多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

1、第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則教學(xué)目的：使學(xué)生熟練掌握多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；了解函數(shù)全微分形式不變性:。教學(xué)重點：復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的求導(dǎo)法則教學(xué)過程：一、 復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形定理1 如果函數(shù)u=j(t)及v=y(t)都在點t可導(dǎo),函數(shù)z=f(u,v)在對應(yīng)點(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)z=fj(t),y(t)在點t可導(dǎo),且有.簡要證明1:因為z=f(u,v)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),所以它是可微的,即有.又因為u=j(t)及v=y(t)都可導(dǎo), 因而可微, 即有,代入上式得 ,從而.簡要證明2:當(dāng)t取得增量Dt時,u、v及z相應(yīng)地也取得增量Du、Dv及Dz.由

2、z=f(u,v)、u=j(t)及v=y(t)的可微性,有,令Dt®0,上式兩邊取極限,即得.注:.推廣:設(shè)z=f (u,v,w),u=j(t),v=y(t),w=w(t),則z=fj(t),y(t),w(t)對t的導(dǎo)數(shù)為:.上述稱為全導(dǎo)數(shù).二、 復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形 定理2 如果函數(shù)u=j(x,y),v=y(x,y)都在點(x,y)具有對x及y的偏導(dǎo)數(shù), 函數(shù)z=f(u,v)在對應(yīng)點(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則復(fù)合函數(shù)z=f j(x,y),y(x,y)在點(x,y)的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在, 且有,.推廣:設(shè)z=f(u,v,w ),u=j(x,y),v=y(x,y),w=w

3、(x,y),則,.討論:(1)設(shè)z=f(u,v),u=j(x,y),v=y(y), 則？ 提示:,.(2)設(shè)z=f(u,x,y),且u=j(x,y),則？ 提示:,.這里與是不同的,是把復(fù)合函數(shù)z=fj(x,y),x,y中的y看作不變而對x的偏導(dǎo)數(shù),是把f(u,x,y)中的u及y看作不變而 對x的偏導(dǎo)數(shù).與也朋類似的區(qū)別.三、復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù), 又有多元函數(shù)的情形 定理3如果函數(shù)u=j(x,y)在點(x,y)具有對x及對y的偏導(dǎo)數(shù), 函數(shù)v=y(y)在點y可導(dǎo), 函數(shù)z=f(u,v)在對應(yīng)點(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則復(fù)合函數(shù)z=fj(x,y),y(y)在點(x,y)的兩個偏導(dǎo)

4、數(shù)存在, 且有,.例1設(shè)z=eusin v,u=xy,v=x+y,求和.解=eusin v×y+eucos v×1=exyy sin(x+y)+cos(x+y),=eusin v×x+eucos v×1=exyx sin(x+y)+cos(x+y).例2 設(shè),而.求和.解.例3設(shè)z=uv+sin t,而u=et,v=cos t.求全導(dǎo)數(shù).解=v×et+u×(-sin t)+cos t=etcos t-etsin t+cos t=et(cos t-sin t)+cos t.例4設(shè)w=f(x+y+z,xyz),f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求及.

5、解令u=x+y+z,v=xyz,則w=f(u,v).引入記號:,;同理有,等. 注:,.例5 設(shè)u=f(x,y)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),把下列表達(dá)式轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)系中的形式:(1);(2).解 由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系式得u=f(x,y)=f(rcos,rsin)=F(r,),其中x=rcos,y=rsin,.應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則, 得,.兩式平方后相加, 得.再求二階偏導(dǎo)數(shù), 得.同理可得.兩式相加, 得.全微分形式不變性: 設(shè)z=f(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有全微分.如果z=f(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),而u=j(x,y),v=y(x,y)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則.由此可見,無論z是自變量u、v的函數(shù)或中間變量u、v的函數(shù),它的全微分形式是一樣的.這個性質(zhì)叫做全微分形式不變性.例6設(shè)z=eusin v,u=xy,v=x+y,利用全微分形式不變性求全微分.解= eusin vdu+ eucos vdv= eusin v(ydx+xdy )+ eucos v(dx+dy)=( yeusin v+ e