-版兩角和與差正弦、余弦和正切公式

1、第五節(jié)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式考綱傳真1會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式2會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式3會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系4能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角恒等變換（包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）.抓基礎(chǔ)自主學(xué)習(xí)|-初自切評(píng)21cosa=2(1+cos2o).(3)公式的逆用：21isin2a=(sinaicosa;4.輔助角公式asina+bcosa=a2+b2sin(a+(D其中tan©=£.學(xué)情自測(cè)1.（思考辨析）判斷下列結(jié)論的正誤

2、.（正確的打“V”，錯(cuò)誤的打“X”）（1）存在實(shí)數(shù)a,3使等式sin(a+3=sina+sin3成立.()在銳角厶ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不確定.（）八亠tana+tan3(3)公式tan(a+3=彳丄丄c可以變形為tana+tanAtan(計(jì)3(1tan1tanaan3atan3,且對(duì)任意角a,3都成立.（）（4）公式asinx+bcosx=a2+b2sin（x+中©的取值與a,b的值無(wú)關(guān).（）答案(1)2(2)X(3)XX(教材改編)sin20cos10cos160sin10=()2B.22.C.D"1sin20°cos10°

3、cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=1sin(20+10°=sin30=?,故選D.13.(2016全國(guó)卷川)若tan=3,則cos29=()B.-11C.54d4cos0sin01tanBDHos20=2亍=亍.cos0+sin01+tan0111194又，.tan0=3,cos20=5.1+9的最小值為4.(2017云南二次統(tǒng)一檢測(cè))函數(shù)f(x)=3sinx+cosx2函數(shù)f(x)=2sin+f的最小值是2.5.若銳角a,B滿足(1+Q3tana(1+3tan3=4,貝Ua+n

4、由(1+,3tanc)(1+'.3tan3=4,tana+tan3ll可得=3,即卩tan(a+3=3.1tanatan3又a+氏(0,n又a+氏(0,nn二a+3=3.明考向題型突破|明考向題型突破|滬冋丄II二角函數(shù)式的化簡(jiǎn)(1)化簡(jiǎn):(1)化簡(jiǎn):2sin2a2cosa(2)化簡(jiǎn):4212cosx2cosx+2in2tan4x.2nin4+x(1)22cosa(1)22cosa22sinaosa2cosa原式=2=2!2cosa2sinacosa112cos2x.規(guī)律方法1三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則(1) 一看“角”，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，從而正確使

5、用公式.二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，最常見的是“切化弦”(3) 三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向.2. 三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的方法弦切互化，異名化同名，異角化同角，降幕或升幕.變式訓(xùn)練1化簡(jiǎn)sin2asin2；a+孑sin2a=1cos2a+32sinarn1cos2a3I11lcos(2an+C0S2a+sin2a=1cos2acos扌-sin2a=1COS2a法一：原式=2+cos2a122二2.111法二：令a=0，則原式=1+4=2|L?iML=：1|L?iML=：1三角函數(shù)式的求值?角度1給角求值卜例2-12cos10sin20(1)sin70

6、A.1bFC.3(2)sin50(1°<3tan10)=D.22coq30°20sin20(1)C(2)1(1)原式=sin702(cos30°os20牛sin30Sin20)sin20sin703cos20°=cos20°=3.(2)sin50(1°V3tan10)°=sin50sin10°cos10°=sin50cos10+V3sin10乂cos10=sin5021cos10°毘in10乂2cos10_2sin50°s50=sin100=cos10=cos10°_c

7、os10_cos10_1.?角度2給值求值卜例(1)(2016全國(guó)卷u)若cosnal：35,貝Usin2a=()A.25Bi1C51_25n=（2016安徽十校聯(lián)考）已知a為銳角，且7sina2cos2a,則sin,a+3/1+35A.81+5)3B.rC.1-3,5""8D.1-5；3""8D(2)Ajn(1)TCOS4'sin2、(n)2a=COS24a2n=2cos24-9仁2X251725.由7sina2cos2a得7sina2(12sina,即4sina+7sina2=0,in(n11J3sina+3=4X尹三込(n11J3sina+

8、3=4X尹三込1J5a=2(舍去)或Sina=4.%為銳角,COsa=1+3；58，故選A.角度3給值求角已知sina=*5，sin(a00，aB均為銳角，則角B等于(冗nD6nnCTa,B均為銳角，一2<aB<2.又sin(a-B)=.1010，'COs(aB=31010又sina=f，COsa=2；55sinB=sina(aB)=sinacos(aBcoso(sin(aB=叵遠(yuǎn)5X匚血L迄-5105廠10丿2.n-，B=4規(guī)律方法1.“給角求值”中一般所給出的角都是非特殊角，應(yīng)仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角之間的關(guān)系，結(jié)合公式將非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)求解.2

9、. “給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系.3. “給值求角”：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，最后確定角三角變換的簡(jiǎn)單應(yīng)用卜例已知函數(shù)f(x)=sinxsin2xg，xR.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31222124】(1)求f(x)的最小正周期；求f(x)在區(qū)間一3，4上的最大值和最小值.解(1)由已知，有1cos2xf(x)21cos2x3=22cos2x23sin2xcos2x.nsin2x4COS2x=勞“2xg.2冗所以f(x)的最小正周期T冗5分因?yàn)閒(x)在區(qū)間nn上是減函數(shù),nn|在區(qū)間卜6

10、,4上是增函數(shù),n134,n134,n162,所以f(x)在區(qū)間扌，才上的最大值為普，最小值為2.12分規(guī)律方法1.進(jìn)行三角恒等變換要抓?。鹤兘?、變函數(shù)名稱、變結(jié)構(gòu)，尤其是角之間的關(guān)系；注意公式的逆用和變形使用.2.把形如y=asinx+bcosx化為y=-：a2+b2sin(x+©其中tan片,可進(jìn)步研究函數(shù)的周期、單調(diào)性、最值與對(duì)稱性.變式訓(xùn)練2(1)(2016山東高考)函數(shù)f(x)=(一3sinx+cosx)(3cosxsinx)的最小正周期是()7t3nC.gD.2n(2014全國(guó)卷U)函數(shù)f(x)=sin(x+©2sin杞osx的最大值為(1)B(2)1法一：-f

11、(x)=C.3sinx+cosx)(V3cosxsinx)惶sinx+2cosx胯cosx坯x)n4sinx+6cosx+診2sin2n-T=2=n.法二：行(刈二(3sinx+cosx)/3cosxsinx)=3sinxcosx+3cosx/3sin2xsinxcosx=sin2x+.3cos2x=2sin2x+=2sin2x+°T=2=n故選B.(2) f(x)=sin(x+©2sin©cosx=sinxcos©+cosxsin©2sin©cosx=sinxcos©cosxsin©=sin(x©.f(

12、x)max=1.名師微博思想與方法三角恒等變換的三種變換角度(1) 變角：設(shè)法溝通所求角與已知角之間的關(guān)系常用的拆角、拼角方法是:B.'1若已a(bǔ)+Bccpa_B(,位fa2a=(a+®+(a®,a(a+®p,A_222好2&+(2) 變名：盡可能減少函數(shù)名稱，其方法是“弦切互化”，“升幕與降幕'的代換等.(3) 變式：對(duì)式子變形要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等.易錯(cuò)與防范1. 三角函數(shù)是定義域到值域的多對(duì)一的映射，時(shí)刻關(guān)注角的范圍是防止增解的有效措施.求角的某一三角函數(shù)值時(shí)，應(yīng)選擇在該范圍內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，知正切函數(shù)值，則選正切函數(shù)；否則，若

13、角的范圍是(0，n)選余弦較好；若角2. 計(jì)算形如y=sin（3x+©）,xCa,b形式的函數(shù)最值時(shí)，不要將3x+©的范圍和x的范圍混淆.課時(shí)分層訓(xùn)練（二一）兩角和與差的正弦、余弦和正切公式A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)（建議用時(shí)：30分鐘）、選擇題1.已知sin2a=3，則cos21a+n等于(【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31222125】1c.2A因?yàn)閏osa+(n二1+cos2a+21-sin2a1_2=2=zOCO2.cos25°一等于（)A.2B.2c，2D.1C廠2c廠0sin5+2sin25原式=cos250o1cos25°2.sin30。-25°+-sin2502

14、cos25cos25xx9x3. （2017杭州二次質(zhì)檢）函數(shù)f（x）=3sin2cos2+4co§2（xR）的最大值等于5A.29-2BD1+cosx3=sinx+2cosx+2<92,故選B.n4. （2016福建師大附中月考）若sin§a=4貝UCOS扌+2a=()C.4d.7Acos冗2n-2n-2a=-1-2si-1-2X|.5.定義運(yùn)算=ad-bc.若cosa1=7,sinasinB3血cosacosB14,0VBVaB由題意知f(x)=|sinx+4X?nV2,則B等于（【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31222126】冗冗nD37.（2016吉林東北師大附中等校聯(lián)考）已知0

15、v9<ntan0+4=7，那么sin/ntan+113由tan0+4=1匚=7,解得tan0=4,“sin03即cos0=4,'cos0=|sin0,'sin20+cos0=sin2(+£sin20=sin20=1.0<<nsin0=3，cos=5,sin0+cos=5.8.化簡(jiǎn)一2+2cos8+21sin8=0D依題意有sinacospcososin=sin(a3=313,又0<B<a<扌,n<a_3<2,故cos(a3=cos(90°+10°1+sin101sin21+sin10°21+

16、sin10°2a3=1|,H14/3而cosa=7，.°sina=7,于是sin=sina(a=sinacos(a3cosocsin(a3=込進(jìn)1x疤並故汀7147142.故33.二、填空題sin250°6.1+sin10sin250°1cos1001+sin10°21+sin10°【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31222127】=j2X2cos24+2寸(sin4-cos4)=一2cos4+2(cos4sin4)=2sin4.三、解答題,.n'口.aa69.已知a，冗，且sin+cos2=2*求COSa的值;(2)若sin(a3=aa/61n解

17、(1)因?yàn)閟in2+cos2=2，兩邊同時(shí)平方，得sina=2.又2<*n所以COSa="23.5分nn(2)因?yàn)?<avnnnnn所以一n<一3<一2，故一2<a3<2*7分.3/口又sin(a-3=一5,彳得cos(a一cos3=cosa(a3)=cosaos(a3+sinosin(a3341寸4+2X341寸4+2X343+3一5=一10*12刀10.已知函數(shù)f(x)=(1)求函數(shù)f(x)的定義域；4設(shè)a是第四象限的角，且tana=3，求f(M的值.解(1)要使f(x)有意義，則需cosXM0,12(2)f(x)=#sin2x#cos2xco

18、sx2cosx4gcosa1+cos2xsin2x2cosx2sinxcosx（建議用時(shí):15分鐘）cos2a1.若一sina2，貝Ucos計(jì)sina的值為（【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31222128】dFA.-于C-2I-¥(sinoc-cosa小cos2acsina2-cosaSina廠.亞.oc+cosn2，貝Usin3a+sin3：.2(sina+cosc)2,sin2.已知sina+sin#V3(cosp-cosc),a,英.0,0由已知得：sina+3cosa=Q3cospsinB,即cos即cos(6=cos時(shí)6，nnn故aE+g，即a=p+3.'sin3a+sin3fsin(3B+n+sin3p0.3.已知函數(shù)f(x)2sinxsinx+g.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;當(dāng)x0,扌時(shí)，求函數(shù)f(x)的值域.解(1)f(x)2sinx毘inx+|cos1cos2x12+2sin2xsin2x所以函數(shù)f(x