一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系_初三數(shù)學主講教師：李綠江

1、一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系及根與系數(shù)的關系 初三數(shù)學初三數(shù)學主講教師主講教師: :李綠江李綠江A由解方程引入由解方程引入:解方程: x2x10 b24ac145 x24x40 b24ac16160 2x23x40 b24ac9320 此方程無實數(shù)根,可見,由b24ac的值,可以判斷方程根的情況.251x22421 xxB新課新課:一、判別式1.方程ax2bxc0(a0)根的判別式是:b24ac.（1）b24ac0 方程有兩個不相等的實數(shù)根 （2）b24ac0 方程有兩個相等的實數(shù)根 （3）b24ac0 方程沒有實數(shù)根.abxx221abx22、判別式的應用 （

2、1）直接判斷一元二次方程根的情況;（2）由題目給出的一元二次方程根的情況,求出a、b、c 中待定系數(shù)的值或取值范圍.例例1 不解方程不解方程,判斷下列方程根的情況判斷下列方程根的情況.（1）2x23x10（2）（3）5x27x50（4）kx2(2k1)xk10(k0)22 220 xx（1）2x2 3x 1 0（2）（3）5x2 7x 5 0（4）kx2 (2k 1)x k 1 0(k 0)解（1）(3)2421980 方程（1）有兩個不等的實根. （2） 方程（2）有兩個相等的實數(shù)根. （3）(7)245549100 0 方程（3）無實數(shù)根. （4）(2k1)24k(1k) 4k24k14k

3、4k28 k210 （無論k為何值均有8 k210） 方程（4）有兩個不等實根. 08824)22(222 220 xx今后遇到二次方程馬上先由判斷一下根的情況這是解題 的良好習慣.例例2 關于關于x的方程的方程(m 2)x2 2(m 1)x m 1 0在下列條件下在下列條件下, 分別求分別求m的非負整數(shù)值的非負整數(shù)值.（1 1）方程只有一個實數(shù)根；）方程只有一個實數(shù)根；（2 2）方程有兩個相等的實數(shù)根；）方程有兩個相等的實數(shù)根；（3 3）方程有兩個不相等的實數(shù)根）方程有兩個不相等的實數(shù)根. .解:（1）當m20即m2時方程為一元一次方程2x30, 即m2時,已知方程只有一個實數(shù)根.32x （

4、2）當方程有兩個相等的實根時,必須且只需 解出 m3時,方程有兩個相等的實數(shù)根.（3）當方程有兩個不相等實數(shù)根時,必須且只需 解出 又m是非負整數(shù) m0或m1 小結:使用時必須在a0的前題下. 124002mm32mm002m32mm例例3. m取什么值時取什么值時,關于關于x的方程的方程2x2 (m 2)x 2m 2 0有兩個相等的實數(shù)根？有兩個相等的實數(shù)根？并求出這時方程的根并求出這時方程的根.解:方程有兩個相等的實數(shù)根,(m2)28(2m2)m212m20(m2)(m10)0m12 m210當m12時 當m210時所求m2或m10 ,方程的根為1或3.14221mxx34221mxx例例

5、4 求證求證:無論無論a為任何實數(shù)為任何實數(shù),關于關于x的方程的方程x2 (2a 1)x a 3 0總有兩個不相等的實數(shù)根總有兩個不相等的實數(shù)根.證:(2a1)24(a3)4a28a134(a1)29即0無論a為任何實數(shù) (a1)20 4(a1)290無論a為任何實數(shù),方程x2(2a1)xa30總有兩個不等實根.由例4可知:要說明0常將它配成完全平方式正數(shù).觀察下表.方程x1x2x1x2x1x2x22x00220 x23x404134x25x602356觀察兩根之和,兩根之積與a、b、c的關系;兩根之和一次項系數(shù)的相反數(shù);兩根之積常數(shù)項.推廣 方程ax2bxc0(a0 b24ac0)變形為 由

6、求根公式 與上述觀察結果對比,可得到根系關系.aacbbx242102acxabxaacbbx2422acaacbbaacbbxx24242221abaacbbaacbbxx24242221二、根系關系二、根系關系1、關于x的方程ax2bxc0(a0,b24ac0)的兩根x1、x2與系數(shù)a、b、c的關系是: 注:應用根系關系的前題是a0且02、根系關系的應用:（1）已知方程的一根,求另一根及字母系數(shù)的值.（2）已知兩根之間的關系,確定方程中字母系數(shù)的值.12bxxa 12cxxa例例5 已知方程已知方程 的一個根是的一個根是 1,求求k及另及另一根一根解法一:設方程的另一根為x1所求 ,022

7、kxx111121221xkxxk 12 k21x解法二 1是方程的根 方程為 x21所求 另一根為引申:若 x21 則對應的方程是什么？即以 ,1為根的方程為 021120()k()12 k02) 12(2xx0) 1)(2(xx21x12 k221x22) 12(2xx例例6 方程方程x2 (m 1)x 2m 1 0求求m滿足什么條件時滿足什么條件時,方方程的兩根互為相反數(shù)？方程的兩根互為倒數(shù)？方程的兩根互為相反數(shù)？方程的兩根互為倒數(shù)？方程的一根為零？程的一根為零？解:(m1)24(2m1)m26m5兩根互為相反數(shù) 兩根之和m10,m1,且0 m1時,方程的兩根互為相反數(shù).兩根互為倒數(shù) m26m5, 兩根之積2m11 m1且0, m1時,方程的兩根互為倒數(shù).方程一根為0, 兩根之積2m10 且0, 時,方程有一根為零.21m21m引申:1、若ax2bxc0 (a0 0)（1）若兩根互為相反數(shù),則b0;（2）若兩根互為倒數(shù),則ac;（3）若一根為0,則c0 ;（4）若一根為1,則abc0 ;（5）若一根為1,則abc0;（6）若a、c異號,方程一定有兩個實數(shù)根.引申2 若a、b是方程x22x70的兩個實數(shù)根,求:a2b2 a23b24b a35b2b76的值.解:由根系關系ab2,ab7,a272a b272b,a2b2(ab)22ab