小波變換在圖像壓縮中的應(yīng)用

1、小波變換在圖像壓縮中的應(yīng)用 施吉鳴 摘要：近十幾年來(lái)小波理論研究已成為應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)新方向。作為數(shù)學(xué)工具，小波被迅速應(yīng)用到圖像和語(yǔ)音分析等眾多領(lǐng)域。本文試圖從工程和實(shí)驗(yàn)角度出發(fā)，較為直觀地探討小波變換在圖像壓縮中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：小波 變換 重構(gòu) 圖像壓縮 1、小波概述 小波（wavelet是定義在有限間隔且平均值為0的函數(shù)，小波函數(shù)多以開發(fā)者名字命名，如圖1所示：圖1 部分小波 眾所周知，傅立葉分析是把一個(gè)信號(hào)分解成各種不同頻率的正弦波，因此正弦波是傅立葉變換的基函數(shù)。同樣，小波分析是把一個(gè)信號(hào)分解成由原始小波經(jīng)過(guò)移位和縮放后的一系列小波，因此小波是小波

2、變換的基函數(shù)，即小波可用作表示一些函數(shù)的基函數(shù)。小波是近十幾年才發(fā)展并迅速應(yīng)用到圖像和語(yǔ)音分析等眾多領(lǐng)域的數(shù)學(xué)工具，是繼110多年前建立傅立葉（Joseph Fourier）分析之后的一個(gè)重大突破。經(jīng)過(guò)十幾年的努力，小波理論基礎(chǔ)已經(jīng)基本建立并成為應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)新領(lǐng)域，引起了眾多數(shù)學(xué)家和工程技術(shù)人員的極大關(guān)注，是國(guó)際上科技學(xué)術(shù)界高度關(guān)注的前沿領(lǐng)域。本文試圖從工程和實(shí)驗(yàn)角度出發(fā)，較為直觀地探討小波變換在圖像壓縮中的應(yīng)用。 2、小波變換和重構(gòu)小波變換的基本思想是用一組小波或基函數(shù)表示一個(gè)函數(shù)或信號(hào)，例如圖像信號(hào)。以哈爾（Haar）小波基函數(shù)為例，基本哈爾小波函數(shù)（Haar wavelet

3、function）定義如下：1, 當(dāng)0x<1/2(x = -1, 當(dāng)1/2x<10, 其他設(shè)有一幅分辨率只有4個(gè)像素的一維圖像，對(duì)應(yīng)像素值為：9 7 3 5。用哈爾小波變換的過(guò)程是：計(jì)算相鄰像素對(duì)的平均值（averaging，亦可稱之為近似值approximation），得到一幅分辨率為原圖像1/2的新圖像：8 4。這時(shí)圖像信息已部分丟失，為了能從2個(gè)像素組成的圖像重構(gòu)出4個(gè)像素的原圖像，必須把每個(gè)像素對(duì)的第一個(gè)像素值減這個(gè)像素的平均值作為圖像的細(xì)節(jié)系數(shù)（detail coefficient）保存。因此，原圖像可用下面的兩個(gè)平均值和兩個(gè)細(xì)節(jié)系數(shù)表示：8 4 1 -1。可以把第一步變

4、換得到的圖像進(jìn)一步變換，原圖像兩級(jí)變換的過(guò)程如表1所示：表1 哈爾小波變換過(guò)程分辨率平均值細(xì)節(jié)系數(shù)49 7 3 5 28 41 -1162 哈爾變換過(guò)程事實(shí)上是用求均值和差值的方法對(duì)函數(shù)或圖像進(jìn)行分解，對(duì)于f(x=9 7 3 5，我們可作最多2層的分解。對(duì)于2維圖像，同樣可以用依次對(duì)行列進(jìn)行小波變換得到2維圖像的分解。這時(shí)經(jīng)過(guò)一次小波變換得到是2維圖像的近似值(CA以及水平(CH、垂直(CV和對(duì)角(CD細(xì)節(jié)分量值。顯然，從2維圖像的CA、CH、CV和CD值可以重構(gòu)出原來(lái)的2維圖像。 3、圖像壓縮事實(shí)上，去掉某些經(jīng)過(guò)小波變換得到的細(xì)節(jié)分量值對(duì)重構(gòu)圖像的質(zhì)量影響不大。

5、具體的做法是設(shè)置一個(gè)閾值，例如把的經(jīng)小波變換得到的水平(CH、垂直(CV和對(duì)角(CD細(xì)節(jié)分量值細(xì)節(jié)分量值置為0， 行 變 換列 變 換     圖2 小波圖像變換過(guò)程這樣就實(shí)現(xiàn)了圖像壓縮。為了驗(yàn)證圖像壓縮的效果，筆者使用數(shù)學(xué)軟件工具M(jìn)ATLAB 6.1設(shè)計(jì)了3級(jí)非標(biāo)準(zhǔn)小波變換和重構(gòu)圖像程序function = report(picname，同時(shí)以分辨率256×256的真彩色照片為測(cè)試圖像，通過(guò)執(zhí)行程序完成了閾值分別為0，5，10和20的情況下利用Haar小波進(jìn)行變換變換和重構(gòu)過(guò)程。以使用Haar小波，閾值

6、等于10，真彩色圖像G分量為例，小波圖像變換過(guò)程如圖2所示。 4、實(shí)驗(yàn)結(jié)論 用report('jimm'對(duì)jimm_org.png真彩圖像文件計(jì)算閾值分別為0，5，10和20的情況下進(jìn)行3級(jí)非標(biāo)準(zhǔn)haar小波變換和重構(gòu)后，系數(shù)為“0"的數(shù)目和以PNG格式存儲(chǔ)的重構(gòu)圖像文件大小，實(shí)驗(yàn)結(jié)果得到圖像測(cè)試表如表2所示：表2 圖像測(cè)試表圖像名稱閾值系數(shù)為“0"的數(shù)目PNG文件大小原始圖像jimm_org.png103KB重構(gòu)圖像 jimm_haar_00.png=019527103KB重構(gòu)圖像jimm_haar_05.png512326184KB重構(gòu)圖像ji

7、mm_haar_10.png1015500361KB重構(gòu)圖像jimm_haar_20.png2017565538KB 圖3表示了在不同閾值下的重構(gòu)圖像： =051020圖3 不同閾值下的重構(gòu)圖像 從圖像測(cè)試表和觀察不同閾值下的重構(gòu)圖像可得出以下結(jié)論：         可利用小波變換與重構(gòu)對(duì)圖像文件進(jìn)行壓縮。         通常在給定小波基函數(shù)條件下，閥值越大，系數(shù)為0的數(shù)目就越多，重構(gòu)圖像文件壓縮率也越高，重構(gòu)的圖像失真程度隨之增加。         閥值>0時(shí)，利用小波變換與重構(gòu)進(jìn)行圖像壓縮是一種有損壓縮方法，可以根據(jù)實(shí)際需要在圖像失真度允許的范圍內(nèi)選擇適當(dāng)?shù)拈y值來(lái)確定壓縮率。  參考文獻(xiàn)1 林福宗,小波與小波變換,清華大