第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1、第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型本章知識(shí)點(diǎn)本章知識(shí)點(diǎn)：線性系統(tǒng)的輸入輸出傳遞函數(shù)描述線性系統(tǒng)的輸入輸出傳遞函數(shù)描述建立機(jī)電系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的機(jī)理分析法建立機(jī)電系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的機(jī)理分析法傳遞函數(shù)的定義與物理意義傳遞函數(shù)的定義與物理意義典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型框圖及化簡(jiǎn)方法框圖及化簡(jiǎn)方法信號(hào)流程圖與梅遜公式應(yīng)用信號(hào)流程圖與梅遜公式應(yīng)用非線性數(shù)學(xué)模型的小范圍線性化非線性數(shù)學(xué)模型的小范圍線性化第一節(jié) 線性系統(tǒng)的輸入/輸出時(shí)間函數(shù)描述物理模型物理模型任何元件或系統(tǒng)實(shí)際上都是很復(fù)雜的，任何元件或系統(tǒng)實(shí)際上都是很復(fù)雜的，難以對(duì)它作出精確、全面的描述，必須進(jìn)行簡(jiǎn)化難以對(duì)它作出精確、全面

2、的描述，必須進(jìn)行簡(jiǎn)化或理想化。簡(jiǎn)化后的元件或系統(tǒng)稱為該元件或系或理想化。簡(jiǎn)化后的元件或系統(tǒng)稱為該元件或系統(tǒng)的物理模型。簡(jiǎn)化是有條件的，要根據(jù)問題的統(tǒng)的物理模型。簡(jiǎn)化是有條件的，要根據(jù)問題的性質(zhì)和求解的精確要求來(lái)確定出合理的物理模型。性質(zhì)和求解的精確要求來(lái)確定出合理的物理模型。數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型物理模型的數(shù)學(xué)描述。是指描述系統(tǒng)物理模型的數(shù)學(xué)描述。是指描述系統(tǒng)輸入、輸出以及內(nèi)部各變量之間動(dòng)態(tài)關(guān)系的數(shù)學(xué)輸入、輸出以及內(nèi)部各變量之間動(dòng)態(tài)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。表達(dá)式。數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模從實(shí)際系統(tǒng)中抽象出系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的從實(shí)際系統(tǒng)中抽象出系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的過程。過程。建立物理系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法 機(jī)理分析法機(jī)理分析法 對(duì)

3、系統(tǒng)各部分的運(yùn)動(dòng)機(jī)理進(jìn)對(duì)系統(tǒng)各部分的運(yùn)動(dòng)機(jī)理進(jìn)行分析，按行分析，按 照它們遵循的物理規(guī)律、化照它們遵循的物理規(guī)律、化學(xué)規(guī)律列出各物理量之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式學(xué)規(guī)律列出各物理量之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式,建立起系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。建立起系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 實(shí)驗(yàn)辯識(shí)法實(shí)驗(yàn)辯識(shí)法 對(duì)系統(tǒng)施加某種測(cè)試信號(hào)對(duì)系統(tǒng)施加某種測(cè)試信號(hào)（如階躍、脈沖、正弦等），記錄基本（如階躍、脈沖、正弦等），記錄基本輸出響應(yīng)（時(shí)間響應(yīng)、頻率響應(yīng)），估輸出響應(yīng)（時(shí)間響應(yīng)、頻率響應(yīng)），估算系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。算系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。機(jī)理分析法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的步驟機(jī)理分析法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的步驟確定系統(tǒng)的輸入量、輸出量；確定系統(tǒng)的輸入量、輸出量；根據(jù)物理定律列

4、寫原始方程；根據(jù)物理定律列寫原始方程；消去中間變量，寫出表示系統(tǒng)輸入、消去中間變量，寫出表示系統(tǒng)輸入、輸出關(guān)系的線性常微分方程。輸出關(guān)系的線性常微分方程。機(jī)理分析法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型舉例機(jī)理分析法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型舉例例例2-1:2-1:圖圖2-1為為RC四端無(wú)源網(wǎng)絡(luò)。試列寫以四端無(wú)源網(wǎng)絡(luò)。試列寫以U1(t)為輸入量，為輸入量，U2(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程。為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程。解：解：設(shè)回路電流設(shè)回路電流i1、i2，根據(jù)克希霍夫定律，列，根據(jù)克希霍夫定律，列寫方程組如下寫方程組如下U1 R1R2U2C1C2圖圖2-1 2-1 RC組成的四端網(wǎng)絡(luò)組成的四端網(wǎng)絡(luò)1111cUiRU(1)dtii

5、CUc)(12111(2)2221ccUiRU(3)dtiCUc2221(4)22cUU(5)機(jī)理分析法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型舉例機(jī)理分析法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型舉例由由(4)、(5)得得由由(2)導(dǎo)出導(dǎo)出將將i1、i2代入代入(1)、(3)，則得，則得U1 R1R2U2C1C2圖圖2-1 2-1 RC組成的四端網(wǎng)絡(luò)組成的四端網(wǎng)絡(luò)22222cdUdUiCCdtdt11211212ccdUdUdUiCiCCdtdtdt122112222()cdUdUdUR CCR CUdtdtdtU222111cUiRiRU 這就是這就是RC四端網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型，為二階線性四端網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型，為二階線性常微分方程。常微分方程

6、。22112 222222()ddUdUR CR iUCR CUdtdtdt22222112211122222d UdUdUdURC R CRCRCR CUdtdtdtdt2221212111222212()d UdUR R C CRCRCR CUUdtdt機(jī)理分析法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型舉例機(jī)理分析法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型舉例機(jī)理分析法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型舉例機(jī)理分析法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型舉例例例2-2 圖圖2-6 所示為電樞控制所示為電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的微分方程，要直流電動(dòng)機(jī)的微分方程，要求取電樞電壓求取電樞電壓Ua(t)（v）為輸）為輸入量，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速入量，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速 m（t）（）（rad/s）為輸出量，）

7、為輸出量，列寫微分方程。圖中列寫微分方程。圖中Ra()、La(H)分別是電樞電路的電阻分別是電樞電路的電阻和電感，和電感，Mc(NM)是折合到電是折合到電動(dòng)機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)矩。激動(dòng)機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)矩。激磁磁通為常值。磁磁通為常值。圖圖2 2- -6 6 電電 樞樞 控控 制制 直直 流流 電電 動(dòng)動(dòng) 機(jī)機(jī) 原原 理理 圖圖SM負(fù)負(fù)載載-LaRaEamJ mf mUaifia機(jī)理分析法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型舉例機(jī)理分析法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型舉例解：列寫電樞電路平衡方程解：列寫電樞電路平衡方程圖圖2 2- -6 6 電電樞樞控控制制直直流流電電動(dòng)動(dòng)機(jī)機(jī)原原理理圖圖SM負(fù)負(fù)載載-LaRaEamJmfmUaif

8、ia( )( )( )aaaa aadi tU tLRi tEdtEa電樞反電勢(shì)，其表達(dá)式為電樞反電勢(shì)，其表達(dá)式為Ea=Cem（t） Ce反電勢(shì)系數(shù)（反電勢(shì)系數(shù)（v/rad/s） 由、由、求出求出ia(t)ia(t)，代入，代入，同時(shí)，同時(shí)亦代入亦代入，得，得2( )( )()()( )( )( )( )mmamamamammemcmaaacdtdtL JL fR JR fC CtdtdtdM tC U tLR M tdt 在工程應(yīng)用中，由于電樞電路電感在工程應(yīng)用中，由于電樞電路電感La較小，較小，通常忽略不計(jì)，故可簡(jiǎn)化為通常忽略不計(jì)，故可簡(jiǎn)化為其中( )( )emaCtUt12( )( )(

9、 )( )mmmacdtTtKUtK M tdt ammammeR JTR fC C電動(dòng)機(jī)機(jī)電時(shí)間常數(shù)（電動(dòng)機(jī)機(jī)電時(shí)間常數(shù)（s） 2ammeRKRafC C1mammeCKR fC C如果電樞電阻Ra和電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jm都很小而忽略不計(jì)時(shí) 還可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為( )( )emaCtUt電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速 與電樞電壓與電樞電壓 成正比，成正比，于是電動(dòng)機(jī)可作為測(cè)速發(fā)電機(jī)使用。于是電動(dòng)機(jī)可作為測(cè)速發(fā)電機(jī)使用。 )(tua)(tm第二節(jié)線性系統(tǒng)的輸入第二節(jié)線性系統(tǒng)的輸入輸出傳遞函數(shù)描述輸出傳遞函數(shù)描述一、傳遞函數(shù)一、傳遞函數(shù)定義：線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義為零定義：線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義

10、為零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。零初使條件是指當(dāng)?shù)睦献儞Q之比。零初使條件是指當(dāng)t0時(shí)時(shí),系統(tǒng)系統(tǒng)r(t)、c(t)以及它們的各階導(dǎo)數(shù)均為零。以及它們的各階導(dǎo)數(shù)均為零。線性系統(tǒng)微分方程的一般形式為線性系統(tǒng)微分方程的一般形式為1111101111( )( )( ).( )( )( )( ).( )nnnnnnnnnnd c tdc tdc taaa c tdtdtdtd r tdr tdr tbbaa r tdtdtdt當(dāng)初始條件均為當(dāng)初始條件均為0時(shí)時(shí),對(duì)上式兩邊求拉氏變換，得對(duì)上式兩邊求拉氏變換，得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)系統(tǒng)的傳遞函

11、數(shù)1011111( )( )mmmmnnnnC Sb sbsbsbR Ssa sasa的根，也即線性微分方程的根，也即線性微分方程特征方程的特征值。特征方程的特征值。零點(diǎn)零點(diǎn)傳遞函數(shù)分子傳遞函數(shù)分子s多項(xiàng)式多項(xiàng)式mmmmbsbsbsbsN1110)(傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)G(S)是復(fù)變函數(shù)，是是復(fù)變函數(shù)，是S的有理函數(shù)。且有的有理函數(shù)。且有mn。極點(diǎn)極點(diǎn)傳遞函數(shù)分母?jìng)鬟f函數(shù)分母s多項(xiàng)式多項(xiàng)式的根。的根。 傳函是由微分方程傳函是由微分方程在初始條件為零時(shí)在初始條件為零時(shí)進(jìn)行拉氏變換得到的。進(jìn)行拉氏變換得到的。 如果已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和輸入信號(hào)如果已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和輸入信號(hào),則可求得初始條件為零則可求

12、得初始條件為零時(shí)輸出量的拉氏變換式時(shí)輸出量的拉氏變換式C(s),對(duì)其求拉氏反變換可得到系統(tǒng)的對(duì)其求拉氏反變換可得到系統(tǒng)的響應(yīng)響應(yīng) c(t)，稱為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。，稱為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。 系統(tǒng)響應(yīng)的特性由傳遞函數(shù)決定，而和系統(tǒng)的輸入無(wú)關(guān)。傳系統(tǒng)響應(yīng)的特性由傳遞函數(shù)決定，而和系統(tǒng)的輸入無(wú)關(guān)。傳遞函數(shù)則由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)決定。遞函數(shù)則由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)決定。 傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式即為微分方程的傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式即為微分方程的特征多項(xiàng)式，為特征多項(xiàng)式，為1+開開環(huán)傳遞函數(shù)。環(huán)傳遞函數(shù)。 同一系統(tǒng)對(duì)不同的輸入，可求得不同的傳遞函數(shù)，但其同一系統(tǒng)對(duì)不同的輸入，可求得不同的傳遞函數(shù)，但其特征特征多項(xiàng)式多

13、項(xiàng)式唯一。唯一。 在給定輸入和初始條件下，解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出在給定輸入和初始條件下，解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，包括兩部分響應(yīng)，包括兩部分 系統(tǒng)響應(yīng)系統(tǒng)響應(yīng)=零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) 零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)在輸入為零時(shí)，系統(tǒng)對(duì)零初始狀態(tài)的響應(yīng)；在輸入為零時(shí)，系統(tǒng)對(duì)零初始狀態(tài)的響應(yīng)； 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)在零初始條件下，系統(tǒng)對(duì)輸入的響應(yīng)。在零初始條件下，系統(tǒng)對(duì)輸入的響應(yīng)。傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)性質(zhì)傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)性質(zhì) 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)G(s)(s)是復(fù)變量是復(fù)變量s s的有理真分式函數(shù)，的有理真分式函數(shù)，mn，且所有系數(shù)均為實(shí)數(shù)。，且所有系數(shù)均為實(shí)數(shù)。 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)G(

14、s)取決于系統(tǒng)或元件自身的結(jié)構(gòu)取決于系統(tǒng)或元件自身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入量的形式（幅度與大?。┖蛥?shù)，與輸入量的形式（幅度與大小）無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)G(s) 描述了系統(tǒng)輸出與輸入之間描述了系統(tǒng)輸出與輸入之間的關(guān)系，但它不提供系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)信息。的關(guān)系，但它不提供系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)信息。具有相同傳遞函數(shù)的不同物理系統(tǒng)稱為相具有相同傳遞函數(shù)的不同物理系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)。似系統(tǒng)。傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)性質(zhì)傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)性質(zhì) 如果系統(tǒng)的傳遞函數(shù)未知，給系統(tǒng)加上如果系統(tǒng)的傳遞函數(shù)未知，給系統(tǒng)加上某種輸入，可根據(jù)其輸出，確定其傳遞某種輸入，可根據(jù)其輸出，確定其傳遞函數(shù)。函數(shù)。 系統(tǒng)傳遞函數(shù)是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)系

15、統(tǒng)傳遞函數(shù)是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)g(t)的的拉氏變換拉氏變換LLg(t)。 例例23 求例求例21系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。已知其輸入輸出微分方程已知其輸入輸出微分方程2221212111222212()d UdUR R C CRCRCR CUUdtdtU1 R1R2U2C1C2圖圖2-1 2-1 RC組成的四端網(wǎng)絡(luò)組成的四端網(wǎng)絡(luò)設(shè)初始狀態(tài)為零，設(shè)初始狀態(tài)為零，對(duì)方程兩邊求拉氏對(duì)方程兩邊求拉氏變換，得變換，得此即為RC四端網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。2221212111222212()d UdUR R C CRCRCR CUUdtdt1)(1)()(2221112212112sCRCRCRsCCRRsU

16、sU第三節(jié)第三節(jié) 非線性數(shù)學(xué)模型的小范圍線性化非線性數(shù)學(xué)模型的小范圍線性化 嚴(yán)格講，任何實(shí)際系統(tǒng)都存在不同程嚴(yán)格講，任何實(shí)際系統(tǒng)都存在不同程度的非線性。對(duì)于非本質(zhì)非線性度的非線性。對(duì)于非本質(zhì)非線性數(shù)學(xué)模數(shù)學(xué)模型型，可采用，可采用小范圍線性化方法。小范圍線性化方法。設(shè)一非線性數(shù)學(xué)設(shè)一非線性數(shù)學(xué)模型如圖所示。模型如圖所示。 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f（x）在（）在（x0，y0）點(diǎn)附近點(diǎn)附近連續(xù)可微連續(xù)可微(此即為非線性此即為非線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型線性化的條件）模型線性化的條件）,則可將函數(shù)則可將函數(shù)f（x）在（）在（x0，y0）附近展開成泰勒級(jí)數(shù)附近展開成泰勒級(jí)數(shù)式中式中 比例系數(shù)比例系數(shù),是隨工作點(diǎn)

17、是隨工作點(diǎn)A（x0，y0)不不同而不同的常數(shù)同而不同的常數(shù) 具有兩個(gè)以上輸入量的非線性系統(tǒng)線性化處理方法與前述具有兩個(gè)以上輸入量的非線性系統(tǒng)線性化處理方法與前述方法相似。方法相似。 求線性化微分方程的步驟求線性化微分方程的步驟按物理和化學(xué)定律，列出系統(tǒng)的原始方程式，確定平衡點(diǎn)處按物理和化學(xué)定律，列出系統(tǒng)的原始方程式，確定平衡點(diǎn)處各變量的數(shù)值。各變量的數(shù)值。找出原始方程式中間變量與其它因素的關(guān)系，若為非線性函找出原始方程式中間變量與其它因素的關(guān)系，若為非線性函數(shù)，在原平衡點(diǎn)鄰域內(nèi)，各階導(dǎo)數(shù)存在并且是唯一的，則可數(shù)，在原平衡點(diǎn)鄰域內(nèi)，各階導(dǎo)數(shù)存在并且是唯一的，則可進(jìn)行線性化處理。進(jìn)行線性化處理。將

18、非線性特性展開為泰勒級(jí)數(shù)，忽略偏差量的高次項(xiàng)，留下將非線性特性展開為泰勒級(jí)數(shù)，忽略偏差量的高次項(xiàng)，留下一次項(xiàng)，求出它的系數(shù)值。一次項(xiàng)，求出它的系數(shù)值。消去中間變量，在原始方程式中，將各變量用平衡點(diǎn)的值用消去中間變量，在原始方程式中，將各變量用平衡點(diǎn)的值用偏差量來(lái)表示。偏差量來(lái)表示。注意：注意： （1 1）線性化方程中的常數(shù)與選擇的）線性化方程中的常數(shù)與選擇的靜態(tài)工作點(diǎn)靜態(tài)工作點(diǎn)的位的位置有關(guān)置有關(guān), ,工作點(diǎn)不同時(shí)工作點(diǎn)不同時(shí), ,相應(yīng)的常數(shù)也不相同。相應(yīng)的常數(shù)也不相同。 （2 2）泰勒級(jí)數(shù)線性化是小范圍線性化。當(dāng)輸入量的）泰勒級(jí)數(shù)線性化是小范圍線性化。當(dāng)輸入量的變化范圍較大時(shí)，用上述方法建立

19、數(shù)學(xué)模型引起的誤變化范圍較大時(shí)，用上述方法建立數(shù)學(xué)模型引起的誤差較大。因此只有當(dāng)輸入量變化較小時(shí)才能使用。差較大。因此只有當(dāng)輸入量變化較小時(shí)才能使用。 （3 3）若非線性特性不滿足）若非線性特性不滿足連續(xù)可微連續(xù)可微的條件的條件, ,則不能則不能采用前述處理方法采用前述處理方法. . （4 4）線性化方法得到的微分方程是增量化方程。）線性化方法得到的微分方程是增量化方程。 由微分方程直接得出的傳遞函數(shù)是由微分方程直接得出的傳遞函數(shù)是復(fù)變量復(fù)變量s的有理分式。的有理分式。對(duì)于實(shí)際物理系統(tǒng)，傳遞函數(shù)的分子、分母多項(xiàng)式的所有系對(duì)于實(shí)際物理系統(tǒng)，傳遞函數(shù)的分子、分母多項(xiàng)式的所有系數(shù)均為實(shí)數(shù)，而且分母多

20、項(xiàng)式的階次數(shù)均為實(shí)數(shù)，而且分母多項(xiàng)式的階次n 不低于分子多項(xiàng)式的不低于分子多項(xiàng)式的階次階次m，分母多項(xiàng)式階次為，分母多項(xiàng)式階次為n的傳遞函數(shù)稱為的傳遞函數(shù)稱為n階傳遞函數(shù)階傳遞函數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)稱為相應(yīng)的系統(tǒng)稱為n階系統(tǒng)階系統(tǒng) 。傳遞函數(shù)可表示成傳遞函數(shù)可表示成復(fù)變量復(fù)變量s的有理分式的有理分式: :傳遞函數(shù)可表示成傳遞函數(shù)可表示成零、極點(diǎn)零、極點(diǎn)表示：表示：第四節(jié)第四節(jié) 典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型 系統(tǒng)傳遞函數(shù)有時(shí)還具有零值極點(diǎn)，設(shè)傳遞函數(shù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)有時(shí)還具有零值極點(diǎn)，設(shè)傳遞函數(shù)中有中有 個(gè)零值極點(diǎn)個(gè)零值極點(diǎn), ,并考慮到零極點(diǎn)都有實(shí)數(shù)和共軛復(fù)并考慮到零極點(diǎn)都有實(shí)數(shù)和共軛復(fù)數(shù)的情況

21、數(shù)的情況, ,則傳遞函數(shù)的后兩種表示的一般形式為則傳遞函數(shù)的后兩種表示的一般形式為： 可見，系統(tǒng)傳遞函數(shù)是由一些常見基本因子可見，系統(tǒng)傳遞函數(shù)是由一些常見基本因子,如式如式上上中的中的( js+1)、1/(Tis+1)等組成。即系統(tǒng)傳遞函數(shù)表示為等組成。即系統(tǒng)傳遞函數(shù)表示為上上式時(shí)，系統(tǒng)式時(shí)，系統(tǒng)傳遞函數(shù)是這些常見基本因子的乘積。這些常見基本因子代表傳遞函數(shù)是這些常見基本因子的乘積。這些常見基本因子代表的環(huán)節(jié)稱為典型環(huán)節(jié)。任何復(fù)雜的系統(tǒng)都可以用若干典型環(huán)節(jié)的環(huán)節(jié)稱為典型環(huán)節(jié)。任何復(fù)雜的系統(tǒng)都可以用若干典型環(huán)節(jié)構(gòu)成。具有相同基本因子傳遞函數(shù)的元件，可以是不同的物理構(gòu)成。具有相同基本因子傳遞函數(shù)的

22、元件，可以是不同的物理元件，但都具有相同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。元件，但都具有相同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。從傳遞函數(shù)的表示式中可以看到，傳遞函數(shù)的從傳遞函數(shù)的表示式中可以看到，傳遞函數(shù)的基本因子對(duì)應(yīng)的典型環(huán)節(jié)有比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、基本因子對(duì)應(yīng)的典型環(huán)節(jié)有比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和延遲環(huán)節(jié)等。微分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和延遲環(huán)節(jié)等。 l l比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié) 比例環(huán)節(jié)又稱為放大環(huán)節(jié)，其輸出量與輸入量之間的關(guān)比例環(huán)節(jié)又稱為放大環(huán)節(jié)，其輸出量與輸入量之間的關(guān)系為固定的比例關(guān)系，即它的輸出量能夠無(wú)失真、無(wú)延遲地系為固定的比例關(guān)系，即它的輸出量能夠無(wú)失真、無(wú)延遲地按一定的比例關(guān)系復(fù)現(xiàn)輸入量。時(shí)域中的代數(shù)

23、方程為按一定的比例關(guān)系復(fù)現(xiàn)輸入量。時(shí)域中的代數(shù)方程為c(t)=Kr(t) t 0 式中式中K為比例系數(shù)或傳遞系數(shù)，有時(shí)也稱為放大系數(shù)為比例系數(shù)或傳遞系數(shù)，有時(shí)也稱為放大系數(shù) 所以所以比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 ：L-變換變換 C(S)=KR(S) 完全理想的比例環(huán)節(jié)是不存在的。對(duì)某些系統(tǒng)完全理想的比例環(huán)節(jié)是不存在的。對(duì)某些系統(tǒng)當(dāng)做比例環(huán)節(jié)是一種理想化的方法。當(dāng)做比例環(huán)節(jié)是一種理想化的方法。2 2慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié) 慣性環(huán)節(jié)又稱為非周期環(huán)節(jié)，其輸入量和輸出量之間的慣性環(huán)節(jié)又稱為非周期環(huán)節(jié)，其輸入量和輸出量之間的關(guān)系可用下列微分方程來(lái)描述關(guān)系可用下列微分方程來(lái)描述：式中式中 K比例系數(shù)

24、比例系數(shù)。 T慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù) ，衡量輸出量跟隨輸入量，衡量輸出量跟隨輸入量 的變化的變化 L-變換變換 TSC(S)+C(S)=KR(S) 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) G(S)= C(s)/ R(s) = 11Ts3 3積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)輸出量與輸入量的積分成比例，系數(shù)為輸出量與輸入量的積分成比例，系數(shù)為K。積分環(huán)節(jié)的傳遞。積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：函數(shù)為：積分環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)方程為：積分環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)方程為：積分環(huán)節(jié)具有一個(gè)零值極點(diǎn)，即極點(diǎn)位于積分環(huán)節(jié)具有一個(gè)零值極點(diǎn)，即極點(diǎn)位于S平面上的坐標(biāo)平面上的坐標(biāo)原點(diǎn)處。原點(diǎn)處。T稱為積分時(shí)間常數(shù)。從傳遞函數(shù)表達(dá)式易求得在單稱為積分時(shí)間常數(shù)。從傳遞函數(shù)表

25、達(dá)式易求得在單位階躍輸入時(shí)的輸出為位階躍輸入時(shí)的輸出為：C（t）=Kt 上式說明，只要有一個(gè)恒定的輸入量作用于積分環(huán)節(jié)，上式說明，只要有一個(gè)恒定的輸入量作用于積分環(huán)節(jié)，其輸出量就與時(shí)間成比例地?zé)o限增加。其輸出量就與時(shí)間成比例地?zé)o限增加。 4 4振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié) 振蕩環(huán)節(jié)的微分方程振蕩環(huán)節(jié)的微分方程是是：相應(yīng)的傳遞函數(shù)為相應(yīng)的傳遞函數(shù)為： 式中式中 T時(shí)間常數(shù)；時(shí)間常數(shù)； 阻尼系數(shù)（阻尼比），且阻尼系數(shù)（阻尼比），且0 1。 振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)具有振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)具有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn),在復(fù)平面在復(fù)平面S上的位置見圖上的位置見圖2-8所示所示,傳遞函數(shù)可改寫為：傳遞函數(shù)可改寫為：

26、 n=1/T無(wú)阻尼自然振蕩頻率。共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)為：無(wú)阻尼自然振蕩頻率。共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)為： 5微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié) 微分是積分的逆運(yùn)算微分是積分的逆運(yùn)算,按傳遞函數(shù)的不同按傳遞函數(shù)的不同,微分環(huán)節(jié)可微分環(huán)節(jié)可分為三種：理想微分環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)（也稱為比例分為三種：理想微分環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)（也稱為比例加微分環(huán)節(jié)）和二階微分環(huán)節(jié)。相應(yīng)的微分方程為加微分環(huán)節(jié)）和二階微分環(huán)節(jié)。相應(yīng)的微分方程為 ：相應(yīng)的傳遞函數(shù)為：相應(yīng)的傳遞函數(shù)為： 6 6延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié) 延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)又稱為純滯后環(huán)節(jié)、時(shí)滯環(huán)節(jié)。其輸又稱為純滯后環(huán)節(jié)、時(shí)滯環(huán)節(jié)。其輸出信號(hào)比輸入信號(hào)遲后一定的時(shí)間。就是說，延出信號(hào)比輸入信號(hào)遲后一定的時(shí)間

27、。就是說，延遲環(huán)節(jié)的輸出是一個(gè)延遲時(shí)間遲環(huán)節(jié)的輸出是一個(gè)延遲時(shí)間 后，完全復(fù)現(xiàn)輸入后，完全復(fù)現(xiàn)輸入 信號(hào)，即信號(hào)，即 式中式中 純延遲時(shí)間純延遲時(shí)間。 單位階躍輸入時(shí)，延遲環(huán)節(jié)的輸單位階躍輸入時(shí)，延遲環(huán)節(jié)的輸出響應(yīng)如出響應(yīng)如右右圖示圖示 根據(jù)拉氏變換的根據(jù)拉氏變換的延遲定理，可得延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)延遲定理，可得延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：為： 典型環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)模型注意三點(diǎn)：典型環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)模型注意三點(diǎn)： （1）系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)是按數(shù)學(xué)模型的共性去）系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)是按數(shù)學(xué)模型的共性去建立的，它與系統(tǒng)中采用的元件不是一一對(duì)應(yīng)建立的，它與系統(tǒng)中采用的元件不是一一對(duì)應(yīng)的。的。 （2）分析或設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)必先建立系統(tǒng)或被

28、）分析或設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)必先建立系統(tǒng)或被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型，將其與典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)?？貙?duì)象的數(shù)學(xué)模型，將其與典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型對(duì)比后，即可知其由什么樣的典型環(huán)節(jié)組成。型對(duì)比后，即可知其由什么樣的典型環(huán)節(jié)組成。將有助于系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的研究和分析。將有助于系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的研究和分析。 （3）典型環(huán)節(jié)的概念只適用于能夠用線性定）典型環(huán)節(jié)的概念只適用于能夠用線性定常數(shù)學(xué)模型描述的系統(tǒng)。常數(shù)學(xué)模型描述的系統(tǒng)。 框圖與信號(hào)流圖方法是自動(dòng)控制系統(tǒng)的兩種圖形研究方框圖與信號(hào)流圖方法是自動(dòng)控制系統(tǒng)的兩種圖形研究方法，是分析系統(tǒng)的有力工具。法，是分析系統(tǒng)的有力工具。一框圖的基本概念一框圖的基本概念 控制系統(tǒng)的方框圖又稱為方塊

29、圖或結(jié)構(gòu)圖，是系統(tǒng)各控制系統(tǒng)的方框圖又稱為方塊圖或結(jié)構(gòu)圖，是系統(tǒng)各元件特性、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和信號(hào)流向的圖解表示法。元件特性、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和信號(hào)流向的圖解表示法。它用一個(gè)方框表示系統(tǒng)或環(huán)節(jié)，如上圖所示?？驁D的一端它用一個(gè)方框表示系統(tǒng)或環(huán)節(jié)，如上圖所示?？驁D的一端為輸入信號(hào)為輸入信號(hào)r(t)，另一端，另一端 是是 經(jīng)經(jīng) 過過 系統(tǒng)或環(huán)節(jié)后的輸出信號(hào)系統(tǒng)或環(huán)節(jié)后的輸出信號(hào)c（t），圖中箭頭指向表示，圖中箭頭指向表示信號(hào)傳遞信號(hào)傳遞的方向。方框中用文字表示的方向。方框中用文字表示系統(tǒng)或環(huán)節(jié)，也可以填入表示環(huán)節(jié)或系統(tǒng)輸出和輸系統(tǒng)或環(huán)節(jié)，也可以填入表示環(huán)節(jié)或系統(tǒng)輸出和輸入信號(hào)的拉入信號(hào)的拉氏變換之比氏變換之比-傳遞

30、函數(shù)，這是更為常用的框圖。傳遞函數(shù)，這是更為常用的框圖。第五節(jié)第五節(jié) 框圖及其化簡(jiǎn)方法框圖及其化簡(jiǎn)方法六六種典型環(huán)節(jié)的框圖如種典型環(huán)節(jié)的框圖如下：下：（1）方塊（）方塊（Block Diagram）:表示輸入到輸出單向傳輸間表示輸入到輸出單向傳輸間 的函數(shù)關(guān)系。的函數(shù)關(guān)系。G ( s )R ( s )C ( s ) 圖圖2-122-12 方塊圖中的方塊方塊圖中的方塊信號(hào)線信號(hào)線方塊方塊r(t)c(t)二二 框圖元素框圖元素（2）比較點(diǎn)（合成點(diǎn)、綜合點(diǎn)）比較點(diǎn)（合成點(diǎn)、綜合點(diǎn)）Summing Point 兩個(gè)或兩個(gè)以上的輸入信號(hào)進(jìn)行加減比較的元件。兩個(gè)或兩個(gè)以上的輸入信號(hào)進(jìn)行加減比較的元件。 “

31、+”表示相加，表示相加，“-”表示相減。表示相減。“+”號(hào)可省略不寫。號(hào)可省略不寫。 +11+22+-)()(21sRsR)(1sR)(2sR11-2+32-3注意：進(jìn)行相加減注意：進(jìn)行相加減的量，必須具有相的量，必須具有相同的量綱。同的量綱。圖 2-13 (3)分支點(diǎn)（引出點(diǎn)、測(cè)量點(diǎn)）分支點(diǎn)（引出點(diǎn)、測(cè)量點(diǎn)）Branch Point表示信號(hào)測(cè)量或引出的位置表示信號(hào)測(cè)量或引出的位置 （4）信號(hào)線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)的）信號(hào)線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)的流向，在直線旁標(biāo)記信號(hào)的時(shí)間函數(shù)或象函數(shù)。流向，在直線旁標(biāo)記信號(hào)的時(shí)間函數(shù)或象函數(shù)。12( )( )( )( )( )C sG s

32、 G sG sE s( )( )( )B sH sC s前向通路傳遞函數(shù)前向通路傳遞函數(shù)假設(shè)假設(shè)N(s)=0 ,打開反饋后，輸出打開反饋后，輸出C(s)與與R(s)之比。等價(jià)于之比。等價(jià)于C(s)與誤差與誤差E(s)之比之比 反饋回路傳遞函數(shù)反饋回路傳遞函數(shù) 假設(shè)假設(shè)N(s)=0， 主反饋信號(hào)主反饋信號(hào)B(s)與輸出信號(hào)與輸出信號(hào)C(s)之比。之比。+H( s )-+R( s )E( s )B( s )N( s )打打開開反反饋饋)(1sG)(2sGC(s)圖圖2-15 反饋控制系統(tǒng)框圖反饋控制系統(tǒng)框圖三三 幾個(gè)基本概念及術(shù)語(yǔ)幾個(gè)基本概念及術(shù)語(yǔ)開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù) Open-loop Tr

33、ansfer Function 假假設(shè)設(shè)N(s)=0，主反饋信號(hào)主反饋信號(hào)B(s)與誤差信號(hào)與誤差信號(hào)E(s)之比。之比。12( )( )( )( )( )( )( )B sGs Gs H sG s H sE s 從上式可以看出，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)等于前向從上式可以看出，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)等于前向通道的傳遞函數(shù)與反饋通道的傳遞函數(shù)之乘積。通道的傳遞函數(shù)與反饋通道的傳遞函數(shù)之乘積。閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù) Closed-loop Transfer Function 假設(shè)假設(shè)N(s)=0=0，輸出信號(hào)輸出信號(hào)C(s)與輸入信號(hào)與輸入信號(hào)R(s)之比。之比。12( )( )( )( )( )1( ) (

34、 )1( ) ( )G s G sC sG sR sH s G sH s G s推導(dǎo)：因?yàn)?( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )C sE s G sR sC s H s G s右邊移過來(lái)整理得 ( )( )( )1( )( )C sG sR sH s G s( )( )( )1( ) ( )1C sG sR sH s G s前向通路傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)即 *)()(1)()()(sGsHsGsRsC誤差傳遞函數(shù)誤差傳遞函數(shù) 假設(shè)假設(shè)N(s)=0，誤差信號(hào)誤差信號(hào)E(s)與輸入信號(hào)與輸入信號(hào)R(s)之比之比 。( )11( )1( )( )1E sR sH s G s 開環(huán)傳遞函數(shù)(

35、 )( ) ( )C sE s G s代入上式，消去代入上式，消去G( (s) )即得：即得：將將)()(1)()()(sGsHsGsRsC*-N(s )C(s)H( s )(2sG)(1sG圖2-16 輸出對(duì)擾動(dòng)的結(jié)構(gòu)利用公式*，直接可得：2( )( )( )( )1( )( )NG sC sMsN sG s H s輸出對(duì)擾動(dòng)的傳遞函數(shù)輸出對(duì)擾動(dòng)的傳遞函數(shù) 假設(shè)假設(shè)R( (s)=0)=0)()(1)()()(sGsHsGsRsC*+H( s )-R( s )E( s )B( s )N( s )打打開開反反饋饋)(1sGC(s) + G2（s）誤差對(duì)擾動(dòng)的傳遞函數(shù)誤差對(duì)擾動(dòng)的傳遞函數(shù) 假設(shè)假設(shè)

36、R(s)=0 H(s)N(s)E(s)(1sG)(2sG-1圖2-17 誤差對(duì)擾動(dòng)的結(jié)構(gòu)圖 2( )( )( )( )( )1( )( )NEGs HsE sMsN sG s Hs利用公式*，直接可得：)()(1)()()(sGsHsGsRsC* 線性系統(tǒng)滿足疊加原理，當(dāng)控制輸入線性系統(tǒng)滿足疊加原理，當(dāng)控制輸入（）與擾動(dòng)）與擾動(dòng)()同時(shí)作用于系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)的輸出及誤差可表示為：同時(shí)作用于系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)的輸出及誤差可表示為：2( )( )( )( )( )1( )( )1( )( )GsG sC sR sN sG s H sG s H s2( )( )1( )( )( )1( )( )1( )( )

37、Gs H sE sR sN sG s H sG s H s注意：由于注意：由于N(s)極性的隨機(jī)性，因而在求極性的隨機(jī)性，因而在求E(s)時(shí)，不能認(rèn)時(shí)，不能認(rèn)為利用為利用N(s)產(chǎn)生的誤差可抵消產(chǎn)生的誤差可抵消R(s)產(chǎn)生的誤差。產(chǎn)生的誤差。（1 1）考慮負(fù)載效應(yīng)分別列寫系統(tǒng)各元部件的微分方）考慮負(fù)載效應(yīng)分別列寫系統(tǒng)各元部件的微分方程或傳遞函數(shù)，并將它們用方框表示。程或傳遞函數(shù)，并將它們用方框表示。（2 2）根據(jù)各元部件的信號(hào)流向，用信號(hào)線依次將各）根據(jù)各元部件的信號(hào)流向，用信號(hào)線依次將各方塊連接起來(lái)，便可得到系統(tǒng)的框圖。方塊連接起來(lái)，便可得到系統(tǒng)的框圖。 系統(tǒng)框圖也是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一種表示。

38、系統(tǒng)框圖也是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一種表示。 四框圖的繪制RCi（a）iuou圖2-18 一階RC網(wǎng)絡(luò) 解：根據(jù)基爾霍夫電壓定律及電容元件解：根據(jù)基爾霍夫電壓定律及電容元件特性可得特性可得ioouuiRid tuc對(duì)其進(jìn)行拉氏變換得對(duì)其進(jìn)行拉氏變換得 ( )( )( )(1)( )( )(2)iooU sUsI sRI sUssC例：畫出下列例：畫出下列RC電路的方塊圖。電路的方塊圖。 將圖（將圖（b b）和）和(c)(c)組合起來(lái)即得到圖組合起來(lái)即得到圖(d)(d)，圖，圖(d)(d)為為該一階該一階RCRC網(wǎng)絡(luò)的框圖。網(wǎng)絡(luò)的框圖。（b）I ( s )(sUi)(sUoI(s)（c）)(sUo1R1

39、S C圖 2-19（d）I ( s )(sUo)(sUo)(sUi圖 2-201/R1/SC-例：畫出下列例：畫出下列R-C網(wǎng)絡(luò)的方塊圖網(wǎng)絡(luò)的方塊圖 分析：分析：由圖由圖2-212-21清楚地看到，后一級(jí)清楚地看到，后一級(jí)R R2 2-C-C2 2網(wǎng)絡(luò)作為前級(jí)網(wǎng)絡(luò)作為前級(jí)R R1 1- -C C1 1網(wǎng)絡(luò)的負(fù)載，對(duì)前級(jí)網(wǎng)絡(luò)的負(fù)載，對(duì)前級(jí)R R1 1-C-C1 1網(wǎng)絡(luò)的輸出電壓產(chǎn)網(wǎng)絡(luò)的輸出電壓產(chǎn)生影響，這就是生影響，這就是負(fù)載效應(yīng)負(fù)載效應(yīng)。1cu解：（解：（1 1）根據(jù)電路定理列出方程，寫出對(duì)）根據(jù)電路定理列出方程，寫出對(duì)應(yīng)的拉氏變換，也可直接畫出該電路的運(yùn)應(yīng)的拉氏變換，也可直接畫出該電路的運(yùn)算

40、電路圖如圖算電路圖如圖(b)(b)；（；（2 2）根據(jù)列出的）根據(jù)列出的4 4個(gè)式個(gè)式子作出對(duì)應(yīng)的框圖；（子作出對(duì)應(yīng)的框圖；（3 3）根據(jù)信號(hào)的流向）根據(jù)信號(hào)的流向?qū)⒏鞣娇蛞来芜B接起來(lái)。將各方框依次連接起來(lái)。 111111212222()()()( 1 )()()()( 2 )()()()( 3 )()()( 4 )rCCCccUsUsIsRIsIsUss CUsUsIsRIsUss C例 如果在這兩極如果在這兩極R-C網(wǎng)絡(luò)之間接入一個(gè)輸網(wǎng)絡(luò)之間接入一個(gè)輸入阻抗很大而輸出阻入阻抗很大而輸出阻抗很小的隔離放大器，抗很小的隔離放大器，如圖如圖2-222-22所示。則此所示。則此電路的方塊圖如圖電路

41、的方塊圖如圖( (b b) )所示。所示。 框圖的框圖的等效變換等效變換相當(dāng)于在框圖上進(jìn)行數(shù)學(xué)方程相當(dāng)于在框圖上進(jìn)行數(shù)學(xué)方程的運(yùn)算。常用的方框圖等效變換方法可歸納為兩類。的運(yùn)算。常用的方框圖等效變換方法可歸納為兩類。環(huán)節(jié)的合并環(huán)節(jié)的合并; 信號(hào)分支點(diǎn)或相加點(diǎn)的等效移動(dòng)。信號(hào)分支點(diǎn)或相加點(diǎn)的等效移動(dòng)。 框圖變換必須遵循的原則是：變換前、后的數(shù)框圖變換必須遵循的原則是：變換前、后的數(shù)學(xué)關(guān)系保持不變，因此框圖變換是一種等效變換，學(xué)關(guān)系保持不變，因此框圖變換是一種等效變換，同時(shí)由于傳遞函數(shù)和變量的方程是代數(shù)方程，所以同時(shí)由于傳遞函數(shù)和變量的方程是代數(shù)方程，所以框圖變換是一些簡(jiǎn)單的框圖變換是一些簡(jiǎn)單的代

42、數(shù)運(yùn)算代數(shù)運(yùn)算。（）環(huán)節(jié)的合并（）環(huán)節(jié)的合并 環(huán)節(jié)之間互相連接有環(huán)節(jié)之間互相連接有三種基本形式：三種基本形式：串聯(lián)、并串聯(lián)、并聯(lián)和反饋聯(lián)和反饋連接連接。 五五. . 框圖的等效變換框圖的等效變換1 1環(huán)節(jié)的串聯(lián)環(huán)節(jié)的串聯(lián) 特點(diǎn)特點(diǎn): 前一個(gè)環(huán)節(jié)的輸出信號(hào)就是后一環(huán)節(jié)前一個(gè)環(huán)節(jié)的輸出信號(hào)就是后一環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)，的輸入信號(hào)，下下圖所示為三個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)的例子。圖中，每個(gè)環(huán)節(jié)的方框圖為：圖所示為三個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)的例子。圖中，每個(gè)環(huán)節(jié)的方框圖為：要求出第三個(gè)環(huán)節(jié)的輸出與第一個(gè)環(huán)節(jié)的輸入之間的傳遞函數(shù)時(shí)要求出第三個(gè)環(huán)節(jié)的輸出與第一個(gè)環(huán)節(jié)的輸入之間的傳遞函數(shù)時(shí) 上式表明，三個(gè)環(huán)節(jié)的串聯(lián)可以用一個(gè)上式表明，三個(gè)環(huán)節(jié)

43、的串聯(lián)可以用一個(gè)等效環(huán)節(jié)等效環(huán)節(jié)來(lái)代替。這種情況可以推廣到來(lái)代替。這種情況可以推廣到有限有限個(gè)環(huán)節(jié)個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)（各環(huán)節(jié)之間無(wú)負(fù)載效應(yīng)）的情串聯(lián)（各環(huán)節(jié)之間無(wú)負(fù)載效應(yīng)）的情況，等效環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)等于各個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)況，等效環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)等于各個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)的的傳遞函數(shù)的乘積，乘積，如有如有n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)則等效個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)則等效傳遞函數(shù)可表示為：傳遞函數(shù)可表示為：2. 2. 環(huán)節(jié)的并聯(lián)環(huán)節(jié)的并聯(lián) 環(huán)節(jié)并聯(lián)的特點(diǎn)是各環(huán)節(jié)的環(huán)節(jié)并聯(lián)的特點(diǎn)是各環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)相同輸入信號(hào)相同，輸出信號(hào)相加，輸出信號(hào)相加（或相減），（或相減），下下圖所示為三個(gè)環(huán)節(jié)的并聯(lián)，圖中含有信號(hào)相加圖所示為三個(gè)環(huán)節(jié)的并聯(lián)，圖中含有信號(hào)相加

44、點(diǎn)。從圖中可見點(diǎn)。從圖中可見:等效傳遞函數(shù)為等效傳遞函數(shù)為 ： 以上結(jié)論可推廣到一般情況，當(dāng)有以上結(jié)論可推廣到一般情況，當(dāng)有n個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)時(shí)，其個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)時(shí)，其輸出信號(hào)相加則有等效傳遞函數(shù)輸出信號(hào)相加則有等效傳遞函數(shù)3反饋連接反饋連接 將系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸出信號(hào)反饋到輸入端，并與原輸入信號(hào)將系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸出信號(hào)反饋到輸入端，并與原輸入信號(hào)進(jìn)行比較后再作為輸入信號(hào)，即為反饋連接，如進(jìn)行比較后再作為輸入信號(hào)，即為反饋連接，如下下圖圖所示。所示。負(fù)反饋：反饋信號(hào)與給定輸入信號(hào)符號(hào)相反的反饋。負(fù)反饋：反饋信號(hào)與給定輸入信號(hào)符號(hào)相反的反饋。 正反饋：反饋信號(hào)與給定輸入信號(hào)符號(hào)相同的反饋。正反饋：反饋信號(hào)與給定

45、輸入信號(hào)符號(hào)相同的反饋。 上述三種基本變換是進(jìn)行方框圖等效變換的上述三種基本變換是進(jìn)行方框圖等效變換的基礎(chǔ)。對(duì)于較復(fù)的系統(tǒng)基礎(chǔ)。對(duì)于較復(fù)的系統(tǒng),例如當(dāng)系統(tǒng)具有信號(hào)交例如當(dāng)系統(tǒng)具有信號(hào)交叉或反饋環(huán)交叉時(shí)叉或反饋環(huán)交叉時(shí),僅靠這三種方法是不夠的。僅靠這三種方法是不夠的。 （二）信號(hào)相加點(diǎn)和信號(hào)分支點(diǎn)的等效變換（二）信號(hào)相加點(diǎn)和信號(hào)分支點(diǎn)的等效變換 對(duì)于一般系統(tǒng)的方框圖，系統(tǒng)中常常出現(xiàn)對(duì)于一般系統(tǒng)的方框圖，系統(tǒng)中常常出現(xiàn)信號(hào)或反饋環(huán)相信號(hào)或反饋環(huán)相互交叉互交叉的現(xiàn)象，此時(shí)可將信號(hào)相加點(diǎn)（匯合點(diǎn)）或信號(hào)分支的現(xiàn)象，此時(shí)可將信號(hào)相加點(diǎn)（匯合點(diǎn)）或信號(hào)分支點(diǎn)（引出點(diǎn)）作適當(dāng)?shù)牡刃б苿?dòng)，先點(diǎn)（引出點(diǎn)）作適當(dāng)

46、的等效移動(dòng)，先消除消除各種形式的交叉，各種形式的交叉，再進(jìn)行等效變換即可。再進(jìn)行等效變換即可。將信號(hào)引出點(diǎn)及匯合點(diǎn)前后移動(dòng)的規(guī)則：將信號(hào)引出點(diǎn)及匯合點(diǎn)前后移動(dòng)的規(guī)則：1.變換前與變換后前向通道中傳遞函數(shù)的乘積必須保持不變變換前與變換后前向通道中傳遞函數(shù)的乘積必須保持不變;2.變換前與變換后回路中傳遞函數(shù)的乘積必須保持不變。變換前與變換后回路中傳遞函數(shù)的乘積必須保持不變。 信號(hào)相加點(diǎn)信號(hào)相加點(diǎn)的移動(dòng)分兩種情況：的移動(dòng)分兩種情況：前移和后移前移和后移。為使信號(hào)。為使信號(hào)相加點(diǎn)移動(dòng)前后輸出量與輸入量之間的關(guān)系不變相加點(diǎn)移動(dòng)前后輸出量與輸入量之間的關(guān)系不變,必須在移動(dòng)必須在移動(dòng)相加信號(hào)的傳遞通道上增加

47、一個(gè)環(huán)節(jié)，它的傳遞函數(shù)分別為相加信號(hào)的傳遞通道上增加一個(gè)環(huán)節(jié)，它的傳遞函數(shù)分別為 1G（S）（前移）和）（前移）和 G（S）（后移）。）（后移）。 信號(hào)分支點(diǎn)信號(hào)分支點(diǎn)（取出點(diǎn)）的移動(dòng)也分（取出點(diǎn)）的移動(dòng)也分前移和后移前移和后移兩種情況。兩種情況。但分支點(diǎn)前移時(shí)應(yīng)在取出通路上增加一個(gè)傳遞函數(shù)為但分支點(diǎn)前移時(shí)應(yīng)在取出通路上增加一個(gè)傳遞函數(shù)為G（S）的環(huán)節(jié)，后移時(shí)則增加一個(gè)傳遞函數(shù)為的環(huán)節(jié)，后移時(shí)則增加一個(gè)傳遞函數(shù)為1G（S）的環(huán)節(jié)。）的環(huán)節(jié)。 此外，兩個(gè)相鄰的信號(hào)相加點(diǎn)和兩個(gè)相鄰的信號(hào)分支點(diǎn)可此外，兩個(gè)相鄰的信號(hào)相加點(diǎn)和兩個(gè)相鄰的信號(hào)分支點(diǎn)可以互換位置。但必須注意，以互換位置。但必須注意，相鄰的

48、相加點(diǎn)與分支點(diǎn)的位置不相鄰的相加點(diǎn)與分支點(diǎn)的位置不能簡(jiǎn)單互換。能簡(jiǎn)單互換。 下表列出了信號(hào)相加點(diǎn)和信號(hào)分支點(diǎn)等效變換的各種方法。下表列出了信號(hào)相加點(diǎn)和信號(hào)分支點(diǎn)等效變換的各種方法。 例例：求傳遞函數(shù)求傳遞函數(shù)EiEEo+R1C2s+11R11C s21R21C sR1C2S+-EiEo1 11RCS221RCS圖2-27（a)圖2-27（b)EoR1C2S+-Ei1111111RC SRC S2222111RC SRC SR1C2S+-EiEo11221(1)(1)RC SR C S圖2-27（c)圖2-27（d)EiEo212121 122121()1RRCC SRCRCRC S圖2-27（

49、e)第六節(jié)第六節(jié) 信號(hào)流圖與梅遜公式信號(hào)流圖與梅遜公式 信號(hào)流圖信號(hào)流圖和框圖類似，和框圖類似，都可用來(lái)表示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和信號(hào)傳送都可用來(lái)表示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和信號(hào)傳送過程中的數(shù)學(xué)關(guān)系。因而過程中的數(shù)學(xué)關(guān)系。因而信號(hào)流圖也是數(shù)學(xué)模型一種表示。信號(hào)流圖也是數(shù)學(xué)模型一種表示。 框圖及其等效變換雖然對(duì)分析系統(tǒng)很有效，但是對(duì)于比較框圖及其等效變換雖然對(duì)分析系統(tǒng)很有效，但是對(duì)于比較復(fù)雜的系統(tǒng)，方框圖的變換和化簡(jiǎn)過程往往顯得繁瑣、費(fèi)時(shí)，復(fù)雜的系統(tǒng)，方框圖的變換和化簡(jiǎn)過程往往顯得繁瑣、費(fèi)時(shí)，并易于出錯(cuò)。如采用信號(hào)流圖，則可利用并易于出錯(cuò)。如采用信號(hào)流圖，則可利用梅遜公式梅遜公式，不需作變，不需作變換而直接得出系統(tǒng)中任何

50、兩個(gè)變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。換而直接得出系統(tǒng)中任何兩個(gè)變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。（）基本概念）基本概念 信號(hào)流圖是一種將線性代數(shù)方程組用圖形來(lái)表示的方法。信號(hào)流圖是一種將線性代數(shù)方程組用圖形來(lái)表示的方法。例如：例如： 一一. . 信號(hào)流圖及其等效變換信號(hào)流圖及其等效變換 信號(hào)流圖中，用小圓圈信號(hào)流圖中，用小圓圈“O”表示變量，并稱其為表示變量，并稱其為節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)。節(jié)。節(jié)點(diǎn)之間用點(diǎn)之間用加權(quán)加權(quán)的有向線段連接，稱為的有向線段連接，稱為支路支路。通常在支路上標(biāo)明。通常在支路上標(biāo)明前后兩個(gè)變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，因此支路的前后兩個(gè)變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，因此支路的權(quán)又稱為權(quán)又稱為傳輸傳輸。（二）常用術(shù)語(yǔ)（二）常用術(shù)語(yǔ)

51、信號(hào)流圖中除有節(jié)點(diǎn)和支路外，還常用到下述術(shù)語(yǔ)。信號(hào)流圖中除有節(jié)點(diǎn)和支路外，還常用到下述術(shù)語(yǔ)。 1.1. 出支路：出支路：離開節(jié)點(diǎn)的支路。離開節(jié)點(diǎn)的支路。2. 入支路入支路：進(jìn)入節(jié)點(diǎn)的支路。：進(jìn)入節(jié)點(diǎn)的支路。3. 源節(jié)點(diǎn)源節(jié)點(diǎn)：只有出支路的節(jié)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于自變量或外部輸人，因此也稱為：只有出支路的節(jié)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于自變量或外部輸人，因此也稱為輸入節(jié)點(diǎn)。輸入節(jié)點(diǎn)。4. 匯節(jié)點(diǎn)匯節(jié)點(diǎn)：只有入支路的節(jié)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于因變量，有時(shí)也稱為輸出節(jié)點(diǎn)。：只有入支路的節(jié)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于因變量，有時(shí)也稱為輸出節(jié)點(diǎn)。 5. 混合節(jié)點(diǎn)混合節(jié)點(diǎn)：既有入支路，又有出支路的節(jié)點(diǎn)。：既有入支路，又有出支路的節(jié)點(diǎn)。6. 通道通道：又稱為路徑，是指從

52、一個(gè)節(jié)點(diǎn)出發(fā)，沿著支路的箭號(hào)方向相繼：又稱為路徑，是指從一個(gè)節(jié)點(diǎn)出發(fā)，沿著支路的箭號(hào)方向相繼經(jīng)過多個(gè)節(jié)經(jīng)過多個(gè)節(jié) 點(diǎn)間的支路，一個(gè)信號(hào)流圖可以有多條通道。點(diǎn)間的支路，一個(gè)信號(hào)流圖可以有多條通道。7. 開通道開通道：如果通道從某個(gè)節(jié)點(diǎn)出發(fā)，終止于另一個(gè)節(jié)點(diǎn)上，并且通道：如果通道從某個(gè)節(jié)點(diǎn)出發(fā)，終止于另一個(gè)節(jié)點(diǎn)上，并且通道中每個(gè)節(jié)點(diǎn)只經(jīng)過一次，則稱這樣的通道為開通道。中每個(gè)節(jié)點(diǎn)只經(jīng)過一次，則稱這樣的通道為開通道。 8. 閉通道閉通道：如果通道的終點(diǎn)就是通道的起始點(diǎn)，并且通道中：如果通道的終點(diǎn)就是通道的起始點(diǎn)，并且通道中每個(gè)節(jié)點(diǎn)只經(jīng)過一次，則該通道稱為閉通道或回路、回環(huán)每個(gè)節(jié)點(diǎn)只經(jīng)過一次，則該通道稱

53、為閉通道或回路、回環(huán)等。如果一個(gè)通道從一個(gè)節(jié)點(diǎn)開始，只經(jīng)過一個(gè)支路又回等。如果一個(gè)通道從一個(gè)節(jié)點(diǎn)開始，只經(jīng)過一個(gè)支路又回到該節(jié)點(diǎn)，則稱這樣的通道為自回環(huán)。到該節(jié)點(diǎn)，則稱這樣的通道為自回環(huán)。 9. 前向通道前向通道：從源節(jié)點(diǎn)出發(fā)到匯節(jié)點(diǎn)終止，而且每個(gè)節(jié)點(diǎn)只：從源節(jié)點(diǎn)出發(fā)到匯節(jié)點(diǎn)終止，而且每個(gè)節(jié)點(diǎn)只通過一次的通道稱為前向通道。通過一次的通道稱為前向通道。10.互不接觸回環(huán)互不接觸回環(huán)：如果一些回路沒有任何公共節(jié)點(diǎn)和回路，：如果一些回路沒有任何公共節(jié)點(diǎn)和回路，就稱它們?yōu)榛ゲ唤佑|回環(huán)。就稱它們?yōu)榛ゲ唤佑|回環(huán)。11.通道傳輸通道傳輸：指沿通道各支路傳輸?shù)某朔e，也稱為通道增益。：指沿通道各支路傳輸?shù)某朔e，

54、也稱為通道增益。 12. 回環(huán)傳輸回環(huán)傳輸：又稱為回環(huán)增益，指閉通道中各支路傳輸?shù)模河址Q為回環(huán)增益，指閉通道中各支路傳輸?shù)某朔e。乘積。第一張第一張第一張 例如例如下下圖中，圖中，x。為源節(jié)點(diǎn)，為源節(jié)點(diǎn)，x6為匯節(jié)點(diǎn)。為匯節(jié)點(diǎn)。 x1、x2、x3、x4和和x5為混合節(jié)點(diǎn)。通道為混合節(jié)點(diǎn)。通道abcdej是一條前向通道，而是一條前向通道，而abcde和和fghi是普通的通道，是普通的通道，ai不是通道不是通道,因?yàn)閮蓷l支路的方向不一致。因?yàn)閮蓷l支路的方向不一致。bbi也不是通道，因?yàn)閮纱谓?jīng)過節(jié)點(diǎn)也不是通道，因?yàn)閮纱谓?jīng)過節(jié)點(diǎn)x1 。bi是一個(gè)閉通道是一個(gè)閉通道（回（回環(huán)）環(huán)），而而bchi不是一個(gè)閉

55、通道，因?yàn)橛袃纱谓?jīng)過節(jié)點(diǎn)不是一個(gè)閉通道，因?yàn)橛袃纱谓?jīng)過節(jié)點(diǎn)x2。圖中。圖中共有四個(gè)回環(huán)，即共有四個(gè)回環(huán)，即bi,ch,dg和和ef。兩個(gè)互不接觸的回環(huán)有三種。兩個(gè)互不接觸的回環(huán)有三種組合，即組合，即bief,bidg和和chef。本系統(tǒng)沒有三個(gè)及三個(gè)以上互不接。本系統(tǒng)沒有三個(gè)及三個(gè)以上互不接觸的回環(huán)。觸的回環(huán)。（三）信號(hào)流圖的基本性質(zhì)（三）信號(hào)流圖的基本性質(zhì) （四）信號(hào)流圖的簡(jiǎn)化（四）信號(hào)流圖的簡(jiǎn)化 （l）串聯(lián)支路的總傳輸?shù)扔诟髦穫鬏數(shù)某朔e。）串聯(lián)支路的總傳輸?shù)扔诟髦穫鬏數(shù)某朔e。 （2）并聯(lián)支路的總傳輸?shù)扔诟髦穫鬏斨?。）并?lián)支路的總傳輸?shù)扔诟髦穫鬏斨汀?（3）混合節(jié)點(diǎn)可以用移動(dòng)支路的方法消去。）混合節(jié)點(diǎn)可以用移動(dòng)支路的方法消去。 （4）回環(huán)可以用框圖中反饋連接的規(guī)則化為）回環(huán)可以用框圖中反饋連接的規(guī)則化為等效支路。等效支路。 （1）用）用節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)表示表示變量變量，源節(jié)點(diǎn)源節(jié)點(diǎn)代表代表輸入量輸入量，匯節(jié)點(diǎn)匯節(jié)點(diǎn)代表代表輸輸出量出量，用混合節(jié)點(diǎn)表示變量或信號(hào)的匯合。在，用混合節(jié)點(diǎn)表示變量或信號(hào)的匯合。在混合節(jié)點(diǎn)混合節(jié)點(diǎn)處，所處，所有有出支路出支路的信號(hào)（即混