法向量求法及應(yīng)用方法

1、平面法向量的求法及其應(yīng)用平面的法向量1、定義：如果a，那么向量a叫做平面的法向量。平面的法向量共有兩大類從方向上分，無數(shù)條。2、平面法向量的求法方法一(內(nèi)積法)：在給定的空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)平面的法向量n(x,y,1)或n(x,1,z)，或n(1,y,z),在平面內(nèi)任找兩個(gè)不共線的向量a,b。由n，得na0且nb0,由此得到關(guān)于x,y的方程組，解此方程組即可得到n。方法二：任何一個(gè)x,y,z的一次次方程的圖形是平面；反之，任何一個(gè)平面的方程是x,y,z的一次方程。AxByCzD0(A,B,C不同時(shí)為0),稱為平面的一般方程。其法向量n(A,B,C)；假設(shè)平面與3個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為P1(a,0,0

2、),P2(0,b,0),P3(0,0,c),如下圖，則xyz平面萬程為：一蘭一1,稱此方程為平面的截距式方程，把它化為一般式即可求出它的法abc向量。方法三(外積法)：設(shè)a,B為空間中兩個(gè)不平行的非零向量，其外積ab為一長度等丁|a|b|sin,3為H,8兩者交角，且0，而與皆垂直的向量。通常我們采取右手定則，也就是右手四指由a的方向轉(zhuǎn)為舌的方向時(shí)，大拇指所指的方向規(guī)定為ab的方向，ab例1、試求(x1,y1,z1),bEMM,則:a1、二階行列式：M已知,a(2,1,0),b1：b；2：ba.adcb；Key:(1)a(1,2,5);(2)b1,2,1),a(1,2,5)例2、如圖1-1,在

3、棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中,圖2-1-1:n,AB圖2-1-2:n,ABnABarccos、2|n|AB|K>C>sinnABarccos|n|AB|2|cosn,AB|(2)、求面面角：設(shè)向量m,n分別是平面的法向量，則二面角l的平面角為:圖2-3求平面AEF的一個(gè)法向量n。key:法向量nAFAE(1,2,2)二、平面法向量的應(yīng)用1、求空間角、求線面角：如圖2-1,設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條斜線，A,則AB與平面所成的角為：mnm,narccos圖2-2；|m|n|m,narcco(圖2-3)|m|n|兩個(gè)平面的法向量方向選取合適，可使法向量夾角就等于

4、二面角的平面角。約定，在圖2-2中，m的方向?qū)ζ矫娑韵蛲?，n的方向?qū)ζ矫娑韵騼?nèi)；在圖2-3中，m的方向?qū)ζ矫娑韵騼?nèi)，n的方向?qū)ζ矫娑韵騼?nèi)。我們只要用兩個(gè)向量的向量積簡稱“外積”，滿足“右手定則”使得兩個(gè)半平面的法向量一個(gè)向內(nèi)一個(gè)向外，則這兩個(gè)半平面的法向量的夾角即為二面角l的平面角。2、求空間距離1、異面直線之間距離方法指導(dǎo)：如圖2-4，作直線a、b的方向向量a、b,求a、b的法向量n，即此異面直線a、b的公垂線的方向向量;在直線a、b上各取一點(diǎn)A、B,作向量AB;求向量AB在n上的射影d,則異面直線a、b間的距離為1|AB?n|甘土d,其中na,n|n|2、點(diǎn)到平面的距離：方法指導(dǎo)：

5、如圖2-5，假設(shè)點(diǎn)B為平面a外一點(diǎn)，點(diǎn)Ab,Aa,Bb為平面a內(nèi)任一點(diǎn)，平面的法向量為平面a的距離公式為d|AB?n|n|3、直線與平面間的距離：方法指導(dǎo)：如圖2-6，直線a與平面之間的距離:ABn:-，其中A,B|n|n是平面的法向量4、平面與平面間的距離：方法指導(dǎo)：如圖2-7，兩平行平面之間的距離:.|AB?n|d，其中A，B|n|。n是平面的法向量。m3、證明1、證明線面垂直：在圖2-8中，m向是平面的法向量,直線a的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量共線2、證明線面平行：在圖2-9中，m向是平面的法向量,的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量垂直m?a3、證明面面垂直：在圖2

6、-10中，m是平面的法向量,的法向量，證明兩平面的法向量垂直m?n0圖2-84、證明面面平行：在圖2-11中，m向是平面的法向量，n是平面的法向量，證明兩平面的法向量共線mn。三、高考真題新解1、2005全國1,18本大題總分值12分已知如圖3-1,四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB/DC,DAB90,PA底面ABCD，且PA=AD=DC=1AB=1,2M是PB的中點(diǎn),I證明：面PADL面PCD;口求AC與PB所成的角；川求面AMC與面BMC所成二面角的大小解：以A點(diǎn)為原點(diǎn)，以分別以AD,AB,AP為x軸，y軸，z軸,如下圖.建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz(I).AP(0,0,1),AD(

7、1,0,0)，設(shè)平面PAD的法向量為mAPAD(0,1,0)又DC(0,1,0),DP(1,0,1)，設(shè)平面PCD的法向量為nDCDP(1,0,1)m?n0,mn,即平面pad平面PCD。(II).AC(1,1,0)，PB(0,2,1),AC,PBAC?PBarccos|AC|PB|10arccos5(III).CM1(1,0,),CA(1,1,0)，設(shè)平在AMC的法向量為1 _11mCMCA(一,-,1).221又CB(1,1,0),設(shè)平面PCD的法向量為nCMCB(,1).2m,narccosm?narccos(2).|m|n|3面AMC與面BMC所成二面角的大小為arccos(3).或a

8、rccos-32、(2006年云南省第一次統(tǒng)測19題)(此題總分值如圖3-2，在長方體ABCDABGD中，已知AAAA=a,*J2a,M是AD的中點(diǎn)。12分圖(I)求證：AD/平面ABC(II)求證：平面AMd平面ABD;(m)求點(diǎn)A到平面AMC勺距離。解：以D點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以DA,DC,DD為x軸,y軸,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz如下圖.(I).BC(J2a,0,0),BA1(0,a,a),設(shè)平面A侶c的法向量為nBCBA1(0,.2a2,2a2)又AD(.2a,0,0),n?AD0,ADn,即AD/平面AiBC.、.22(II).MC(a,0,a),MA1(a,a,0),設(shè)平面AMC的法向重為：MCMA1(a,=a2a),又BD1(<2a,a,a),BA1(0,a,a),設(shè)平面AiBD的法向量為22nBD1BA1(0,2a2,2a2),m?n0,mn,即平面AiMC平面AiBDi.(III).設(shè)點(diǎn)A到平面AiMC的距離為d,mMCMAi(a2,蘭2a2,a2)平面AiMC的法向量，22又MA(技a,0,0),a點(diǎn)到平面AiMC的距離為：d|m?MA|1a.|m|四、用空間向量解決立體幾何的“三步曲”(1)、建立空間直角坐標(biāo)系(利用現(xiàn)有三條兩兩垂直的直線，注意已有的正