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1、空間向量運算的坐標(biāo)公式如果三個向量不共面那么對空間任一向量存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x、 y、 z 使得 cbapczbyaxpcba 叫做空間的一個_基底空間任意三個不共面向量都可以構(gòu)成空間的一個基底一、空間直角坐標(biāo)系單位正交基底如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直且長都為1 則這個基底叫做單位正交基底常用i j k來表示 .點 O 叫做原點向量i、j 、k 都叫做坐標(biāo)向量 .通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面。分別稱為xOy 平面 yOz 平面 xOz 平面 .空間直角坐標(biāo)系在空間選定一點O和一個單位正交基底i、j 、k。以點O 為原點分別以i 、j、 k的正方向建立三條數(shù)軸x 軸、y 軸
2、、z軸它們都叫做坐標(biāo)軸 .這樣就建立了一個空間直角坐標(biāo)系O-xyzOxyzijk二、向量的直角坐標(biāo)aaaa 1 2 3給定一個空間坐標(biāo)系和向量且設(shè)i 、j、k 為坐標(biāo)向量由空間向量基本定理存在唯一的有序?qū)崝?shù)組1 2 3 使 1i 2j 3k有序數(shù)組1 2 3 叫做在空間直角坐標(biāo)系O-xyz 中的坐標(biāo)記作 .aaaaaaaaaaaaxyzOAa1a2a3ijka在空間直角坐標(biāo)系 O-xyz 中對空間任一點 A 對應(yīng)一個向量 OA 于是存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 xyz 使 OAxiyjzk 在單位正交基底 i j k 中與向量 OA 對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組 xyz 叫做點 A 在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)記作
3、 Axyz 其中 x 叫做點 A 的橫坐標(biāo) y 叫做點 A 的縱坐標(biāo) z 叫做點 A 的豎坐標(biāo) .xyzOAxyzijka 三、向量的直角坐標(biāo)運算 .111222axyzbxyz 設(shè)則121212abxxyyzz111axyzR121212abxxyyzz121212abxxyyzz例1、 1 求向量 axyz 的模 a 2 求兩個非零向量111axyz222bxyz的夾角的余弦值3、已知向量235a31bz 且 ab 求 Z 的值。 練習(xí) 1.知 235a314b 求 ababa8aab 練習(xí) 2、已知cos1sinaaasin1cosbaa則向量 ab 與 ab 的夾角為 練習(xí) 3、已知
4、22ax235b 且 a 與 b 的夾角為鈍角求 x 的取值范圍 練習(xí) 4、已知 sincostanaaaacossincotbaaa且 ab 則且 a 角_AM1_NB_PQ練習(xí)2 如圖在邊長為2 的正方體ABCD-A1B1C1D1中取D 點為原點建立空間直角坐標(biāo)系N、M、P、Q分別是AC、DD1 、CC1、 A1B1 的中點寫出下列向量的坐標(biāo).zxyABCDA1B1C1D1NMPQ例 2 設(shè)Ax1y1z1Bx2y2z2則AB證明如圖因為正方體的棱長為1 分別以DA 、 DC 、1DD為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz如圖棱長為1的正方體1111ABCDABCD中 EF 分別是1BB1
5、1DB中點求證1EFDA則1112E11122F所以111222EF又1101A000D所以 1101DA 所以因此 1EFDA 即 1EFDA練習(xí)已知A 、B 、C 三點的坐標(biāo)分別為2-12 、45-1 、-223 若求 P 點的坐標(biāo)。 12APABAC課堂小結(jié)空間向量的坐標(biāo)運算公式、模長公式、夾角公式及其應(yīng)用。注空間向量的坐標(biāo)運算公式、模長公式、夾角公式的形式與平面向量中相關(guān)內(nèi)容一致因此可類比記憶 YXZABCD1A1B1C1DEF 例 2 在正方體 ABCD A1B1C1D1 中 E、F 分別是 BB1 、CD 的中點求證D1F 平面 ADE 練習(xí) 1 如圖建立直角坐標(biāo)系已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為 2 求正方體各頂點的坐標(biāo)zxyABCDA1B1C1D1設(shè) Ax1y1z1Bx2y2z
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