23　數(shù)學歸納法（１）

1、 2.3 2.3數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法(1)(1)對于某類事物，由它的一些特殊事對于某類事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情況，歸納出一般例或其全部可能情況，歸納出一般結論的推理方法，叫歸納法。結論的推理方法，叫歸納法。歸納法歸納法 完全歸納法完全歸納法不完全歸納法不完全歸納法由特殊由特殊 一般一般 特點特點:a2=a1+da3=a1+2da4=a1+3dan=a1+(n-1)d如何證明如何證明:1+3+5+(2n-1)=n2 (nN*)二、數(shù)學歸納法的概念：二、數(shù)學歸納法的概念：證明某些與自然數(shù)有關的數(shù)學題證明某些與自然數(shù)有關的數(shù)學題, ,可用下列方法可用下列方法來證明它們的正確性來證明它們

2、的正確性: :(1)(1)驗證驗證當當n n取第一個值取第一個值n n0 0( (例如例如n n0 0=1)=1)時命題成立時命題成立, ,(2)(2)假設假設當當n=k(kn=k(k N N* * ，k k n n0 0 ) )時命題成立時命題成立, , 證明當證明當n=k+1n=k+1時命題也成立時命題也成立完成這兩步，就可以斷定這個命題對從完成這兩步，就可以斷定這個命題對從n n0 0開始的所開始的所有正整數(shù)有正整數(shù)n n都成立。這種證明方法叫做都成立。這種證明方法叫做數(shù)學歸納法。數(shù)學歸納法。驗證驗證n=nn=n0 0時命時命題成立題成立若若當當n=k(n=k(k k n n0 0 )

3、)時命題成立時命題成立, , 證明當證明當n=k+1n=k+1時命題也成立時命題也成立命題對從命題對從n n0 0開始的所開始的所有正整數(shù)有正整數(shù)n n都成立。都成立。111111證明：證明：1）當n =1式，a = a +(1-1)d = a ,結論成立1）當n =1式，a = a +(1-1)d = a ,結論成立k1k1k+1kk+1kk+11k+111111n1n12)假設n = k式結論成立，即a = a +(k-1)d2)假設n = k式結論成立，即a = a +(k-1)d a= a +d a= a +d a= a +(k-1)d+da= a +(k-1)d+d = a +kd

4、= a +(k+1)-1d = a +kd = a +(k+1)-1d 綜合1）、2）知a = a +(n-1)d成立. 綜合1）、2）知a = a +(n-1)d成立.所以所以n=k+1時結論也成立時結論也成立那么那么nn1例：已知數(shù)列a 為等差，公差為d, :通項公式為a = a +(n-1)d求證求證nn-1n1已知數(shù)列a 為等為q,求證:通項：公式為a = a qnn-1nn-1練習練習比數(shù)列，比數(shù)列，公比公比（提示：a = qa）（提示：a = qa）注意注意 1 1. . 用數(shù)學歸納法進行證明時用數(shù)學歸納法進行證明時, ,要分兩個要分兩個步驟步驟, ,兩個步驟缺一不可兩個步驟缺一不

5、可. .2 (1)(1)(歸納奠基歸納奠基) )是遞推的基礎是遞推的基礎. . 找準找準n n0 0(2)(2)(歸納遞推歸納遞推) )是遞推的依據(jù)是遞推的依據(jù)n nk k時時命題成立作為必用的條件運用，而命題成立作為必用的條件運用，而n nk+1k+1時情況則有待時情況則有待利用假設利用假設及已知的定義、公式、及已知的定義、公式、定理等加以證明定理等加以證明證明：證明：當當n=1n=1時，左邊時，左邊=1=1，右邊，右邊=1=1，等式成立。，等式成立。 假設假設n=k(kN ,k1)n=k(kN ,k1)時等式成立時等式成立, ,即：即： 1+3+5+1+3+5+(2k-1)=k+(2k-1

6、)=k2 2， 當當n=k+1n=k+1時：時： 1+3+5+1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1=k+(2k-1)+2(k+1)-1=k2 2+2k+1=(k+1)+2k+1=(k+1)2 2， 所以當所以當n=k+1n=k+1時等式也成立。時等式也成立。 由由和和可知，對可知，對nN nN ，原等式都成立。，原等式都成立。例、用數(shù)學歸納法證明例、用數(shù)學歸納法證明1+3+5+1+3+5+(2n-1)=n+(2n-1)=n2 2 （nN nN ）. . 請問：請問：第第步中步中“當當n=k+1n=k+1時時”的證明可否改換為：的證明可否改換為：1+3+5+1+3+5+(2k-1)+2(k

7、+1)-1= 1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1= 1+3+5+(2k-1)+(2k+1)+(2k-1)+(2k+1)= = (k+1)= = (k+1)2 2 ? ?為什么？為什么？（k+1)1+(2k+1)2例例:用數(shù)學歸納法證明用數(shù)學歸納法證明22222222n(n+1)(2n+1)n(n+1)(2n+1)1 +2 +3 +n =1 +2 +3 +n =6 6注意注意 1 1. . 用數(shù)學歸納法進行證明時用數(shù)學歸納法進行證明時, ,要分兩個要分兩個步驟步驟, ,兩個步驟缺一不可兩個步驟缺一不可. .2 (1)(1)(歸納奠基歸納奠基) )是遞推的基礎是遞推的基礎. . 找準找準n

8、 n0 0(2)(2)(歸納遞推歸納遞推) )是遞推的依據(jù)是遞推的依據(jù)n nk k時時命題成立作為必用的條件運用，而命題成立作為必用的條件運用，而n nk+1k+1時情況則有待時情況則有待利用假設利用假設及已知的定義、公式、及已知的定義、公式、定理等加以證明定理等加以證明例、求證例、求證: :( (n+1)(n+2)n+1)(n+2)(n+n)=2(n+n)=2n n 1 1 3 3 (2n-1)(2n-1)證明：證明： n=1 n=1時：左邊時：左邊=1+1=2=1+1=2，右邊，右邊=2=21 11=21=2，左邊，左邊= =右邊，等右邊，等 式成立。式成立。 假設當假設當n=k(kN n=k(kN ）時有：）時有： (k+1)(k+2)(k+1)(k+2)(k+k)=2(k+k)=2k k 1 1 3 3 (2n-1), (2n-1), 當當n=k+1n=k+1時：時： 左邊左邊=(k+2)(k+3)=(k+2)(k+3)(k+k)(k+k+1)(k+k+2)(k+k)(k+k+1)(k+k+2) =(k+1)(k+2)(k+3) =(k+1)(k+2)(k+3)(k+k)(k+k) = 2 = 2k k 1 1 3 3(2k-1)(2k+1)(2k-1)(2k+1)2 2 =