2015年山東卷(理科數(shù)學(xué))含答案

1、歷年高考真題12015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(山東卷)本試卷分第I卷和第口卷兩部分，共4頁。滿分150分。考試用時(shí)120分鐘?？荚嚱Y(jié)束后,將將本試卷和答題卡一并交回。注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、座號(hào)、考生號(hào)、縣區(qū)和科類填寫在答題卡和試卷規(guī)定的位置上。2.第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，在選涂其他答案標(biāo)號(hào)。答案寫在試卷上無效。3.第口卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，不能寫在試卷上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能使

2、用涂改液、膠帶紙、修正帶。不按以上要求作答的答案無效。4.填空題直接填寫答案，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟參考公式：如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第I卷(共50分)一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的(1)已知集合A=(X|X2-4X+30,B=X|2X4,貝UAflB=【C】(A)(1,3)(B)(1,4)(C)(2,3)(D)(2,4)(2)若復(fù)數(shù)Z滿足i,其中i為虛數(shù)單位，則Z=【A絕密啟用前(A)1-i(B) 1+i(C) -1-i(D) -1+i(3)要得到函數(shù)y=sin(4x)的圖

3、像，只需要將函數(shù)3y=sin4x的圖像【C】(A)向左平移個(gè)單位12(B)向右平移個(gè)單位12歷年高考真題2已知菱形ABCD的邊長為a,ZABC=60,則3333：n n33n3n(A)-a(B)-a(。一親(D)-a2 24 44747(5)不等式|x-1|-|x-5|0V0v v+ +y y 2 2(6)已知x,y滿足約束條件，若z=ax+y的最大值為4,貝Ua=【B】(A)3(B)2(C)-2(D)-3、,一.n n一一一,，一(7)在梯形ABCD中，/ABC=,AD/BC,BC=2AD=2AB=2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為【C】2TC4TC

4、STC(A(B)：；(D)次(8)已知某批零件的長度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0,32),從中隨機(jī)取一件，其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為【B】(附：若隨機(jī)變量E服從正態(tài)分布NU,b2),則PQ-bE林+b)=68.26%,P-2b0,b0)的漸近線與拋物線G： X2=2py(p0)交于O,若OAB的垂心為G的焦點(diǎn)，貝UCI的離C2n-1+C2n-1+C22n-1+Cn2n-14n1歷年高考真題43心率為2.三、解答題：本答題共6小題，共75分。歷年高考真題5(16)(本小題滿分12分)設(shè)f(x)=sinxcosxcos2(x+).4(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(n)在銳角ABC

5、中,角A,B,C,的對(duì)邊分別為a,b,c,若fA)=0,a=1,求ABC面積的最大2值。由題意f(x)1sin2x21cos(2x2)1sin2x121.csin2x可得sin2x122k2x2k2k2x由2322k得4所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ)l、nk單倜遞減區(qū)間是434kZ)l+A1.f()sinA(II)220sinA歷年高考真題62.3ABC面積最大值為4(17)(本小題滿分12分)如圖，在三棱臺(tái)DEF-ABg,AB=2DE,G,H分別為AC,BC的中點(diǎn)。(I)求證：BC/平面FGH(C)若CFL平面ABCABLBC,CF=DE,ZBAC=450,求平面FGHf平面ACF所成

6、的角(銳角)的大小.(I)證法一：連接DG,CD,設(shè)CDGFO,連接OH在三棱臺(tái)DEFABC中，AB2DE,G為AC的中點(diǎn)可得DF/GC,DFGC所以四邊形DFCG為平行四邊形，則O為CD的中點(diǎn)，由題意A是銳角，所以cosA圣2由余弦定理：a2c2bccosA可得1,3bcb2c22bcbc2.3，且當(dāng)bc時(shí)成立bcsinA2.34歷年高考真題7又H為BC的中點(diǎn)，所以O(shè)HBD,又OH平面FGHBD平面FGH,所以BD平面FGH證法二：在三棱臺(tái)DEFABC中，由BC2EF,H為BC的中點(diǎn)，可得BH/EF,BHEF,所以四邊形BHFE為平行四邊形，可得BE/HF,在ABC中，G為AC的中點(diǎn)，H為B

7、C的中點(diǎn),所以GH/AB,又GHHFH,所以平面FGH/平面ABED,因?yàn)锽D平面ABED,所以BD平面FGH。(II)解法一：設(shè)AB2,則CF1,在三棱臺(tái)DEFABC中，G為AC的中點(diǎn),1DF-ACGC由2,可得四邊形DGCF為平行四邊形,歷年高考真題8因此DG/FCFC平面ABC,所以DG平面ABC在ABC中，由ABBC,BAC45,G是AC中點(diǎn)所以ABBC,GBGC因此GB,GC,GD兩兩垂直,以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Gxyz,所以G(0,0,0),B(、2,0,0),C(0,、2,0),D(0,0,1)可得H號(hào),0），F(xiàn)（。,、.2,0）GH(*,0),GF(,.2

8、,0)故22設(shè)n（x，y，z）是平面FGH的一個(gè)法向量，則n?GH0由n?GFI可得平面FGH的一個(gè)法向量n（1,”、幻因?yàn)榘菏瞧矫鍭CFD的一個(gè)法向量，澆（還，0,0）cos：GB,n所以所以平面FGH與平面ACFD所成角（銳角）的大小為60解法二:作HMAC與點(diǎn)M,作MNGF與點(diǎn)N,連接NH平面ABC，得HMFC212,22GB?n|GB|?|n|歷年高考真題9又FCACC所以HM平面ACFD,因此GFNH,所以MNH即為所求的角，-12MH/BG,MH-BG在BGC中，22,由GNMGCF,MNGM可得FCGF,MN從而6,由HM平面ACFD,MN平面ACFD,得HMMNtanMNH.3

9、因此MN,所以MNH60,所以平面FGH與平面ACFD所成角(銳角)的大小為60(18)(本小題滿分12分)設(shè)數(shù)列4的前n項(xiàng)和為Sn.已知2Sn=3。+3.(I)求an的通項(xiàng)公式；(II)若數(shù)列bn滿足anbn=log32，求bn的前n項(xiàng)和Tn.解：因?yàn)?$3n3,歷年高考真題10所以ai3,1時(shí),2Sn13n1此時(shí)2an2Sn2Sn3n3n1，即即an3n2所以(II)因?yàn)樗訲n所以ananbnbiTn所以經(jīng)檢驗(yàn),時(shí),b綜上可得3,n13n2,nlog32bn3nbi所以3,2log23n(n-.11)?313；bn(1(n1)32n)1(130:得2(30332132n3132136n3

10、6n23b2b33Tn兩式相減,1(n1)2Tn32316n3(n1)32n)32n33n)1312也適合,Tn136n31243n歷年高考真題11(19)(本小題滿分12分)若n是一個(gè)三位正整數(shù)，且n的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字,則稱n為“三位遞增數(shù)”(如137,359,567等).在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù),且只能抽取一次.得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個(gè)數(shù)字之積不能被5整除,參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1分；若能被10整除，得1分.(I)寫 出 所有個(gè)位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”；(II)若甲參加活

11、動(dòng)，求甲得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望解：(I)個(gè)位數(shù)是5的“三位遞增數(shù)”有125,135,145,235,245,345;C3(II)由題意知，全部“三位遞增數(shù)”的個(gè)數(shù)為9隨機(jī)變量X是取值為：0,-1,1,因此所以X的分布列為X0-11P23114114221110(1)1-31442(20)(本小題滿分13分)平面直角坐標(biāo)系切T中，已知橢圓。：京十*=3的離心率為亍，左、右焦點(diǎn)分別是寫、耳.以EX.84P(X0)CC33,P(X1)14P(X1)1上2四14342EX則421歷年高考真題12耳為圓心以3為半徑的圓與以耳為圓心以1為半徑的圓相交,歷年高考真題13且交點(diǎn)在橢圓上.(I)求橢圓C1的方

12、程;(n)設(shè)橢圓=1 狎?yàn)闄E圓C上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線4a4a鉆的值;(II)求占5。面積的最大值322,a可得所以橢圓C的方程為2X02.y。1因?yàn)?y=kx交橢圓E于孔8兩點(diǎn)，射線交橢圓E于點(diǎn)卻.解：(I)由題意知2a4,2,b2(II)由(I)知橢圓E的方程為2X16|OQ|Pgy。)設(shè)|OP1，由題意知Q(X0,y)歷年高考真題14(ii)設(shè)A(Xi,yi),B(X2,y2)22(X。)(y。)又1642,X0(44y2)i所以|OQ|2，即|p|歷年高考真題15將ykxm代入橢圓E的方程,216k24m2|m|1 4k22、(16k2422m)m14k222mm2)24k14k2m

13、t2令14k將ykxm代入橢圓方程，(14k2)x28kmx4m240由0,可得m214k2由(W 知0t1,可得(14k2)x28kmx4m2160由0,可得m2416k22一8km4m16xiX22,X1X2廠|xx2|4.16k24m2因?yàn)橹本€ykxm與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,m）所以SOAB的面積1,，二|m|xx2|24歷年高考真題16因此S2(4t)t2t24t,故S2.3,歷年高考真題17當(dāng)且僅當(dāng)t1時(shí)，即m214k2時(shí)取得最大值2招，由知，ABQ面積為3S,所以ABQ面積的最大值為6龍.(21)(本小題滿分14分)2設(shè)函數(shù)f(x)=In(x+1)+(x-x)，其中R。(i)討論函

14、數(shù)f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；(n)若0,f()0成立，求的取值范圍。解：(I)由題意知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1,),1)當(dāng)a0時(shí)，g(x)1f(x)0,函數(shù)f(x)在(1,)單調(diào)遞增，無極值點(diǎn);8a當(dāng)9時(shí)，0,設(shè)方程2ax2axa10的兩根為x1,x2(x1對(duì),1f(x)廠a(2x1)2ax2axa1x1令g(x)2ax2axa1,x(1,),此時(shí)f(x)0,函數(shù)f(x)在(1)單調(diào)遞增，無極值點(diǎn);(2)當(dāng)a0時(shí),2一一一a8a(1a)a(9a8)0當(dāng)89時(shí),0g(x)0歷年高考真題181x1x2-因?yàn)?,歷年高考真題1911Xi,X2所以44,1Xi-由g(1110,可得4,所以當(dāng)

15、x(危1)時(shí)，g(x)0f(x)。，函數(shù)f(x1單調(diào)遞增;當(dāng)x(XU?)時(shí)，g(x),0f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(x2)時(shí)，g(x)o,f(x)o,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;因此函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)。由g(1)10,可得x11,當(dāng)x(以)時(shí)，g(x)0,f(x)o,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(X2)時(shí)，g(x)0,f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;所以函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn)。綜上所述：當(dāng)a。時(shí)，函數(shù)f(x)有一個(gè)極值點(diǎn)；89時(shí)，函數(shù)f(X)無極值點(diǎn);8a-，、當(dāng)9時(shí)，函數(shù)(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)。(II)由(I)知，(3)當(dāng)a。時(shí),0a(1)當(dāng)89時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,)上單調(diào)遞增,歷年高考真題20因?yàn)閒(0)0,所以x(0,)時(shí)，f(x)0,符合題意;歷年高考真題21(2)當(dāng)9a1時(shí)，由g(0)。，得X20所以函數(shù)f(x)在(0,)上單調(diào)遞增，又f(。)