第二章 導(dǎo)數(shù)與微分課后答案

1、第二章 導(dǎo)數(shù)與微分內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容導(dǎo)數(shù)的定義函數(shù)的求導(dǎo)法則(1) 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則i.ii.iii.(2) 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(鏈?zhǔn)椒▌t)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1) 求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí),只需將確定隱函數(shù)的方程兩邊同時(shí)對(duì)自變量求導(dǎo),凡遇到含有因變量的項(xiàng)時(shí),把當(dāng)作中間變量看待,再按照復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求之,然后從所得等式中解出(2) 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法:對(duì)冪指函數(shù),可以先在函數(shù)兩邊取對(duì)數(shù),然后在等式兩邊同時(shí)對(duì)自變量求導(dǎo),最后解出所求導(dǎo)數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù),即,其中為的反函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)(1) 直接法:利用基本求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,對(duì)函數(shù)逐次地連續(xù)求導(dǎo)(2) 間接法:利用已知的高階導(dǎo)數(shù)

2、公式,通過導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算,變量代換等方法,間接求出指定的高階導(dǎo)數(shù)(3) 萊布尼茨公式 課后習(xí)題全解習(xí)題2-1 1. 用定義求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的定義思路：按照三個(gè)步驟：(1)求增量；（2）算比值；（3）求極限解： 2. 已知物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,求該物體在時(shí)的速度.知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的定義思路： 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，按照三個(gè)步驟求導(dǎo)解: 3. 設(shè)存在，試?yán)脤?dǎo)數(shù)的定義求下列極限：知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的定義思路：利用導(dǎo)數(shù)的定義式求極限(1)解：(2)解： (3)解： 4.設(shè)在處連續(xù)，且，求.知識(shí)點(diǎn):導(dǎo)數(shù)和連續(xù)的定義思路: 關(guān)鍵求出,再利用導(dǎo)數(shù)的定義解: 在處連續(xù)又 5.給定拋物線,求過點(diǎn)的切線方程

3、與法線方程.知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義思路：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得切線的斜率解: 切線的斜率切線的方程為,即 法線方程為,即 6.求曲線在點(diǎn)處的切線方程和法線方程.知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義思路：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得切線的斜率解: 切線的斜率切線的方程為,即 法線方程為,即 7.函數(shù)在點(diǎn)處是否可導(dǎo)?為什么?知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件思路：利用導(dǎo)數(shù)的定義求左右導(dǎo)數(shù)，然后利用函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件判別解： 在處不可導(dǎo). 8.用導(dǎo)數(shù)的定義求在處的導(dǎo)數(shù).知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件思路：利用導(dǎo)數(shù)的定義求左右導(dǎo)數(shù)，然后利用函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件解: 9.設(shè),求.知識(shí)點(diǎn)：分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)思路：分段函數(shù)在

4、每一段內(nèi)可以直接求導(dǎo)，但是在分段點(diǎn)處要利用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 10.試討論函數(shù)在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)與可導(dǎo)的定義思路：利用函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)與可導(dǎo)的定義判斷解: 在處連續(xù). 在處可導(dǎo). 11.設(shè)在處連續(xù), ,求.知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的定義思路：利用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)解:在處連續(xù) 12.設(shè)不恒為零的奇函數(shù)在處可導(dǎo),試說明為函數(shù)的何種間斷點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)以及間斷點(diǎn)的定義思路：利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限解:為奇函數(shù) 又在處可導(dǎo) 即在處有極限.為函數(shù)的可去間斷點(diǎn). 13.當(dāng)物體的溫度高于周圍介質(zhì)的溫度時(shí),物體就不斷冷卻,若物體的溫度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為,應(yīng)怎樣確定該物體在

5、時(shí)刻的冷卻速度?知識(shí)點(diǎn): 導(dǎo)數(shù)的定義思路: 導(dǎo)數(shù)反映的是函數(shù)的變化率,在時(shí)刻的冷卻速度即為函數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)解:時(shí)刻該物體的溫度為,則時(shí)刻物體的溫度為,物體在時(shí)刻的冷卻速度. 14.設(shè)函數(shù)在其定義域上可導(dǎo),若是偶函數(shù),證明是奇函數(shù);若是奇函數(shù),則是偶函數(shù)(即求導(dǎo)改變奇偶性).知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的定義思路：利用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)解:若為偶函數(shù)時(shí), 為奇函數(shù). 若為奇函數(shù)時(shí), 為偶函數(shù).習(xí)題2-2 1. 計(jì)算下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：知識(shí)點(diǎn)：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則思路：利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)(1);解: (2);解: (3);解: (4);解: (5);解: (6);解: (

6、7);解:(8);解:(9);解: (10);解： (11);解:(12).解: 2.計(jì)算下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù):知識(shí)點(diǎn)：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則思路：利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)(1),求;解: (2),求.解: 3.求曲線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處的切線方程與法線方程.知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 思路：利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)得切線的斜率解: 在的點(diǎn)處切線的斜率又當(dāng)時(shí), 在的點(diǎn)處切線方程為，法線方程為 4.寫出曲線與軸交點(diǎn)處的切線方程.知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 思路：

7、利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)得切線的斜率解:當(dāng)時(shí)，即 解得或 曲線與軸的交點(diǎn)為, 點(diǎn)處的切線的斜率為 切線方程為，即 點(diǎn)處的切線的斜率為 切線方程為，即 5.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):知識(shí)點(diǎn)：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則思路：利用鏈?zhǔn)椒▌t求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1);解:(2);解:(3);解:(4);解:(5);解:(6);解:(7);解:(8);解:(9).解: 6.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則思路：利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)數(shù)(1);解: (2);解:(3);解:(4);解:(5);解:(6);解:(7);解:(8

8、);解:(9)解:(10);解: (11);解:(12).解: 7.設(shè)為可導(dǎo)函數(shù),求:知識(shí)點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)思路：利用鏈?zhǔn)椒▌t求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1);解:(2);解:(3).解: 8.設(shè),且可導(dǎo),求.知識(shí)點(diǎn)：抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)思路：利用換元法求函數(shù)表達(dá)式，然后求導(dǎo)數(shù)解:令,則 9.設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，且，求.知識(shí)點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)思路：表示對(duì)的導(dǎo)數(shù)，表示對(duì)的導(dǎo)數(shù)，注意求導(dǎo)的變量解: 由有 令,則 10.已知，求.知識(shí)點(diǎn)：抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)思路：利用換元法求函數(shù)表達(dá)式，然后求導(dǎo)數(shù)解:令,則 11.已知,且,證明.知識(shí)點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)思路：利用鏈?zhǔn)椒▌t求導(dǎo)數(shù)解:由，得 12.設(shè)在內(nèi)可導(dǎo),且,證明:知識(shí)點(diǎn): 復(fù)

9、合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)思路: 利用鏈?zhǔn)椒▌t求導(dǎo)解:由,有 13.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):知識(shí)點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)思路：利用鏈?zhǔn)椒▌t求導(dǎo)數(shù)(1);解:(2);解:(3);解:(4);解:(5);解:(6).解:習(xí)題2-3 1.求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù):知識(shí)點(diǎn)：高階導(dǎo)數(shù)思路：利用基本求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,對(duì)函數(shù)逐次求導(dǎo)(1);解: (2);解: (3);解:(4);解:(5);解:(6);解: (7);解: (8);解:(9).解: 2.設(shè),求.知識(shí)點(diǎn)：高階導(dǎo)數(shù)思路：利用基本求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,對(duì)函數(shù)逐次求導(dǎo)解: 3.已知物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為(是常數(shù)),求物體運(yùn)動(dòng)的加速度,并驗(yàn)證:.知識(shí)點(diǎn)：高階導(dǎo)數(shù)思路：利用基本

10、求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,對(duì)函數(shù)逐次求導(dǎo)解: 4.驗(yàn)證函數(shù)(是常數(shù))滿足關(guān)系式: 知識(shí)點(diǎn)：高階導(dǎo)數(shù)思路：利用基本求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,對(duì)函數(shù)逐次求導(dǎo)解: 5.設(shè)連續(xù),且,求.知識(shí)點(diǎn): 導(dǎo)數(shù)的定義思路: 因?yàn)椴灰欢ù嬖?不能直接求二階導(dǎo)數(shù),要利用導(dǎo)數(shù)的定義求解: 又連續(xù),但不一定存在 6.若存在,求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).知識(shí)點(diǎn): 高階導(dǎo)數(shù),復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則思路: 利用鏈?zhǔn)椒▌t求導(dǎo)(1)解: (2).解: 7.已知在處有二階導(dǎo)數(shù),試確定參數(shù)的值.知識(shí)點(diǎn)：可導(dǎo)與連續(xù)的定義，以及可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系思路：由已知條件得方程組，聯(lián)立方程組求解解:在處有二階導(dǎo)數(shù) 在處連續(xù)，且在處連續(xù)從而有，即 又 在處可導(dǎo)

11、 而 ，且 又 在處二階可導(dǎo) 而 ，即8.求下列函數(shù)所指定階的導(dǎo)數(shù):知識(shí)點(diǎn)：高階導(dǎo)數(shù)思路: 利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式和萊布尼茨公式求高階導(dǎo)數(shù) (1)求;解: (2),求;解: (3) ,求;解: (4),求.解: 9.作變量代換,簡(jiǎn)化方程.知識(shí)點(diǎn): 高階導(dǎo)數(shù)思路: 利用鏈?zhǔn)椒▌t求導(dǎo) 解: 又 代入方程得 即 習(xí)題2-41.求下列方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù):知識(shí)點(diǎn): 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)思路: 方程兩邊同時(shí)對(duì)自變量求導(dǎo),凡遇到含有因變量的項(xiàng)時(shí),把當(dāng)作中間變量看待,再按照復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求之,然后從所得等式中解出 (1);解:方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo),得 解得 (28) ;解:方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo),得 解得 (3)

12、;解:方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo),得 解得 (4);解:方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo),得 解得 (5).解:方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo),得 即 解得2.求下列方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù):知識(shí)點(diǎn): 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),高階導(dǎo)數(shù)思路: 方程兩邊同時(shí)對(duì)自變量求導(dǎo),凡遇到含有因變量的項(xiàng)時(shí),把當(dāng)作中間變量看待,再按照復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求之,然后從所得等式中解出,再對(duì)一階導(dǎo)數(shù)利用導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo) (1) 解:方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo),得 解得 (2);解: 方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo),得 解得 (3).解: 方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo),得 解得 3.用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):知識(shí)點(diǎn): 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法思路: 在函數(shù)兩邊取對(duì)數(shù),然后在等式兩邊

13、同時(shí)對(duì)自變量求導(dǎo),最后解出所求導(dǎo)數(shù) (1);解:等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù),得 等式兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo),得 (2) 解: 等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù),得等式兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo),得 (3) 解:等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù),得等式兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo),得 4.設(shè)函數(shù)由方程確定,求,并求曲線上其橫坐標(biāo)處點(diǎn)的切線方程與法線方程.知識(shí)點(diǎn):隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的幾何意義思路: 方程兩邊同時(shí)對(duì)自變量求導(dǎo),凡遇到含有因變量的項(xiàng)時(shí),把當(dāng)作中間變量看待,再按照復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求之,然后從所得等式中解出解: 方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo),得 解得 當(dāng)時(shí), 在處切線的斜率 處的切線方程為,即 法線方程為,即 5.求曲線在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線方程和法線方程.知識(shí)點(diǎn): 參數(shù)方程

14、表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)思路: 利用參數(shù)方程表示的函數(shù)的求導(dǎo)公式求導(dǎo)解: 當(dāng)時(shí), 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線方程為, 即 法線方程為, 即6.求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù):知識(shí)點(diǎn): 參數(shù)方程表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)思路: 利用參數(shù)方程表示的函數(shù)的求導(dǎo)公式求導(dǎo) (1) ;解: (2) ;解: (3) .解: 7.求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù):知識(shí)點(diǎn): 參數(shù)方程表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)思路: 利用參數(shù)方程表示的函數(shù)的求導(dǎo)公式求一階導(dǎo)數(shù),再將看作中間變量利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求二階導(dǎo)數(shù), (1) ;解: (2) ;解: (3) .解: 8.落在平靜水面上的石頭,產(chǎn)生同心波紋,若最外一圈波半徑的增大率總是6,問在2末擾動(dòng)水面面積

15、的增大率為多少? 知識(shí)點(diǎn): 導(dǎo)數(shù)的定義 思路: 導(dǎo)數(shù)反映的函數(shù)的變化率,列出函數(shù)求導(dǎo)解:設(shè)最外一圈波半徑為,則水面面積擾動(dòng)水面面積的增大率 (*)在時(shí),. 代入(*)式得 9.一長(zhǎng)為5米得梯子斜靠在墻上.如果梯子下端以0.5米/秒的速率滑離墻壁,試求梯子與墻的夾角為時(shí),該夾角的增加率.知識(shí)點(diǎn): 導(dǎo)數(shù)的定義思路: 導(dǎo)數(shù)反映的函數(shù)的變化率,列出函數(shù)求導(dǎo)解:設(shè)梯子下端離墻面的距離為,則設(shè)梯子與墻的夾角為,則 當(dāng)時(shí),即 當(dāng)時(shí),夾角的增加率為 10.在中午十二點(diǎn)整甲船以6公里/小時(shí)的速率向東行駛,乙船在甲船之北16公里處,以8公里/小時(shí)的速率向南行駛,問下午一點(diǎn)整兩船相距的速率為多少?知識(shí)點(diǎn): 導(dǎo)數(shù)的定

16、義思路: 導(dǎo)數(shù)反映的函數(shù)的變化率,列出函數(shù)求導(dǎo)解:在十二點(diǎn)后小時(shí)甲船行駛的路程(km),乙船行駛的路程為(km)當(dāng)時(shí),甲乙兩船的距離當(dāng)時(shí),甲乙兩船相距的速率km/h習(xí)題2-5 1.已知，在點(diǎn)處計(jì)算當(dāng)分別為1，0.1，0.01時(shí)的及之值.知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)增量以及函數(shù)微分的定義思路：利用函數(shù)增量以及函數(shù)微風(fēng)的定義計(jì)算即可解： 當(dāng)時(shí)， (2) 當(dāng)時(shí)， (3) 當(dāng)時(shí)， 2.將適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)填入下列括號(hào)內(nèi)，使等式成立：知識(shí)點(diǎn)：微分形式的不變性思路：利用求函數(shù)微分(1) 解： (2) 解： (3) 解： (4) 解： (5) 解： (6) 解： 3.求下列函數(shù)的微分：知識(shí)點(diǎn)：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

17、，復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，以及微分的定義思路：利用求函數(shù)微分 (1) 解： （2）解： (3) 解: (4) 解: (5)解: (6)解: (7)解: (8)解: 4.求方程所確定的函數(shù)的微分.知識(shí)點(diǎn): 微分的四則運(yùn)算法則和微分形式的不變性思路: 方程兩邊同時(shí)求微分,再解出解:方程兩邊同時(shí)求微分, 即 化簡(jiǎn)得 5.求由方程所確定的函數(shù)的微分. 知識(shí)點(diǎn): 微分的四則運(yùn)算法則和微分形式的不變性 思路: 方程兩邊同時(shí)求微分,再解出解:方程兩邊同時(shí)求微分,得 即 化簡(jiǎn)得 6.當(dāng)較小時(shí),證明下列近似公式:知識(shí)點(diǎn): 微分的應(yīng)用思路: 當(dāng)較小時(shí), (1)解:當(dāng)較小時(shí), 即(2)解: 即(3)解: 即 7.計(jì)算下列格

18、式的近似值:知識(shí)點(diǎn): 微分的應(yīng)用思路: 當(dāng)較小時(shí), (1) 解: 令則取得(2) 解:令,則取,得(3) 解:令,則取,得 8.為了計(jì)算出球的體積(精確到1%), 問度量球的直徑所允許的最大相對(duì)誤差是多少?知識(shí)點(diǎn): 微分的定義思路: 當(dāng)很小時(shí), 解:球的體積 由題目已知條件可知 9.擴(kuò)音器插頭為圓柱形,截面半徑為0.15cm,長(zhǎng)度為4cm,為了提高它的導(dǎo)電性能,要在該圓柱的側(cè)面鍍上一層厚為0.001cm的純銅,問每個(gè)插頭約需多少克純銅?知識(shí)點(diǎn): 微分的定義思路: 當(dāng)很小時(shí), 解:圓柱底面積 鍍層的體積 10.某廠生產(chǎn)一扇形板,半徑 ,要求中心角為,產(chǎn)品檢測(cè)時(shí),一般用測(cè)量弦長(zhǎng)的方法來間接測(cè)量中心

19、角.如果測(cè)量弦長(zhǎng)時(shí)的誤差,問由此而引起的中心角測(cè)量誤差是多少?知識(shí)點(diǎn): 微分的定義思路: 當(dāng)很小時(shí), 解: ,又(弧度)總習(xí)題二 1.設(shè)存在，求知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的定義思路：利用導(dǎo)數(shù)的定義式求極限解： 2設(shè)，求.知識(shí)點(diǎn): 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則思路: 含有的項(xiàng)為零,所以只需要求出導(dǎo)數(shù)不含的解: 3.設(shè)對(duì)任何滿足,且(常數(shù)),求.知識(shí)點(diǎn): 導(dǎo)數(shù)的定義思路: 關(guān)鍵湊出導(dǎo)數(shù)定義的極限形式解:由得 而 令,則,當(dāng)時(shí), 即 4.設(shè)函數(shù)對(duì)任何實(shí)數(shù)有且,證明:函數(shù)可導(dǎo),且.知識(shí)點(diǎn): 導(dǎo)數(shù)的定義思路: 關(guān)鍵湊出導(dǎo)數(shù)定義的極限形式解:由 5.求解下列問題: (1)求的反函數(shù)的導(dǎo)數(shù);知識(shí)點(diǎn): 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)思路: 反函數(shù)的導(dǎo)

20、數(shù)等于原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)解: (2)設(shè)是的反函數(shù),且,求.知識(shí)點(diǎn):反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)思路: 關(guān)鍵是理解反函數(shù)和原函數(shù)之間的關(guān)系,反函數(shù)中的自變量的值是原函數(shù)的函數(shù)值解:由得 6.在拋物線上取橫坐標(biāo)為及的兩點(diǎn),作過兩點(diǎn)的割線,問拋物線上哪一點(diǎn)的切線平行于這條割線?知識(shí)點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的幾何意義思路: 切線的斜率為曲線在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù),列方程求解解:當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)(1,1)和點(diǎn)(3,9)的直線的斜率為設(shè)點(diǎn)處的切線平行于這條割線，則，即 ，即 7.求與直線垂直的曲線的切線方程.知識(shí)點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的幾何意義思路: 切線的斜率為曲線在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù),列方程求解解: 直線的斜率為設(shè)點(diǎn)處的切線與直線垂直,則或當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),點(diǎn)為(-

21、1,1)或(3,5) 切線方程為即或，即 8.討論函數(shù)在點(diǎn)處的可導(dǎo)性.知識(shí)點(diǎn): 導(dǎo)數(shù)的定義思路: 利用定義求左右導(dǎo)數(shù),看左右導(dǎo)數(shù)是否相等解: 在處可導(dǎo). 9.設(shè)函數(shù),為了使函數(shù)在處連續(xù)且可導(dǎo),應(yīng)取什么值知識(shí)點(diǎn):連續(xù)與可導(dǎo)的定義思路: 利用連續(xù)與可導(dǎo)的定義的方程組求解解：要使在處連續(xù)，則要使在處可導(dǎo)，則而, 10.試確定，使在處可導(dǎo).知識(shí)點(diǎn): 連續(xù)與可導(dǎo)的定義思路: 可導(dǎo)一定連續(xù),由連續(xù)性和可導(dǎo)得方程組求解解：若在處可導(dǎo)，則在處連續(xù) 要使在處可導(dǎo)，則而 由得 11.設(shè)函數(shù)在-1,1上定義,且滿足,證明存在,且.知識(shí)點(diǎn): 導(dǎo)數(shù)的定義思路: 利用定義求左右導(dǎo)數(shù),看左右導(dǎo)數(shù)是否相等解：由,得 當(dāng)時(shí)而由

22、夾逼準(zhǔn)則知當(dāng)時(shí)而由夾逼準(zhǔn)則知又 12.設(shè),求.知識(shí)點(diǎn): 導(dǎo)數(shù)的定義思路: 求分段函數(shù)在分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù), 利用定義求左右導(dǎo)數(shù),看左右導(dǎo)數(shù)是否相等解: 13.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):知識(shí)點(diǎn): 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則思路: 利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和鏈?zhǔn)椒▌t求導(dǎo)數(shù) (1);解： (2);解： (3);解： (4);解： (5);解： (6);解： (7);解： (8);解： (9).解: 14.設(shè),求知識(shí)點(diǎn): 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則思路: 先利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)函數(shù), 再利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和鏈?zhǔn)椒▌t求導(dǎo)數(shù)解：15.設(shè)為可導(dǎo)函數(shù),求:知識(shí)點(diǎn): 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)

23、法則思路: 利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和鏈?zhǔn)椒▌t求導(dǎo)數(shù) (1);解： (2).解： 16.設(shè)時(shí)，可導(dǎo)函數(shù)滿足：，求.知識(shí)點(diǎn): 函數(shù)的定義思路: 由已知條件可將自變量換為,得方程組求解解：由得得 17.已知,求.知識(shí)點(diǎn): 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)思路: 利用鏈?zhǔn)椒▌t求導(dǎo)解:18.求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù):知識(shí)點(diǎn): 高階導(dǎo)數(shù)思路: 利用基本求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,對(duì)函數(shù)逐次求導(dǎo) (1);解： (2).解： 19.試從導(dǎo)出:知識(shí)點(diǎn):高階導(dǎo)數(shù)思路: 要分清求導(dǎo)的變量,求導(dǎo)過程中表示對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)(1);解：(2).解： 20.已知函數(shù)具有任意階導(dǎo)數(shù)，且，則當(dāng)n為大于2的正整數(shù)時(shí)，的n階導(dǎo)數(shù)是( A )知識(shí)點(diǎn): 高階導(dǎo)

24、數(shù)思路: 利用歸納推理法(A);(B);(C);解： 歸納可得21.求下列函數(shù)所指定階的導(dǎo)數(shù)：知識(shí)點(diǎn): 高階導(dǎo)數(shù)思路: 通過函數(shù)變形, 利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式間接求出指定的高階導(dǎo)數(shù),對(duì)乘積函數(shù)利用萊布尼茨公式求階導(dǎo)數(shù) (1),求；解： (2)設(shè)，求；解： (3)，求.解： 22.設(shè),求.知識(shí)點(diǎn): 高階導(dǎo)數(shù)思路: 轉(zhuǎn)化為乘積函數(shù),利用萊布尼茨公式求階導(dǎo)數(shù)解： 等式兩邊同時(shí)求n階導(dǎo)數(shù),并由萊布尼茨公式,可得當(dāng)時(shí),有 ,又 由(*)式遞推,可得 23.求曲線在點(diǎn)處的切線方程和法線方程.知識(shí)點(diǎn): 導(dǎo)數(shù)的幾何意義思路: 利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù),得切線斜率解：方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo),得解得 點(diǎn)處切線的斜

25、率為切線方程為，即 法線方程為，即 24.設(shè)方程確定為的函數(shù),求.知識(shí)點(diǎn):隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)思路: 將方程兩邊同時(shí)對(duì)自變量求導(dǎo),凡遇到含有因變量的項(xiàng)時(shí),把當(dāng)作中間變量看待,再按照復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求之,然后從所得等式中解出解：方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo),得 解得 將代入方程,得 25.用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):知識(shí)點(diǎn): 隱函數(shù)求導(dǎo)思路: 方程兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù),利用對(duì)數(shù)性質(zhì)化簡(jiǎn)函數(shù),再利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求導(dǎo)數(shù) (1);解:兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù),得 兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo),得 (2).解: 兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo),得 26.設(shè)函數(shù)由方程所確定，求.知識(shí)點(diǎn):隱函數(shù)求導(dǎo)法思路: 先利用隱函數(shù)求導(dǎo)法求一階導(dǎo)數(shù),再對(duì)一階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo),在求到過

26、程中將看作中間變量,利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求之解:方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo),得解得 將代入方程得 27.求下列方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù):知識(shí)點(diǎn):隱函數(shù)求導(dǎo)法思路: 先利用隱函數(shù)求導(dǎo)法求一階導(dǎo)數(shù),再對(duì)一階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo),在求到過程中將看作中間變量,利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求之 (1)；解:等式兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo),得 解得 將代入得 (2).解: 方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo),得 解得 將代入得 28.設(shè)由方程所確定,二階可導(dǎo)且,求.知識(shí)點(diǎn): 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)思路: 利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求一階導(dǎo)數(shù),再求二階導(dǎo)數(shù)解：等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù),得 等式兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo),得 29.求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù):知識(shí)點(diǎn): 參數(shù)方程表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)思路

27、: 求二階導(dǎo)數(shù)時(shí)將看作中間變量,利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求之 (1);解: (2).解: 30.設(shè)由方程組確定了是的函數(shù)，則( )知識(shí)點(diǎn): 參數(shù)方程表示的函數(shù)及隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)思路: 求二階導(dǎo)數(shù)時(shí)將看作中間變量,利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求之(A); (B) (C) (D)解:在方程的兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo),得解得 由得 31.設(shè)函數(shù)由方程所確定，求.知識(shí)點(diǎn): 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)思路: 利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法,在等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù),再求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解: 方程兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù),得.即等式兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo),得 32.設(shè)函數(shù)的極坐標(biāo)式為,求.知識(shí)點(diǎn):參數(shù)方程表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)思路: 利用函數(shù)的極坐標(biāo)形式轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程解:由得 33.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為,求質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的運(yùn)動(dòng)速度及加速度的大小(為大于零的常數(shù)).知識(shí)點(diǎn): 參數(shù)方程表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)思路: 由導(dǎo)數(shù)的意義知,而解: 34.求下列函數(shù)的微分:知識(shí)