第六章布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第六章 布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型一、 影響期權(quán)價(jià)值的主要因素由前面的分析知道決定期權(quán)價(jià)值（價(jià)格）的因素是到期的股票市場(chǎng)價(jià)格和股票的執(zhí)行價(jià)格X。但是到期是未知的，它的變化還要受價(jià)格趨勢(shì)和時(shí)間價(jià)值等因素的影響。1)標(biāo)的股票價(jià)格與股票執(zhí)行價(jià)格的影響。標(biāo)的股票市場(chǎng)價(jià)格越高，則買入期權(quán)的價(jià)值越高，賣出期權(quán)的價(jià)值越低；期權(quán)的執(zhí)行價(jià)越高，則買入的期權(quán)價(jià)值越低，賣出期權(quán)的價(jià)值越高。2）標(biāo)的股票價(jià)格變化范圍的影響。在標(biāo)的股票價(jià)格變動(dòng)范圍增大的，雖然正反兩方面的影響都會(huì)增大，但由于期權(quán)持有者只享受正向影響增大的好處，因此，期權(quán)的價(jià)值隨著標(biāo)的股價(jià)變動(dòng)范圍的增大而升高。如下圖： x s股票

2、的價(jià)格由密度函數(shù)變?yōu)?，SX的可能性增大，買入期權(quán)的價(jià)值增大，對(duì)賣出期權(quán)的價(jià)值則相反。3）到期時(shí)間距離的影響。距離愈長(zhǎng)，股價(jià)變動(dòng)的可能性愈大。由于期權(quán)持有者只會(huì)在標(biāo)的股價(jià)變動(dòng)中受益，因此，距離期權(quán)到期的時(shí)間越長(zhǎng)，期權(quán)的價(jià)值就越高。4）利率的影響。利率越高，則到期的現(xiàn)值就越低，使得買入期權(quán)價(jià)值提高，而賣出期權(quán)價(jià)值降低。5）現(xiàn)金股利的影響。股票期權(quán)受到股票分割或發(fā)放股票股利的保護(hù)，期權(quán)數(shù)量也適應(yīng)調(diào)整，而不受影響，但是期權(quán)不受現(xiàn)金股利的保護(hù)，因此當(dāng)股票的價(jià)格因公司發(fā)放現(xiàn)金股利而下降時(shí)，買入期權(quán)的價(jià)值下降，賣出期權(quán)的價(jià)值便上升。二、布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型的假設(shè)條件B-S模型是反映歐式不分紅的買入期權(quán)

3、定價(jià)模型，它的假定條件，除了市場(chǎng)無(wú)摩擦（例如無(wú)稅、無(wú)交易成本、可以無(wú)限制自由借貸等）以外，還有：1 股票價(jià)格是連續(xù)的隨機(jī)變量，所以股票可以無(wú)限分割。2 T時(shí)期內(nèi)各時(shí)段的預(yù)期收益率ri和收益方差i保持不變。3 在任何時(shí)段股票的復(fù)利收益率服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，即在t1-t2時(shí)段內(nèi)有：因?yàn)楣善钡膬r(jià)格可以用隨機(jī)過(guò)程表示，其中S（t）表示第t日股票的價(jià)格，它是一個(gè)隨機(jī)變量. 則第t日股票的收益率（年收益率）為Rt：股票的年收益率（單利）R應(yīng)該是：為了簡(jiǎn)化計(jì)算兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)可得：設(shè)r，r1，r2，r365為和R，R1，R2，R365相對(duì)應(yīng)的連續(xù)復(fù)利。則根據(jù)單復(fù)利之間的關(guān)系In(1+R)=r有：同理，對(duì)任何

4、時(shí)間間隔T都有：由中心極限定理知服從正態(tài)分布。即有：式中，分別為rt的數(shù)學(xué)期望和方差令，則y，而進(jìn)行簡(jiǎn)單的變量替換，可以求出S（T）的數(shù)學(xué)期望為：對(duì)于股票的二叉樹定價(jià)來(lái)說(shuō)，如果從t=0時(shí)刻到t=T，時(shí)刻，所分的階段數(shù)趨于無(wú)限大時(shí)，股票的價(jià)格也趨于對(duì)數(shù)正態(tài)分布。即股票的二叉樹定價(jià)和對(duì)數(shù)正態(tài)分布定價(jià)是一致的。因?yàn)槎鏄涠▋r(jià)時(shí)股票的價(jià)格變化的規(guī)律是：所以 即服從兩點(diǎn)分布且相互獨(dú)立.所以服從二項(xiàng)分布.當(dāng)，二項(xiàng)分布趨近于正態(tài)分布。即在一定的條件下，股票的二叉樹定價(jià)和對(duì)數(shù)正態(tài)分布定價(jià)是一致的。B-S定價(jià)模型是二叉樹定價(jià)模型的極限式。三、布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型的直觀理解作為無(wú)現(xiàn)金股利的歐式買權(quán)定價(jià)模式是

5、：式中C是買權(quán)價(jià)格，S0是期初股票價(jià)格，N（）是累計(jì)正態(tài)分布函數(shù)，為了更容易從經(jīng)濟(jì)意義上理解B-S定價(jià)模型，我們可以從現(xiàn)實(shí)直觀的角度來(lái)作一些解釋：已知 式中為到期T時(shí)買權(quán)的價(jià)格，為到期標(biāo)的股票市場(chǎng)價(jià)格X為期權(quán)協(xié)定的執(zhí)行價(jià)格。則有 設(shè)到期的概率為P，此時(shí)則有 考慮到期初的期權(quán)合理定價(jià)等于的現(xiàn)值而有 (1)式中C:期初期權(quán)合理價(jià)格，r：無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利率，t到期時(shí)間長(zhǎng)度這里關(guān)鍵的問(wèn)題，要找出P和的表達(dá)式。1） 由于1N(d) N(-d) -d d= 這是由于正態(tài)分布的對(duì)稱性其中服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布 服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布（為常數(shù)）服從正態(tài)分布。收益率平均為，或。而且是以年為基礎(chǔ)計(jì)算的，但期權(quán)通常不超一年。T為

6、分?jǐn)?shù)，應(yīng)用代替。即為新正態(tài)分布的期望值。為新分布的標(biāo)準(zhǔn)差。2） 由于其中為對(duì)數(shù)正態(tài)分布密度函數(shù) 其中u為的均值，是的方差 令 其中注意到： 并且，式中將以上計(jì)算結(jié)果代入（1）式，得 這便是有名的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式。舉例：已知股票期初市價(jià)，協(xié)議執(zhí)行價(jià)X=45，距到期日時(shí)間t=3個(gè)月0.25年無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r=10%，=0.16，則有： 查正態(tài)分布表：N()N(0.7520)=0.7740N()N(0.552)=0.7095一般地，期權(quán)交易市場(chǎng)上買入的價(jià)格即由B-S公式定價(jià)，如果實(shí)際市場(chǎng)價(jià)格比計(jì)算的價(jià)值低，說(shuō)明期權(quán)的價(jià)格被低估，存在套利機(jī)會(huì)，可以買入期權(quán)。四、B-S期權(quán)定價(jià)模型微分

7、方程推導(dǎo)的基本思路隨機(jī)方程（某變量以某種不確定的方式隨時(shí)間變化） 馬爾可夫過(guò)程（隨機(jī)過(guò)程變量的未來(lái)預(yù)測(cè)值只與該變量的當(dāng)前值有關(guān)，而與該變量的過(guò)去值無(wú)關(guān)時(shí)，該隨機(jī)過(guò)程稱為馬爾可夫過(guò)程） 基本維納過(guò)程（在內(nèi)變量Z的變化滿足：，其中滿足標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)的一個(gè)隨機(jī)值。且兩個(gè)不同的的值相互獨(dú)立） 一般維納過(guò)程（變量X滿足：）如圖： 一般維納過(guò)程 基本維納過(guò)程 伊騰過(guò)程（S遵循ITO過(guò)程，即有變量G是S、t的函數(shù)，G=F(S，t)，則G也是ITO過(guò)程，并且有： 股票價(jià)格的ITO過(guò)程（股價(jià)S的變動(dòng)可用瞬時(shí)期望漂移率為:，瞬時(shí)方差率為的ITO過(guò)程，即，即其中當(dāng)股價(jià)的方差率恒為0時(shí)，則有，得說(shuō)明當(dāng)方差率為0時(shí)，股價(jià)得單位時(shí)間為的連續(xù)復(fù)利方式增長(zhǎng)。五、關(guān)于對(duì)數(shù)正態(tài)分布我們已經(jīng)知道很多獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和趨于正態(tài)分布。那么許多獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的連乘積便服從于對(duì)數(shù)正態(tài)分布，即 對(duì)數(shù)正態(tài)分布因?yàn)榱顒t這是n個(gè)隨機(jī)變數(shù)之和，根據(jù)中心極限定理，y趨于正態(tài)分布，如圖：設(shè)，每年增長(zhǎng)10%則有對(duì)數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù)100 110 12