸的矩xyzOFFxyhBAab符號規(guī)定：從z軸正向看，若力使剛體逆時(shí)針轉(zhuǎn)則取正號，反之取負(fù)。也可按右手螺旋法則確定其正負(fù)號。由定義可知：(1)當(dāng)力的作用線與軸平行或相交(共面)時(shí)，力對軸的矩等于零。(2)當(dāng)力沿作用線移動時(shí)，它對于軸的矩不變。力對軸之矩實(shí)例力對軸之矩實(shí)例FzFxFy3.2.3 力對軸的矩的

6、解析表達(dá)式xyzOFFxFyFzA(x,y,z)BFxFyFxyabxy()()()()zOxyOxOyyxMMMMxFyF FFFF設(shè)力F沿三個坐標(biāo)軸的分量分別為Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z，力作用點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y,z)，則同理可得其它兩式。故有()()()xzyyxzzyxMyFzFMzFxFMxFyF FFF比較力對點(diǎn)的矩和力對軸的矩的解析表達(dá)式得：即：力對點(diǎn)的矩矢在通過該點(diǎn)的某軸上的投影，等于力對該軸的矩。3.2.4 力對點(diǎn)的矩與力對過該點(diǎn)的軸的矩的關(guān)系()()()()()()OxxOyyOzzMMM MFFMFFMFF求力F在三軸上的投影和對三軸的矩。解：222coscosxFaFFabcj

7、222cos sinyFbFFabcj222sinzFcFFabc ()()()()xxxxyxzyMMMMF c FFFF()0yMF()()()()zzxzyzzyMMMMF a FFFFyxzFjbcaFxy22222cosababc22cosaabj如圖所示，長方體棱長為a、b、c，力F沿BD，求力F對AC之矩。解：()()CACACM FMF22()cosCFbaFaab MF22222()() cosCACFabcMababc FMFFbcaABCD 力偶由一個平面平行移至剛體另一個平行平面不影響它對剛體的作用效果。3.3空間力偶3.3.1 空間力偶的性質(zhì)AFFRRBOF2A1F1

8、B1F2F1 由力偶的性質(zhì)可知：力偶的作用效果取決于力偶矩的大小、力偶轉(zhuǎn)向和作用面方位。因此可用一矢量M表示：選定比例尺，用M的模表示力偶矩的大??；M的指向按右手螺旋法則表示力偶的轉(zhuǎn)向； M的作用線與力偶作用面的法線方位相同。如圖所示。 M稱為力偶矩矢。力偶矩矢為一自由矢量。 空間力偶的等效條件是：兩個力偶的力偶矩矢相等。FMF3.3.2 力偶的矢量表示3.3.3 空間力偶等效定理力偶作用面不在同一平面內(nèi)的力偶系稱為空間力偶系。 空間力偶系合成的最后結(jié)果為一個合力偶，合力偶矩矢等于各力偶矩矢的矢量和。即：12ni MMMMM3.3.4 空間力偶系的合成根據(jù)合矢量投影定理：,xxyyzzMMMM

9、MM 于是合力偶矩的大小和方向可由下式確定：222()()()xyzMMMM cos(, ),cos(, ),cos(, )yxzMMMMMMM iM jM k3.3.4 空間力偶系的合成 空間力偶系可以合成一合力偶，所以空間力偶系平衡的必要與充分條件是：合力偶矩矢等于零。即：0 iMM因?yàn)椋?22()()()xyzMMMM 所以：000 xyzMMM上式即為空間力偶系的平衡方程。3.3.5 空間力偶系的平衡例2. 曲桿ABCD, ABC=BCD=90, AB=a, BC=b,CD=c, m2, m3 求：支座反力及m1=?解：根據(jù)力偶只能與力偶平衡的性質(zhì),畫出構(gòu)件的受力圖見圖示。約束反力ZA

10、和ZD形成一力偶, XA與XD形成一力偶。故該力系為一空間力偶系。123bcmmmaa可解得:yxamZaZmMAAy22 , 0 :0amXaXmMAAz33 , 0 :0 , 0 :01cXbZmMAAx 空間力系向點(diǎn)O簡化得到一空間匯交力系和一空間力偶系，如圖。()(1,2, )iiiOiin FFMMF3.4 空間力系向一點(diǎn)的簡化主矢與主矩FnF1F2yzxOF1FnF2MnM2M1zyxOMOFROxyz3.4.1 空間任意力系向一點(diǎn)的簡化空間匯交力系可合成一合力FR：Rii FFF力系中各力的矢量和稱為空間力系的主矢。主矢與簡化中心的位置無關(guān)。3.4.1 空間力系向一點(diǎn)的簡化MOF

11、ROxyz空間力偶系可合成為一合力偶，其矩矢MO：力系中各力對簡化中心之矩矢的矢量和稱為力系對簡化中心的主矩。主矩與簡化中心的位置有關(guān)。()OOi MMF 結(jié)論：空間力系向任一點(diǎn)O簡化，可得一力和一力偶，這個力的大小和方向等于該力系的主矢，作用線通過簡化中心O；這個力偶的矩矢等于該力系對簡化中心的主矩。3.4.1 空間力系向一點(diǎn)的簡化3.4.2 空間任意力系的簡化結(jié)果分析空間任意力系向一點(diǎn)簡化的結(jié)果可能出現(xiàn)四種情況：(1) FR0，MO0 ; (2) FR 0，MO 0 ; (3) FR 0，MO0 ; (4) FR0，MO 0 1) 空間任意力系簡化為一合力偶的情形FR0，MO0簡化結(jié)果為一

12、個與原力系等效的合力偶，其合力偶矩矢等于對簡化中心的主矩。此時(shí)力偶矩矢與簡化中心位置無關(guān)。 FR 0，MO 0這時(shí)得一與原力系等效的合力，合力的作用線過簡化中心O，其大小和方向等于原力系的主矢。3.4.2 空間任意力系的簡化結(jié)果分析2) 空間任意力系簡化為一合力的情形 這時(shí)亦得一與原力系等效的合力，其大小和方向等于原力系的主矢，合力的作用線離簡化中心O的距離為3.3.2 空間任意力系的簡化結(jié)果分析ROdFM FR 0，MO0 ，且FR MOMOFROFRFRFROOdFROOFR 0，MO0 ，且FR MO此時(shí)無法進(jìn)一步合成，這就是簡化的最后結(jié)果。這種力與力偶作用面垂直的情形稱為力螺旋。FR與

13、MO同方向時(shí)，稱為右手螺旋； FR與MO反向時(shí)，稱為左手螺旋。圖示為一右手螺旋。MOFROOFR3) 空間任意力系簡化為力螺旋的情形3.4.2 空間任意力系的簡化結(jié)果分析FR 0，MO0 ，同時(shí)兩者既不平行，又不垂直，此時(shí)可將MO分解為兩個分力偶MO和MO，它們分別垂直于FR和平行于FR，則MO和FR可用作用于點(diǎn)O的力FR來代替，最終得一通過點(diǎn)O 的力螺旋。MOFROMOFROMOFROOMO3.4.2 空間任意力系的簡化結(jié)果分析3.4.2 空間任意力系的簡化結(jié)果分析4) 空間任意力系簡化為平衡的情形當(dāng)空間任意力系向一點(diǎn)簡化時(shí)出現(xiàn) 主矢FR0，主矩MO 0 ，這是空間任意力系平衡的情形。3.5

14、 空間任意力系的平衡方程3.5.1 空間任意力系的平衡方程FR0，MO 0 =0,0,0()0,()0,()0 xyzxyzFFFMMMFFF空間任意力系平衡的必要與充分條件為：力系中各力在三個坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和等于零，且各力對三個軸的矩的代數(shù)和也等于零。上式即為空間任意力系的平衡方程。3.5 空間任意力系的平衡方程3.5.2 空間約束類型例3 一等邊三角形板邊長為a , 用六根桿支承成水平位置如圖所示.若在板內(nèi)作用一力偶其矩為M。求各桿的約束反力。ABC16425330o30o30oABCM解:取等邊三角形板為研究對象畫受力圖。ABC16425330o30o30oABCMS1S2S3S4S

15、5S66()033022BBMMaSFaMS346433()0,022CCMMaSFaMS344533()0022AAMMaSFaMS34514()03310222BCMa SaSFaMS32125331()00222ACMa SaSFaMS32236331()00222ABMa SaSFaMS323ABC16425330o30o30oABCMS1S2S3S4S5S6 xm3m2m3m2ABCD60604545GHyzP例4 扒桿如圖所示，立柱AB用BG和BH兩根纜風(fēng)繩拉住，并在A點(diǎn)用球鉸約束，A、H、G三點(diǎn)位于 xy平面內(nèi)，G、H兩點(diǎn)的位置對稱于y軸，臂桿的D端吊懸的重物重P=20kN；求兩

16、繩的拉力和支座A的約束反力。 解：以立柱和臂桿組成的系統(tǒng)為研究對象，受力如圖，建立如圖所示的坐標(biāo)。 列平衡方程： ABCD60604545GHyzPAXAYAZGTHT045sin60cos45sin60cos:0GHATTXX045cos60cos45cos60cos:0GHATTYY060sin60sin:0PTTZZGHA05545cos60cos545cos60cos:0)(PTTFmGHx0545sin60cos545sin60cos:0)(GHyTTFm聯(lián)立求解得：kNTTHG3 .280AXkNYA20kNZA693-19解:S5S4S6S3S2S1F500mm1000mmD C

17、BADC B A ()0DDmF02S()0BBmF04S()0CCmF06S()0BCmF()0ABmF05005001FSFS10100010005FSFS5()0ADmF050050053SSFS 3 xyzABCDE3030G題3-18 均質(zhì)長方形板ABCD重G=200N，用球形鉸鏈A和碟形鉸鏈B固定在墻上，并用繩EC維持在水平位置，求繩的拉力和支座的反力。xyzABCDE3030GAXAYAZTBXBZ030sin:0)(21ABGABZABTFmBx030sin:0)(21ADTADGFmy0:0)(ABXFmBz 解：以板為研究對象，受力如圖，建立如圖所示的坐標(biāo)。xyzABCDE

18、3030GAXAYAZTBXBZ030sin30cos:0TXXXBA030cos:02TYYA030sin:0GTZZZBA解之得：0BBZXNT200NXA6 .86NYA150NZA100 例7 用六根桿支撐正方形板ABCD如圖所示，水平力 沿水平方向作用在A點(diǎn)，不計(jì)板的自重，求各桿的內(nèi)力。PaPABCD1A1B1C1D123456aa1S2S3S4S5S6Sxyz 解：以板為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。PSSPY2045cos:044PSSaSaSFmAA2045cos45cos:0)(42241PSSaSaSFmDD2045cos45cos:0)(45541PSSaSaSFmA

19、D434322045cos:0)(PSaSaSFmDC656045cos:0)(PPPPPPSSSSSSSZ1245361045cos45cos45cos:0aPABCD1A1B1C1D123456aa1S2S3S4S5S6Sxyz3.6.1平行力系中心平行力系中心是平行力系合力通過的一個點(diǎn)。平行力系合力作用點(diǎn)的位置僅與各平行力的大小和作用點(diǎn)的位置有關(guān)，而與各平行力的方向無關(guān)。稱該點(diǎn)為此平行力系的中心。3.6 重心F1FRF2yzxOACBr1rCr2i iCiFFrr,iiiiiiCCCiiiF xF yF zxyzFFF 重力是地球?qū)ξ矬w的吸引力，如果將物體由無數(shù)的質(zhì)點(diǎn)組成，則重力便構(gòu)成空

20、間匯交力系。由于物體的尺寸比地球小得多，因此可近似地認(rèn)為重力是個平行力系，這力系的合力就是物體的重量。不論物體如何放置，其重力的合力的作用線相對于物體總是通過一個確定的點(diǎn)，這個點(diǎn)稱為物體的重心。3.6.2 重心,iiiiiiCCCiiiPxPyPzxyzPPP 對于均質(zhì)物體、均質(zhì)板或均質(zhì)桿，其重心坐標(biāo)分別為：ddd,VVVCCCx Vy Vz VxyzVVVddd,SSSCCCx Sx Sx SxyzSSSddd,lllCCCx ly lz lxyzlll3.6.2 重心均質(zhì)物體的重心就是幾何中心，即形心。3.6.3 確定物體重心的方法1 簡單幾何形狀物體的重心如果均質(zhì)物體有對稱面，或?qū)ΨQ軸，或?qū)ΨQ中心，則該物體的重心必相應(yīng)地在這個對稱面，或?qū)ΨQ軸，或?qū)ΨQ中心上。簡單形狀物體的重心可從工程手冊上查到。 2）圖示弓形面積可看成由扇形OAMB去掉三角形OAB得到，由負(fù)面積法可求得弓形的重心。扇形和三角行的面積，重心位置查表可得；故所求弓形體物塊的重心的坐