甘志國(guó)數(shù)列求和的七種基本方法

1、數(shù)列求和的七種基本方法甘志國(guó)部分內(nèi)容(已發(fā)表于 數(shù)理天地(高中)，2014(11)：14-15)數(shù)列求和是數(shù)列問題中的基本題型，但具有復(fù)雜多變、綜合性強(qiáng)、解法靈活等特點(diǎn)，本文將通過例題(這些例題涵蓋了2014年高考卷中的數(shù)列求和大題)簡(jiǎn)單介紹數(shù)列求和的七種基本方法.1 運(yùn)用公式法很多數(shù)列的前項(xiàng)和的求法，就是套等差、等比數(shù)列的公式，因此以下常用公式應(yīng)當(dāng)熟記：還要記住一些正整數(shù)的冪和公式：例1 已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解 由,可得,，所以：(1)當(dāng)時(shí),=.(2)當(dāng)時(shí)，所以 例2 求.解 設(shè)，本題即求數(shù)列的前項(xiàng)和.高考題1 (2014年高考浙江卷文科第19題(部分)求數(shù)列的前項(xiàng)和.答案：.

2、高考題2 (2014年高考四川卷理科第19題(部分)求數(shù)列的前項(xiàng)和.答案：.高考題3 (2014年高考福建卷文科第17題)在等比數(shù)列中，.(1)求；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.答案：(1)；(2).高考題4 (2014年高考重慶卷文科第16題)已知是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，表示的前項(xiàng)和.(1)求及；(2)設(shè)是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，公比滿足，求的通 項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和.答案：(1)；(2).2 倒序相加法事實(shí)上，等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式推導(dǎo)方法就是倒序相加法.例3 求正整數(shù)與之間的分母為3的所有既約分?jǐn)?shù)的和.解 顯然，這些既約分?jǐn)?shù)為：有 也有 所以 例4 設(shè)，求和.解 可先證得，由此結(jié)論用倒序相加

3、法可求得答案為.3 裂項(xiàng)相消法例5 若是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，求證：.證明 設(shè)等差數(shù)列的公差為：若，要證結(jié)論顯然成立；若，得 例8 證明且. 證明 高考題5 (2014年高考全國(guó)大綱卷理科第18題)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，為整數(shù)，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.答案：(1)；(2).高考題6 (2014年高考廣東卷文科第19題)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.(1)求的值；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)，有.答案：(1)；(2)；(3)當(dāng)時(shí)，可得欲證成立.當(dāng)時(shí)，再用裂項(xiàng)相消法可得欲證. 高考題7 (2014年高考山東卷理科第19題)已知等差數(shù)列的

4、公差為2，前項(xiàng)和為，且，成等比數(shù)列. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令=求數(shù)列的前項(xiàng)和.答案：(1)，.4 分組求和法例9 求.解 設(shè)，得.所以本題即求數(shù)列的前項(xiàng)和： 例10 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，又，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解 在中，令可求得.還可得相減，得所以是首項(xiàng)為1公差為2的等差數(shù)列，得所以 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，總之，.高考題8 (2014年高考北京卷文科第15題)已知是等差數(shù)列，滿足，數(shù)列滿足，且是等比數(shù)列. (1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.答案：(1)；(2). 高考題9 (2014年高考山東卷文科第19題)在等差數(shù)列中，已知公差，是與的等比中項(xiàng). (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公

5、式； (2)設(shè)，記，求.答案：(1)，.高考題10 (2014年高考浙江卷理科第19題(部分)求數(shù)列的前項(xiàng)和.答案：.5 錯(cuò)位相減法高考題11 (2014年高考江西卷理科第17題)已知首項(xiàng)都是1的兩個(gè)數(shù)列N*)滿足.(1)令，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解 (1).(2)得.先寫出的表達(dá)式： 把此式兩邊都乘以公比3，得 -，得 由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，得 因?yàn)榇私獯鸫_實(shí)步驟多，且有三步容易出錯(cuò)：(1)等式右邊前項(xiàng)的符號(hào)都是“+”，但最后一項(xiàng)是“”；(2)當(dāng)?shù)仁接疫叺那绊?xiàng)不組成等比數(shù)列時(shí)，須把第一項(xiàng)作微調(diào)，變成等比數(shù)列(即等式)，這增加了難度；(3)等式中最后一步的變形(即合并

6、)有難度.但這種方法(即錯(cuò)位相減法)又是基本方法且程序法，所以備受命題專家的青睞，在高考試卷中頻頻出現(xiàn)就不足為怪了.考生在復(fù)習(xí)備考中，應(yīng)徹底弄清、完全掌握，爭(zhēng)取拿到滿分.這里筆者再給出一個(gè)小技巧檢驗(yàn)：算得了的表達(dá)式后，一定要抽出萬(wàn)忙的時(shí)間檢驗(yàn)一下是否正確，若它們均正確，一般來(lái)說就可以確定算對(duì)了，否則就算錯(cuò)了，需要檢查(重點(diǎn)是檢查容易出錯(cuò)的三點(diǎn))或重算.對(duì)于本題，已經(jīng)算出了，所以.而由通項(xiàng)公式可知，所以求出的答案正確. 高考題12 (2014年高考課標(biāo)全國(guó)卷I文科第17題)已知是遞增的等差數(shù)列，是方程的根. (1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.答案：(1).(2)用錯(cuò)位相減法可求得答案為.

7、 高考題13 (2014年高考安徽卷文科第18題)數(shù)列滿足N*.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.答案：(1)略.(2)由(1)可求得，所以，再用錯(cuò)位相減法可求得. 高考題14 (2014年高考四川卷文科第19題)設(shè)等差數(shù)列的公差為，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上N*). (1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線在軸上的截距為，求數(shù)列的前項(xiàng)和.答案：(1)略.(2)可求得，所以，再用錯(cuò)位相減法可求得. 高考題15 (2014年高考四川卷理科第19題)設(shè)等差數(shù)列的公差為，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上N*).(1)若，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(2)若，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線

8、在軸上的截距為，求數(shù)列的前項(xiàng)和.答案：(1).(2)可求得，所以，再用錯(cuò)位相減法可求得答案為.6 待定系數(shù)法例11 數(shù)列的前項(xiàng)和 .解 設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，得 先用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和：所以有下面的結(jié)論成立：若分別是等差數(shù)列、等比數(shù)列(其公比)，且均是與無(wú)關(guān)的常數(shù)，則數(shù)列的前項(xiàng)和，其中是與無(wú)關(guān)的常數(shù).由此結(jié)論就可以用待定系數(shù)法快速求解本題：可設(shè)(其中是常數(shù)).可得，所以，解得，所以.例12 求和.解 得.用待定系數(shù)法可求出該等式的右邊為，所以.七、求導(dǎo)法、積分法例13 (1)求證：；(2)求證：；(3)求數(shù)列的前項(xiàng)和(此即例6).解 (1)當(dāng)時(shí)，顯然成立.當(dāng)時(shí)，由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式知，欲證結(jié)論也成立.(2)視(1)的結(jié)論為兩個(gè)函數(shù)相等，兩邊求導(dǎo)后即得欲證成立.(3).由(2)的結(jié)論中令，得數(shù)列的前項(xiàng)和為；又?jǐn)?shù)列的前項(xiàng)和為.所以數(shù)列的前項(xiàng)和為高考題16 (2008年高考江蘇卷第23題)請(qǐng)先閱讀：在等式R)的兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得.由求導(dǎo)法則，得，化簡(jiǎn)后得等式.(1)利用上題的想法(或其他方法)，試由等式R，整數(shù)證明：.(2)對(duì)