統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)復(fù)習(xí)題附參考答案

1、第三章統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)復(fù)習(xí)題及答案1混合晶體是由晶格點(diǎn)陣中隨機(jī)放置 NC個(gè) C 分子和 D 分子組成的。11（1） 證明分子能夠占據(jù)格點(diǎn)的花樣為W( NCN D )!，若 NCN D1 N ，利用斯特林公式證明W2 NN C ! N D !2（2） 若 N CN D2，利用上式計(jì)算得W2 4 =16，但實(shí)際上只能排出 6 種花樣，究竟何者正確？為什么？解：（1）證明：取(N CN D )的全排列，則總共排列的花樣數(shù)為( NCN D )! 種，現(xiàn)NC個(gè)相同的 C 和N個(gè)相同的 D。故花樣數(shù)為W( N CN D )!1CD當(dāng) NNN 時(shí)D取自然對(duì)數(shù)：NC ! N D !2（2）實(shí)際排出 6 種花樣是正確

2、的，因?yàn)镾tirling是一個(gè)近似公式適用于 N 很大時(shí)才誤差較小。而在 N4為 4 時(shí)，用W2 來(lái)計(jì)算就會(huì)產(chǎn)生較大誤差。2（1）設(shè)有三個(gè)穿綠色、兩個(gè)穿灰色和一個(gè)穿藍(lán)色制服得軍人一起列隊(duì)，試問(wèn)有多少種對(duì)型？現(xiàn)設(shè)穿 綠色制服得可有三種肩章并任取其中一種佩帶，穿灰色制服的可有兩種肩章，而穿藍(lán)色的可有兩種肩章，試 列出求算隊(duì)型數(shù)目的公式。（2） 試證明含有 N 個(gè)粒子的定位體系，某種分布-度）t x 的微觀狀態(tài)數(shù)為txN igN!iNi !（gI 為相應(yīng)的簡(jiǎn)并.答：（1）取6 個(gè)不同的全排列，應(yīng)有 6！種花樣，但其中3 種完全相同互換位置不能導(dǎo)致新花樣另兩種完全相同（同樣這 2 種相同物種的全排列為

3、 2！種）故排列花樣數(shù)為：W6!3!2!1!654326032121種，t iN!T! N i !另一種只有一種這 3 種的全排列為 3！種，取6 個(gè)不同的全排列總共有 6！種花樣，而i穿綠色制服 3 個(gè)人有 3 種肩章，任取一種佩帶，相當(dāng)于有簡(jiǎn)并度為 5（ g N ）。就有 33 種花樣。穿灰gi的有兩種肩章相當(dāng)于簡(jiǎn)并度為 2，就有22種而穿藍(lán)色的有 4 種肩章相當(dāng)于簡(jiǎn)并度為N4 就有 41 種，但其中有3 個(gè)穿綠色制服的戴相同肩章，總共有3！種花樣， 2 個(gè)穿灰色的戴相同肩章有2！種6!33 22 413!2!1!60274425920t xN!Ni igNi !N1（2） 在 N 個(gè)不同

4、粒子中取出 N1 個(gè)粒子放在1中，其放法為C N 種。在1 能級(jí)上有 g1 個(gè)不同狀態(tài)，故在上總共有 g N1 C N1 種放法，同理在從（N-N1）中取出 N2 個(gè)粒子放在上的放法為g N2 C N 2種1 1N2 2N N1放法。所以這種分布的微觀狀態(tài)數(shù)：3. 在公園的猴舍中陳列著三個(gè)金絲猴和兩種長(zhǎng)臂猿，金絲猴有紅、綠兩種帽子，仍戴一種，而長(zhǎng)臂猿可在黃、灰和黑中選戴一種，試問(wèn)陳列時(shí)間可出現(xiàn)幾種不同的情況，并列出求算公式。解：設(shè) N1=3，N2=2，而 g1=2，g2=3 則W( N 1g11)!( N 2g21)!(321)!( 231)!24N 1! (g 1種，1)!N 2! ( g

5、21)!3! (21)!2! (31)!因?yàn)槊恳环N動(dòng)物必須戴：三個(gè)金絲猴：（紅、紅、紅）（綠、綠、綠）（紅、紅、綠）（綠、綠、紅）共4 種。兩種長(zhǎng)臂猿：（黑、黑）（灰、灰）（黃、黃）（黑、灰）（黃、灰）（黑、黃）。共 6 種。總共為4624種。4. 已知對(duì)非定位體系(U ,V , N )1N!N!N i NN i i UNigiN i !試證明式（3.24），（3.25）和（3.26）。解：對(duì)定位體系：ti(N!NigiNi !) （第二題的結(jié)果）對(duì)非定位體系：t1iN!g Ni(N!N igi)Ni !NigiNi !摘取最大項(xiàng)原理： tmN!ig N iiNi !（定位體系）對(duì)非定位體系：

6、 tmiNi !ln tln g Niln( Ni ! )Ni ln giNi ln NiNi微分：ln t N iln g iln NiN iln N iNi1ln g il ln NVln gi N i用拉格朗日乘因子法，求得：（書(shū)中 189 頁(yè)）ln tN*iiNgVgV*iNNNige0，即 ln*i0，*e，iiii*iie，Nigi egi eiN，eg i eN ，N*iigi e eNgi eiiikTN gi eN *i，iigi e kT與定位體系的玻茲曼分布公式相同ln tmgNilnigV eln NiNV ln gigi ekTNNi ln Nigi eNiikTgi

7、Ni lnN(NiN) NiNi ln(gi)NiNi lnig i e kTNiNi lnigi e kTNi ln( NeikT )NkTNgi eiNe kTln(g i eikT ) Ngv ekTNi ln NiNi ln e kTNln(gi eikT ) NNvln N!kTln(g i eikT ) Nln N!U(gi elnikT ) NUkTN!kTS非k lnk ln tm(k lngveikT )NUN!TF 非UTSU(kT lngv eikT ) NU(kT lngveikT ) NN!N!5. 試證明玻茲曼分布的微觀狀態(tài)數(shù)公式為 ln tUln( q NekT

8、) 式中qg Nig i exp(ii ) ，U kTNii證：利用定位體系任意分配方式公式： tN!即定位體系）iNi !（玻茲曼統(tǒng)計(jì)是指經(jīng)典統(tǒng)計(jì)認(rèn)為粒子是可區(qū)別的，取自然對(duì)數(shù)： ln tln N!ln g Niln Ni !i對(duì)最概然分布：6. 設(shè)有一圓柱形鐵皮筒，體積為 V0R2 L1.00dm3 鐵皮面積為 S2 R 22 RL ，試用拉格朗日乘因子法當(dāng)鐵皮面積為最小時(shí)，圓柱半徑（ R）和高（ L）之間的關(guān)系？并算出至少要消耗多少面積的鐵皮？不討論（可自己求解）解：L1R 22S2 R222 RL2 R( R2R L1RL1 ) R1極值時(shí)： dSdR4 R20 R24 R 320R3

9、24R( 2 ) 34L2R（圓柱半徑 R 與高之間的關(guān)系）設(shè)： f ( R, L)2 R 22 RL ， g ( R, L )R 2 LF (R, L,)1，f ( R, L)g( R, L)l( F ) RF() RL4 R22 RL2 RL0R 20（1）（2）2 R22 RL( R2L1)F() RLR2 L10（3）由（2）2 RR 20R(2R)0R2（4）（4）代入（1）， 4 R2 L2 R(2)0 ，6 R2 L0L2R由V0R2 LR2 (2 R)2 R 31R3120.5427. 試用配分函數(shù)表示出單原子理想氣體的吉布斯自由能 G 和焓 H。答：理想氣體為非定位體系：對(duì)單

10、元子分子，只有電子核和平動(dòng)配分函數(shù)。NNFkT ln q N!NqkT lntN!kT ln q NenkT ln q N ，GUPVTSFPV ，F(xiàn)P()T NVNkT (ln qt)TV， （N ！為常數(shù)。q e ,q n 與體積無(wú)關(guān)）HUPV ，F(xiàn)VNFUTS ，SFU T( F ) TU()TV NTT 2吉布斯亥姆霍茲公式C p8. CO2 氣體可作為理想氣體，并設(shè)其各個(gè)自由度都服從經(jīng)典的能量均分原理，已知計(jì)算方法判斷 CO2 是否為線性分子。1.15 試用CvCp m解：由Cv m1.15Cv mR Cv m1.15（第一章中討論到理想氣體C p mCv mR ）Cv mR1.15

11、C v.m .0.15C v mR .Cv m113RR0.152設(shè)：若CO2 為線性分子，補(bǔ)：平動(dòng)有3 個(gè)自由度。根據(jù)其總自由度為3n。振動(dòng)自由度應(yīng)為3n3233324 。 由于一個(gè)振動(dòng)的能量中的表達(dá)式中包括 2 個(gè)平方項(xiàng)（83 頁(yè) 小字部分），振動(dòng)的動(dòng)能和振動(dòng)的位能，每個(gè)平方項(xiàng)都提供1 kT2的能量（若為 1mol。則為 1 kT2）若一個(gè)分子有七個(gè)平動(dòng)自由度， r 個(gè) 轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。 S 個(gè)振動(dòng)自由度。 則： 總能量1 (tr22s)kT ，UCv() T1 (tr22 s)k 。若 CO2 為線性分子Cv m1 tr 22(3ntr ) R1 3222(3332) R13 R .2與原來(lái)

12、題中給的條件求出的Cv m 一致。故假設(shè)正確，CO2 是直線型分子。9. 四種分子的有關(guān)參數(shù)如下：分子Mtr/kv/kH2287.55976HBr8112.23682N2282.893353Cl2710.35801問(wèn)在同溫同壓下，那種氣體的摩爾平動(dòng)熵最大？那種氣體的摩爾轉(zhuǎn)動(dòng)熵最大？那種氣體的轉(zhuǎn)動(dòng)基本頻率最??？解：先寫(xiě)出平動(dòng)熵，轉(zhuǎn)動(dòng)熵及振動(dòng)特征溫度的表達(dá)式：tStNkln q N5Nkln (223mkT) 25Nh3V233（沙克爾特魯?shù)鹿剑?qt( 2 mkT ) 2V3h2( 2 mkT) 23V(2 mkT) 2Vh3( h2 ) 23t( 2 mkT ) 25SmRln3LhVm （

13、物質(zhì)量為 1mol. N2L.LkRVVm ）由公式可見(jiàn)，粒子的質(zhì)量 m 越大，平動(dòng)熵則越大，所以 HBr 的摩爾熵最大。NS非k ln q N!rNkT (ln q)V NTNk ln qln qrk ln N!NkT (82 IkTln q)V NTln 822 IkThNk ln qk ln N!NkT () V NT8Nk lnh22Ikk ln N!NkT ()V NTrS 非Nk ln 82IkT2k ln N!NkT (lnh 2ln T)V NNk ln 82 IkT2k ln N! NkhThNk lnTk ln N! NkH r82 IkT(雙原子分子： qr)h 2rS

14、非mk ln q rkk(6.021023 ) ln NNkk ln qrkk ln Lkk(ln qrhln L2)H r k說(shuō)明轉(zhuǎn)動(dòng)特征溫度越小， Sr 非m 越大，所以 Q2 的Sr非m 最大。H rkh所以振動(dòng)特征溫度越小，越小，所以 CO2 的振動(dòng)基本頻率最小。10. 請(qǐng)定性說(shuō)明下列各種氣體，為什么在不同溫度下的 Cv，m 值不等，找出其中的變化規(guī)律。298.158002000He12.4812.4812.48N220.8123.1227.68Cl225.5328.8929.99CO228.8143.1152.02e解：因?yàn)樵诔叵拢ū碇?298.15），不考慮振動(dòng)和電子配分函數(shù)，在

15、較高溫度（表中 800K）下，振動(dòng)配分函數(shù)有貢獻(xiàn)。但電子配分函數(shù)的貢獻(xiàn)為零。在更高溫度下（表中 2000K）。振動(dòng)和電子配分函數(shù)均會(huì)有貢獻(xiàn)，故不同溫度下 Cvm 不同。但表中 He 是單原子分子，并且最外層電子全配對(duì)，在任何溫度下振動(dòng)和電子配分函數(shù)均無(wú)貢獻(xiàn)。故三個(gè)溫度下的Cv，m 值相等。q2 j1 （ j0 ，因?yàn)镠e的電子全配對(duì)。）衛(wèi)生管理制度1總則1.1為了加強(qiáng)公司的環(huán)境衛(wèi)生管理，創(chuàng)造一個(gè)整潔、文明、溫馨的購(gòu)物、辦公環(huán)境，根據(jù)公共場(chǎng)所衛(wèi)生管理?xiàng)l例的要求，特制定本制度。1.2集團(tuán)公司的衛(wèi)生管理部門(mén)設(shè)在企管部，并負(fù)責(zé)將集團(tuán)公司的衛(wèi)生區(qū)域詳細(xì)劃分到各部室，各分公司所轄區(qū)域衛(wèi)生由分公司客服部負(fù)責(zé)

16、劃分，確保無(wú)遺漏。2衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)2.1室內(nèi)衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)2.1.1地面、墻面：無(wú)灰塵、無(wú)紙屑、無(wú)痰跡、無(wú)泡泡糖等粘合物、無(wú)積水，墻角無(wú)灰吊、無(wú)蜘蛛網(wǎng)。2.1.2門(mén)、窗、玻璃、鏡子、柱子、電梯、樓梯、燈具等，做到明亮、無(wú)灰塵、無(wú)污跡、無(wú)粘合物，特別是玻璃，要求兩面明亮。2.1.3柜臺(tái)、貨架：清潔干凈，貨架、柜臺(tái)底層及周圍無(wú)亂堆亂放現(xiàn)象、無(wú)灰塵、無(wú)粘合物，貨架頂部、背部和底部干凈，不存放雜物和私人物品。2.1.4購(gòu)物車（筐）、直接接觸食品的售貨工具（包括刀、叉等） ：做到內(nèi)外潔凈，無(wú)污垢和粘合物等。購(gòu)物車（筐）要求每天營(yíng)業(yè)前簡(jiǎn)單清理，周五全面清理消毒；售貨工具要求每天消毒，并做好記錄。2.1.5商品及包裝：

17、商品及外包裝清潔無(wú)灰塵（外包裝破損的或破舊的不得陳列）。2.1.6收款臺(tái)、服務(wù)臺(tái)、辦公櫥、存包柜：保持清潔、無(wú)灰塵，臺(tái)面和側(cè)面無(wú)灰塵、無(wú)灰吊和蜘蛛網(wǎng)。桌面上不得亂貼、亂畫(huà)、亂堆放物品，用具擺放有序且干凈，除當(dāng)班的購(gòu)物小票收款聯(lián)外，其它單據(jù)不得存放在桌面上。2.1.7垃圾桶：桶內(nèi)外干凈，要求營(yíng)業(yè)時(shí)間隨時(shí)清理，不得溢出，每天下班前徹底清理，不得留有垃圾過(guò)夜。2.1.8窗簾：定期進(jìn)行清理，要求干凈、無(wú)污漬。2.1.9吊飾：屋頂?shù)牡躏椧鬅o(wú)灰塵、無(wú)蜘蛛網(wǎng)，短期內(nèi)不適用的吊飾及時(shí)清理徹底。2.1.10內(nèi)、外倉(cāng)庫(kù)：半年徹底清理一次，無(wú)垃圾、無(wú)積塵、無(wú)蜘蛛網(wǎng)等。2.1.11室內(nèi)其他附屬物及工作用具均以整潔為準(zhǔn)，要求無(wú)灰塵、無(wú)粘合物等污垢。2.2室外衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)2.2.1門(mén)前衛(wèi)生：地面每天班前清理，平時(shí)每一小時(shí)清理一次，每周四營(yíng)業(yè)結(jié)束后有條件的用水沖洗地面（冬季可根據(jù)情況適當(dāng)清理） ，墻面干凈且無(wú)亂貼亂畫(huà)。2.2.2院落衛(wèi)生：院內(nèi)地面衛(wèi)生全天保潔，果皮箱、消防器械、護(hù)欄及配電箱等設(shè)施每周清理干凈。垃圾池周邊衛(wèi)生清理徹底，不得有垃圾溢出。2.2.3綠化區(qū)衛(wèi)生：做到無(wú)雜物、無(wú)紙屑