2013年考研數三真題與答案解析

1、2013年考研數三真題及答案解析一、選擇題18小題每小題4分，共32分.、1.當x-0時，用o(x)表示比x高階的無窮小，則下列式子中錯誤的是()(A)XO(x2)-o(x3)(B)o(x)o(x2)-o(x3)(C)O(x2)咯o(x2)o(x2)(D)O(x)o(x2)o(x2)【詳解】由高階無窮小的定義可知(A)(B)(C)都是正確的，對于(D)可找出反例，例如當x0時f(x)-x2x3戸o(x),g(x)-x3io(x2)，但f(x)g(x)-o(x)而不是o(x2)故應該選(D)2函數f(x)的可去間斷點的個數為(A)0【詳解】當limx0f(x)x(x1)Inxx:xlnxl0時，

2、X1一exm；Jimx0x二limxlnxx(x+1)lnxFxIJ(D)31xInx,x1，所以x-9是函數f(x)的可去間斷點.limTx1f(x)xxl"1x(x1)lnxl-limx1=limxlnxl小2xIn-xx丄，所以X=1是函數f(x)的可去間斷點.2limf(x)三limx1x(x1)ln1xlimxlnx:，所以所以x-1不是函數f(x)的x1一(x1)lnx可去間斷點.故應該選(C).3.設Dk是圓域D-(x,y)|x2y-1-的第k象限的部分，記I(yx)dxdy，則DkBI2()【詳解】由極坐標系下二重積分的計算可知的列向量組線性表示，所以矩陣C的列向量組

3、與矩陣A的列向量組等價.1a11f2006.矩陣aba與矩陣In0b0相似的充分必要條件是1a11|000()a0,b2(),為任意常數ABa一0b列向量組線性表示.同時由于C應該選（B）.k21x)dxdy“_d(sincos_)r-(k1)兀J021k21dr=3k2k1IT12'一sin蜜管cos.|k13T"所以li3士0,l2-2,I4-_-2，應該選(33B)(B)(C)(D)n為正項數列，則下列選擇項正確的是（0anan1,則(T)n1an收斂;n土oC'(1)n1an收斂，則n1OC'an收斂.則存在常數n1-anan1；P1，使limnpan

4、存在;n-JPO若存在常數P1，使limn4®旳Pan存在，則-an收斂.n1【詳解】由正項級數的比較審斂法，可知選項（D）正確，故應選（D）.此小題的（A）（B）選項想考查的交錯級數收斂的萊布尼茲條件，對于選項（A），但少一條件liman-0，顯然錯誤.n廠選項（B）也不正確，反例自己去構造.5.設A,B,C均為n階矩陣，若AB=C，且E可逆，則的行向量組等價.的列向量組等價.的行向量組等價.的列向量組等價.而萊布尼茲條件只是交錯級數收斂的充分條件，不是必要條件，(A)(B)(C)(D)矩陣矩陣矩陣矩陣的行向量組與矩陣的列向量組與矩陣的行向量組與矩陣的列向量組與矩陣C列分塊如下：A

5、【詳解】把矩陣A,則可知一馬“r亠ibi11bi22Ti.SirdBJ12,由于AB=C,+ctbinn(i1,2,n）,得到矩陣C的列向量組可用矩陣A的B可逆，即A=CB1，同理可知矩陣A的列向量組可用矩陣(200)|if1a11120011【詳解】注意矩陣0b0是對角矩陣，所以矩陣A=aba與矩陣0b10000)11a1?.0Tl00.(C)a2,b0似的充分必要條件是兩個矩陣的特征值對應相等.相(D)a-2,b為任意常數E-A-b-a=-入(?2-(b-2)入a12b-2a2)從而可知2b2a2-2b，即a一0,b為任意常數，故選擇(B)7.設X1,X2,X3是隨機變量，且X1N(0,1

6、),X2N(0,22),X3N(5,32),PiPXi-2，則PlP2P3(B)P2PlP3(C)P3P2Pl(D)PiP3P2【詳解】若Pi-21,P2UP2；-P1%-1-：2(1)1,P3二P2X3-2-P-2-5X3-52-5；33二：(1):1P3P21f7J:-'3(1)2-X0123PP1/21/41/81/8X和Y的概率分布分別為故選擇(A).8.設隨機變量X和Y相互獨立，且Y-101P1/31/31/3)則PXY2(B)-(C)12(D)12Y=4®世儉2XXN(,)，則N(0,1)PXY2PX1,Y:-，故選擇(C).-1PX2,Y0PX=+:=1111_

7、3,Yi一卡丄-1224246詳解、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)9.設曲線y戸f(x)和y=x2x在點1,0處有切線，則limnf【詳解由條件可知f1一0,f'(1)_1.所以limnfI-limn_F2-卜f(1)22n2-2f'(1)_2n22n”/z,10.設函數z二zx,y是由方程zyx二xy確定，則|(1,2)-.J【詳解x,y,z一zyxxy()Fxx,y,z_(zy)xIz-y)y,Fz(x,ny,z)"x(z當x1,y2時，z一0，所以z.1(1,2L22In2cx11.Sx2dx-.(1x)【詳解-In一x2d

8、x二(1x)4LfInxd1-hetna|1x1dx二x(1x)12.微分方程yy1y-o的通解為.4【詳解方程的特征方程為-04，兩個特征根分別為'11'r，所以方程通2解為y(C1C2x)e2，其中C1,C2為任意常數.13.設=()aAj是三階非零矩陣，Il1A為其行列式，Aij為兀素aiij的代數余子式，且滿足U-Aa三三ijij0(i,j1,2,3)，則A=.A+a二二半二【詳解】由條件jj0(i,j1,2,3)可知AA*T0,其中A*為A的伴隨矩陣，從而可知IT31A*IA*|=|A二A，所以A可能為1或0.n,r(A)n*斗T但由結論r(A)-1,r(A)-n-1

9、可知，AA*-0可知r(A)二r(A*),伴隨矩陣的秩只0,r(A)；n-1能為3，所以A-1.14.設隨機變量X服從標準正分布XN(0,1),則EXe2X-.【詳解】EXe2X-2xT'：2x-2-xe2x1edx-J円72(x2)22x_e2dx(丁屯2站(x_2)2(x-22)e2dx=j丁teFt22_2|endt=e2E(X)2e=n2eT所以為2e2.三、解答題15.(本題滿分10分)0時，1-cosxcos2xcos3x與axn是等價無窮小，求常數a,n.【分析】主要是考查x0時常見函數的馬克勞林展開式.1cos2x-121cos3x-1一2_1,cxo1-sx222o(

10、x),(2x)2o(x2>12x2o(x2)(3x)2o(x2卜1=9x2o(x2),21-cosxcos2xcos3x工1(1一計x2沿o(x2)(1一2x“o(x2)(1-9x2撫o(x2)戶7x2冊o(«)22由于1cosxcos2xcos3x與axn是等價無窮小，所以a二7,n=216.(本題滿分10分)設D是由曲線y3x，直線x-a(a0)及x軸所轉成的平面圖形，V,Vy分別是D繞x軸和y軸旋轉一周所形成的立體的體積，若10Vx-Vy,求a的值.【詳解】由微元法可知aaVx二y2dX"002x35d3屯dxa3；5aVy-2xf(x)dx-2*04ax飛dx

11、-076-a3；7由條件10Vx-Vy,知a一77.17.(本題滿分10分)設平面區(qū)域D是由曲線x-3y,y-3x,xy-8所圍成，9xdxdy.D【詳解】x2dxdyx2dxdyx2dxdyx2dxxdydxxdy416.iFB23x.68一xn=!+ff二110L2D1D2D3318.(本題滿分10分)設生產某產品的固定成本為6000元，可變成本為20元/件，價格函數為P_602,1000(P是單價，單位：元，Q(1)(2)(3)是銷量，單位：件)，已知產銷平衡，求:該的邊際利潤.當P=50時的邊際利潤，并解釋其經濟意義.使得利潤最大的定價P.【詳解】、Q2(1)設利潤為iy則yPQ(60

12、0020Q-)40Q6000,1000邊際利潤為y=40-Q.500(2)當P=50時，Q=10000，邊際利潤為20.經濟意義為：當P=50時，銷量每增加一個，利潤增加20.人20000(3)令y'0，得Q-=20000,P亠6040.1000019.(本題滿分10分)設函數fx)在0,+«)上可導，f(00,且limf(x)=2，證明pF存在a0，使得fa一1;41(1) 對(1)中的a，存在(0,a)，使得f'()-.a【詳解】X時，有3<22證明(1)由于limf2，所以存在X0，當xAX,:又由于fx在0磴)上連續(xù)，且f0一0,由介值定理，存在a0，使

13、得fa1;(2)函數fx在0,a上可導，由拉格朗日中值定理，存在(0,a)，使得f'()-f(a)f(°)_1.aa20.(本題滿分11分)1a01C,使得ACCA_B，并求出設A_,B_，問當a,b為何值時，存在矩陣i_|gpl.101b即得到線性方程組-ax1X2ax41,要使c存在，此線性方程組必須有解，于是對方所有矩陣c.【詳解】顯然由ACCA_B可知，如果C存在，則必須是2階的方陣.設C-,J5X3X4-tX2ax3-ax1X2、¥ax401則ACCAB變形為i=1FX1一X3-X4X2一aX31bX2ax30(0-1a00i卩0-1-11la10a101

14、一a00片I10_1_1100001a1I01_a00000bJA|b)=5線性方程組有解，即存在矩陣X2ax3b程組的增廣矩陣進行初等行變換如下X1X3X4110一1一11J1ILi1，01100此時，A|bp100000<0000oiX11£mn丐HiIfLrT1Lr所以方程組的通解為1X20+_1+Ic+lXX30C11C2c1，也就是滿足ACCAB的矩陣I”1x4丿1(0丄0丿1J<1當a一一1,b_0時，所以，C,使得ACCAB.$C九c二i6一C21，其中Ci,C2為任意常數.ICiC2丿21.(本題滿分11分)設二次型f(X1,X2,X3>2(a1X1

15、+a2X2+a3X3)3(b1X1+b2X2+b3X3)2.記S1ipaCXS2,lJb21a3H'tF'b3丿*f在正交變換下的標準形為I2(1)證明二次型f對應的矩陣為2珀臉T曲瀚筆T；(2)若正交且為單位向量，證明【詳解】證明：(1)f(X1,X2,X3j2(a1X1a2X2SBX3)2(b1X1b2X2b3X3)2jFa11ItJP：1|X1Ib1in.X1)11陀X1,X2,X3)1S2f:a1,a2,a3XZX1(X2,X3)b2&1,b2,b3)X2Jla3J“X3.rfc.'Jp*<b3lX3JnU.iffjFCBl1X1iX1'1

16、二X1,X2,X3X2F(X1,X2,x3邛TX21x3丿LX3-'fAIX11-X1,X2,X3X2X3所以二次型f對應的矩陣為2TT.證明(2)設A工抄T闔陽T，由于冋二嚴皿=0則A。嚴T卡朋T強=.創(chuàng)叫2冷卵九=.所以口為矩陣對應特征值兀1二2的特征向量；A密T卿冊購Tp=嚴邛姑咿|2=P，所以R為矩陣對應特征值紜2=1的特征向量;而矩陣A的秩r(A)彳2t'T)r(2“T)>('亠T)2，所以3-0也是矩陣的一個特征值.故f在正交變換下的標準形為2y/'y22.0,其他(2)Y的的邊緣概率密度fY(y):fY(y)巳/(x,y)dx19y2Q2,nIdx二9yIny,0yx0,其他23.(本題滿分11分)設總體X的概率密度為af(x；)2-xJe,x>0x3，其中0,其他為為未知參數且大于零,22.(本題滿分11分)X1設X,Y是二維隨機變量，X的邊緣概率密度為fx(x)二3x2,0:，在給定'10,其他Qyy<x,Xx(0x1)的條件下，Y的條件概率密度為fY(y/x)-x3./xF0,其他(1)求X,Y的聯合概率密度fx,y；(2)Y的的邊緣概率密度fY(y).【詳解】(1)X，丫的聯合概率密度fx,y:fx,y)=fY/(y/x)fx(刈=1廿,0建<