直線對稱問題

1、直線系對稱問題（一） 主要知識及方法：點關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)為 ；關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)為 ； 關(guān)于的對稱點的坐標(biāo)為 ；關(guān)于的對稱點的坐標(biāo)為 .點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)的求法： 設(shè)所求的對稱點的坐標(biāo)為，則的中點一定在直線上.直線與直線的斜率互為負(fù)倒數(shù)，即直線關(guān)于直線的對稱直線方程的求法： 到角相等； 在已知直線上去兩點（其中一點可以是交點，若相交）求這兩點關(guān)于對稱軸的對稱點，再求過這兩點的直線方程； 軌跡法(相關(guān)點法)； 待定系數(shù)法，利用對稱軸所在直線上任一點到兩對稱直線的距離相等，點關(guān)于定點的對稱點為，曲線：關(guān)于定點的對稱曲線方程為.直線系方程：直線（為常數(shù)，參數(shù)；為參數(shù)，位常數(shù)）.過定點的直

2、線系方程為及與直線平行的直線系方程為（）與直線垂直的直線系方程為過直線和的交點的直線系的方程為：（不含）典例分析（一）例1：已知3a+2b=1, 求證：直線ax+by+2(x-y)-1=0過定點,并求該定點坐標(biāo).思路一：由3a+2b=1得:b=(1-3a) 代入直線系方程ax+by+2(x-y)-1=0整理得(2x y-1)+a(x -y)=0 由, 得交點(1, )直線過定點(1, ).思路二：賦值法令a=0得b= 得L1: 2x - y-1=0令b=0得a= 得L2: x y=0由, 得交點(1, )把交點坐標(biāo)代入原直線方程左邊得: 左邊=(3a+2b-1)3a+2b-1=0 左邊=0 這

3、說明只要3a+2b-1=0 原直線過定點(1, ).例2:求證:無論為何值,直線(2+)x-(1+)y-2(3+2)=0與點P(-2,2)的距離d都小于4.證明：將直線方程按參數(shù)整理得 (2x-y-6)+(x-y-4)=0故該直線系恒過二直線2x-y-6=0和x-y-4=0的交點M易解得M(2,-2) 求得|PM|=4 所以d4而過點M垂直PM的直線方程為x-y-4=0, 又無論為何值,題設(shè)直線系方程都不可能表示直線x-y-4=0d<4【注】此題若按常規(guī)思路,運用點距公式求解,則運算量很大,難算結(jié)果,運用直線系過定點巧妙獲解.例題：例3、 （1）證明直線l過定點； （2）若直線l交x軸負(fù)

4、半軸于A，交y軸正半軸于B，AOB的面積為S，求S的最小值，并求此時直線l的方程； （3）若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍。 分析：（1）證直線系過定點，可用分離參數(shù)法。 （2）求AOB面積S的最小值，應(yīng)先求出目標(biāo)函數(shù)Sf(k)，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征選擇最小值的求法。 （3）直線不經(jīng)過第四象限的充要條件是：直線在x軸上的截距小于或等于-2，在y軸上的截距大于或等于1?；蛴芍本€經(jīng)過定點（-2，1）知斜率大于或等于零。 解：（1）直線l的方程是： 無論k取何值，直線總經(jīng)過定點（-2，1） （2）由l的方程，得： 解得：k0 解之得：k0 小結(jié)：本題證明直線系過定點問題所使用的“分離參數(shù)法”

5、，也是證明曲線系過定點的一般方法。例4、已知P（1，3），直線l：x4y10（1）求過P且平行于l的直線l1的方程；（2）求過P且垂直于l的直線l2的方程策略：由l1l的斜率關(guān)系可得，由l2l的斜率關(guān)系得4，再利用點斜式方程可求出直線l1，l2的方程由平行直線系與垂直直線系可以求出l1，l2的方程解法一：（1）直線l的斜率為且l1l，直線l1的斜率k1又l1過P（1，3），l1的方程為y3(x1)，即x4y110(2)kl且l2l，直線l2的斜率為k24又l2過P(1，3)l2的方程為y34(x1)即4xy70解法二：（1）l1l且l方程為x4y10設(shè)l1的方程為x4yC0又P(1，3)在l1

6、上14×3C0解得C11l1的方程為x4y110(2)l2l設(shè)l2的方程為4xyC0又l2過P（1，3）4×13C0解得C7l2的方程為4xy70評注：一般地，利用平行直線系和垂直直線系求直線方程會給計算帶來很大方便例5、求證：不論m為何實數(shù)，直線l：(m1)x(2m1)ym5恒過一定點，并求出此定點坐標(biāo)策略：對于這類題目，只要找出兩條相交的直線，然后解出交點坐標(biāo)即可證法一：（特殊值法）當(dāng)m1時，直線l的方程為y4；當(dāng)m時，直線l的方程為x9；兩直線的交點為（9，4），滿足直線l的方程(m1)x(2m1)ym5不論m為何實數(shù)，直線l：(m1)x(2m1)ym5恒過一定點（9

7、，4）證法二：（直線系法）將方程(m1)x(2m1)ym5整理得m(x2y1)(xy5)0解方程組得不論m為何實數(shù)，定點(9，4)恒滿足方程(m1)x(2m1)ym5即不論m為何實數(shù)，直線l：(m1)x(2m1)ym5恒過一定點（9，4）評注：求某直線過定點的題目，常用的兩種方法特殊值法和直線系法例6、求經(jīng)過兩直線l1：x2y40和l2：xy20的交點P，且與直線l3：3x4y50垂直的直線l的方程策略：可以先解方程組求出交點P，再利用ll3求出斜率，用點斜式求l方程；求出P點后，用垂直直線系求l方程；先由過l1，l2的交點的直線系設(shè)出l方程，然后由l3l求系數(shù)解法一：解方程組得交點P（0，2

8、）k3kl由點斜式得l：y2x即4x3y60解法二：設(shè)所求直線l：4x3yC0由解法一知：P(0，2）代入方程，得C6l：4x3y60解法三：設(shè)所求直線l：(x2y4)(xy2)0整理得(1)x(2)y240ll33(1)4(2)011l的方程為：(x2y4)11(xy2)0即4x3y60評注：解法一是常規(guī)解法，解法二用待定系數(shù)法，解法三應(yīng)用了經(jīng)過兩直線交點的直線系方程，省去了求兩直線交點的解方程組的運算利用直線系解題一、直線系的定義1、 共點直線系方程經(jīng)過兩直線的交點的直線系方程為2、 平行直線系方程與直線3、 垂直直線系方程與直線二、利用直線系解題例題：(一)直接應(yīng)用1、 求過點A(1，-

9、4)且與直線平行直線方程。(課本第45頁例2) ()2、 求過點A(2,1)，且與直線垂直的直線方程。(課本第46頁例4) ()3、 求經(jīng)過兩條直線和的交點，且垂直于直線的直線方程。(課本第54頁第11題第1小題)( )4、 經(jīng)過兩條直線和的交點，且平行于直線的直線方程。(課本第54頁第11題第2小題)( 5、 經(jīng)過直線和的交點，且垂直于第一條直線的直線方程。(課本第54頁第11題第3小題)( )6、 求平行于直線且與它的距離為的直線方程。(課本第87頁第13題) (或 )(二)間接應(yīng)用7、 當(dāng)a為任意實數(shù)時，直線恒過的定點為_。解：直線的方程可以化為，由直線系的定義我們知道：直線過的點是方程

10、組 的解，這樣我們就可以知道直線過點(-2,3)。8、已知圓C：及直線證明：無論m為任何實數(shù)，直線恒與圓C相交。分析：判斷直線與圓的位置關(guān)系通常采用“法”，或“比 較d與r法“，特別是“法”運算量往往很大，當(dāng)發(fā)現(xiàn)直線過定點，且此定點又在圓內(nèi)部時，妙解應(yīng)運而生。 證明：易證直線過定點M(3,2)，且<4，即點M在圓C內(nèi)，點M又在直線上，故不論m為任何實數(shù)，直線與圓C相交。9、a、b滿足什么條件時，使得對于任意實數(shù)m,直線： 與曲線C：總有公共點。分析：本題雖然可以用“法”來解，但不僅運算量大(兩次使用判別式)，而且還容易忽視對二次不等式系數(shù)的討論而造成失解，如果利用直線過定點(0，b)，并

11、使該點在橢圓C上或在其內(nèi)部便可達(dá)到目的。解：易知直線：過點M(0，b)，欲使與橢圓C恒有公共點，須使點在橢圓C上或在其內(nèi)部，于是有即時，對于任意實數(shù)m,直線與橢圓C恒有公共點。對稱問題是高中數(shù)學(xué)的比較重要內(nèi)容，它的一般解題步驟是：1. 在所求曲線上選一點；2. 求出這點關(guān)于中心或軸的對稱點與之間的關(guān)系；3. 利用求出曲線。直線關(guān)于直線的對稱問題是對稱問題中的較難的習(xí)題，但它的解法很多，現(xiàn)以一道典型習(xí)題為例給出幾種常見解法，供大家參考典例分析（二）： 例1 （1）求點關(guān)于直線的對稱點（2）求關(guān)于直線的對稱點（3）一張坐標(biāo)紙，對折后，點A(0，4)與點B（8，0）重疊，若點C(6，8)與D（m，n

12、）重疊，求m+n；例2：試求直線關(guān)于直線對稱的直線的方程。解法1：（動點轉(zhuǎn)移法）在上任取點，設(shè)點P關(guān)于的對稱點為，則又點P在上運動，所以，所以。即。所以直線的方程是。解法2：（到角公式法）解方程組所以直線的交點為A(1,0) 設(shè)所求直線的方程為，即,由題意知，到與到的角相等，則.所以直線的方程是。解法3：（取特殊點法）由解法2知，直線的交點為A(1,0)。在上取點P（2，1），設(shè)點P關(guān)于的對稱點的坐標(biāo)為，則而點A，Q在直線上，由兩點式可求直線的方程是。解法4：（兩點對稱法）對解法3，在上取點P（2，1），設(shè)點P關(guān)于的對稱點的坐標(biāo)為Q，在上取點M（0，1），設(shè)點P關(guān)于的對稱點的坐標(biāo)為而N，Q在直

13、線上，由兩點式可求直線的方程是。解法5：（角平分線法）由解法2知，直線的交點為A(1,0)，設(shè)所求直線的方程為：設(shè)所求直線的方程為,即.由題意知，為的角平分線，在上取點P（0，-3），則點P到的距離相等，由點到直線距離公式，有：時為直線，故。所以直線的方程是解法6（公式法）給出一個重要定理：曲線（或直線 ）關(guān)于直線的對稱曲線（或直線 ）的方程為。    證：設(shè)是曲線上的任意一點，它關(guān)于的對稱點為，則于是。M與M/關(guān)于直線l對稱，,（3）代入（2），得，此即為曲線的方程。 解析：定理知，直線關(guān)于直線的對稱曲線的方程為：所以直線的方程是。練習(xí)： （1）求直線

14、關(guān)于點A（1，2）對稱的直線方程；（2）求直線關(guān)于直線x=3對稱的直線方程；（3）求直線關(guān)于直線對稱的直線方程；例3 （1）已知，在直線上找一點P，使最小，并求最小值； （2 ）已知，在直線上找一點P，使最大，并求最大值； 例4 光線由點A(2，3)射到直線反射，反射光線經(jīng)過點B（1，1）求反射光線所在直線方程。練習(xí)：1、 光線從射出，被x軸反射后經(jīng)過點B（3，2），求入射光線所在直線方程；2、 光線沿著直線射向直線，求反射光線所在直線方程。3、 直線關(guān)于直線的對稱直線方程是，求直線的傾斜角；4、 直線和直線關(guān)于直線對稱，求直線的方程；5、一張坐標(biāo)紙對折后，點A(0，2)與點B（4，0）重疊，若點C(2，3)與D（m，n）重疊，求m+n；6、求直線關(guān)于點A（2，3）對車的直線方程7、與關(guān)于直線對稱，求直線的方程；8（選）、入射光線沿直線射到x軸后反射，這時又沿著直線射到y(tǒng)軸，由y軸再反射沿著直線射出，求直線的方程；9（選）、直線，直線，求直線關(guān)于直線的對稱直線方程。（三）課后作業(yè)： 方程表示的直線必經(jīng)過點 直線關(guān)于點對稱的直線方程是曲線關(guān)于直線對稱的曲線方程是 ，僅有兩個元素，則實數(shù)的范圍是 求經(jīng)過直線和的交點，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程已知的頂點為，的平分線所在直線的方程分別是：與：，求邊所在直線的方程