概率統(tǒng)計試題解析

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計試題解析概率論與數(shù)理統(tǒng)計試題解析(05.1)(05.1)一、選擇題(本題共10小題, 每小題3分, 滿分30分. 在每小題給出的四個選項中, 只有一項符合題目要求, 把所選項前的字母填在題后的括號內.) 1. 設A, B為任意兩個事件, 且AB,P(B)0, 則下列選項必然成立的是: (A) P(A)P(A|B); (D) P(A)P(A|B); 解 因為 P(A|B)P(AB)/P(B) P(A)/P(B) P(A) B2. 已知“A不發(fā)生或者B發(fā)生”的概率是0.4，則“A發(fā)生而B不發(fā)生” 的概率是: (A)0.16; (B)0.4; (C)0.6; (D)0.8. 解 因為

2、 A+B=AB 德摩根律 所以 P(AB)1P(A+B)10.4=0.6C 或采用特值法：取AB= 則： AB=A 0.4， 于是： AB=A=10.4=0.6SABBAAB=3. 設隨機變量X的分布律為:PX=-1=0.4, PX=0=0.2, PX=1=0.4, 則概率PX2=1等于 (A)0.2; (B)0.4; (C)0; (D)0.8. 4. 參數(shù)為5的泊松分布的期望和方差是 (A)5, 25; (B)1/5, 1/25; (C)5, 1/5; (D)5, 5. 解 PX2=1PX=1PX=10.4+0.4=0.8D 解 若(), 則E(X)=, D(X)=D 5. 設隨機變量X服從

3、參數(shù)為1/3的指數(shù)分布, 則PX1等于 (A)13e; (B)1e3; (C) 1e3; (D)13e. 解 PX1=1( )f x dx1303xedx31 e C 6. 設隨機變量X服從正態(tài)分布N(, 2), 則隨著的增大, 概率P|X| (A)增減不定;(B)單調減小;(C)單調增大;(D)保持不變. D 解 P|X| | 1XP 2(1)17. 均值為,方差為2的獨立同分布的隨機變量X1,X2,Xn 的算術平均值 ,當n充分大時, 近似地服從 (A)指數(shù)分布; (B)二項分布;(C)泊松分布;(D)正態(tài)分布. 11nkkXXn 解 由獨立同分布的中心極限定理知：( ,) ,nXN近 似

4、 地 /n充 分 大D8. 設兩個相互獨立的隨機變量X和Y的方差分別為4和2, 則隨機變量3X2Y的方差是 (A)8; (B)16; (C)28; (D)44. 9. 設隨機變量X和Y都服從標準正態(tài)分布, 則 (A) X+Y服從正態(tài)分布; (B) X2+Y2服從2分布; (C) X2和Y2都服從2分布; (D) X2/Y2服從F分布。 解 D(3X2Y)D(3X)+D(2Y)=9D(X)+4D(Y)D 解 由2分布的定義知X2和Y2都服從2(1)分布.C10. 設相互獨立的隨機變量X和Y分別服從正態(tài)分布N(0,1)和N(1, 1), 則 (A) PX+Y0=1/2; (B) PX+Y1=1/2

5、 ; (C) PXY0=1/2; (D) PXY1=1/2。 解 由于隨機變量X和Y相互獨立，所以 XYN(1, 2), XYN(1, 2)于是 PXY1=PXY10=(0)=1/2B二、計算題(本題共2小題, 每小題5分, 滿分10分.) 1. 兩兩相互獨立的三個事件A,B,C滿足條件: ABC= ,P(A) =P(B)=P(C)0)，二次方程y24yX=0無實根的概率為1/2, 求。 解 由二次方程y24yX=0無實根得： 4X0, 所以有 1/2=P4X4=P(X)/(4)/ =1(4)/于是有： (4)/0即： 4求fX(x)。 2. 設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為6 ,01(

6、, )0,xxyf x yelse 解 0 x1時， fX(x)( , )f x y dy16xxdy6 (1)xx即 fX(x)6 (1),010,xxxelse求PX+Y1。 3. 設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為6 ,01( , )0,xxyf x yelse 解 PX+Y11( , )x yf x y dxdy 1/2106xxxdydx 1/206 (1 2 )xx dx231/20(34)|xx3/4 1/21/4xyo1/211 4. 設隨機變量X的概率密度為 ,求隨機變量Y=eX的概率密度fY(y)。,0( )0 ,0 xexf xx 解 由于Y=eX1, 所以y1時有：l

7、n( )yf x dx FY(y)=PYyPeXy=PXlnyln0yxe dx1 1/ y fY(y)FY(y)=y2即 fY(y)2,10 ,1yyy1. 已知隨機變量X與Y的分布律分別為PX=0=0.4, PX=1=0.6和PY=1=0.2, PY=0=0.3,PY=1=0.5,且X與Y相互獨立. 求隨機變量X與Y的聯(lián)合分布律以及隨機變量Z=maxX,Y的分布律. 四、計算題(本題共5小題, 每小題6分, 滿分30分.) 解 X與Y的聯(lián)合分布律為： Y X10101 Z只取0, 1兩個值，其分布律為： PZ=0=PX=0,Y=1+PX=0,Y=0=0.2 PZ=1=PX=1+PX=0,Y

8、=1=0.80.080.120.20.120.180.3 2. 已知隨機變量X與Y的聯(lián)合分布律為 求X與Y的協(xié)方差Cov(X,Y)。 Y X1200.20.410.30.1 解 E(X)=0(0.2+0.4)+1(0.3+0.1)=0.4, E(Y)=1(0.2+0.3)+2(0.4+0.1)=1.5 E(XY)=0(0.2+0.4)+10.3+20.1=0.5于是有 Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)=0.1 3. 設隨機變量Xb(8, 0.5), 試根據(jù)切比雪夫不等式估計P|XE(X)|2。 解 由于Xb(8, 0.5), 所以有D(X)=2 由切比雪夫不等式有： P|XE(X)|

9、2 D(X)/22=0.5 4. 已知一批零件的長度X(單位:cm)服從正態(tài)分布N(,1), 從中隨機地抽取16個零件, 得到長度的平均值為40(cm), 求的置信度為0.95的置信區(qū)間. (注: 標準正態(tài)分布函數(shù)值(1.96)=0.975,(1.645)=0.95) 解 由于(0,1)1/XNn所以0.025|0.951/XPzn 由于z0.0251.96，于是， 的一個置信度為0.95的置信區(qū)間為0.0250.02511,XzXznn (39.51, 40.49 ) 5. 設X1,X2,Xn是來自參數(shù)為的泊松分布總體X的簡單隨機樣本, 試求參數(shù)的矩估計量和最大似然估計量。 解 1=E(X)

10、=用A1代替1，得的矩估計量為 設x1, x2,xn是相應于樣本X1,X2,Xn的一個樣本值, X的分布律為1AX PX=x=!xex故似然函數(shù)為111( )!niiixxnnniiiieeLxx11ln ( )lnln!nniiiiLxnx令解得的最大似然估計值為11niixn1ln ( )0niixdLnd所以的最大似然估計量為11niiXXn 1P(A)P(AB)五、證明題(本題滿分6分.) 設A、B是任意二事件, 其中A的概率不等于0和1. 證明: PB|A=PB|A是事件A與B獨立的充分必要條件. 證明 必要性：設PB|A=PB|A則有：P(AB)/P(A)=P(AB)/P(A)于是： P(A)P(