142正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)

1、1.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析 對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的研究,在高一必修中已經(jīng)研究了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).因此作為高中最后一個(gè)基本初等函數(shù)的性質(zhì)的研究,學(xué)生已經(jīng)有些經(jīng)驗(yàn)了.其中,通過(guò)觀察函數(shù)的圖象,從圖象的特征獲得函數(shù)的性質(zhì)是一個(gè)基本方法,這也是數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用. 由于三角函數(shù)是刻畫周期變化現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型,這也是三角函數(shù)不同于其他類型函數(shù)的最重要的地方,而且對(duì)于周期函數(shù),我們只要認(rèn)識(shí)清楚它在一個(gè)周期區(qū)間上的性質(zhì),那么就完全清楚它在整個(gè)定義域內(nèi)的性質(zhì). 正弦、余弦函數(shù)性質(zhì)的難點(diǎn),在于對(duì)函數(shù)周期性的正確理解與運(yùn)用,以下的奇偶性,無(wú)論是由圖象觀察,還是由誘導(dǎo)公

2、式進(jìn)行證明,都很容易.單調(diào)性只要求由圖象觀察,不要求證明,而正弦、余弦函數(shù)的最大值和最小值可以作為單調(diào)性的一個(gè)推論,只要注意引導(dǎo)學(xué)生利用周期進(jìn)行正確歸納即可.三維目標(biāo)1.通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境,如單擺運(yùn)動(dòng)、波浪、四季變化等,讓學(xué)生感知周期現(xiàn)象;理解周期函數(shù)的概念;能熟練地求出簡(jiǎn)單三角函數(shù)的周期,并能根據(jù)周期函數(shù)的定義進(jìn)行簡(jiǎn)單的拓展運(yùn)用.2.通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),使同學(xué)們對(duì)周期現(xiàn)象有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí),感受生活中處處有數(shù)學(xué),從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心,學(xué)會(huì)運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)事物.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):正弦、余弦、正切函數(shù)的主要性質(zhì)(包括周期性、單調(diào)性、奇偶性、最值或值域);深入研究函數(shù)性質(zhì)的思想方

3、法.教學(xué)難點(diǎn):正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象間的關(guān)系、圖象變換,以及周期函數(shù)概念的理解,最小正周期的意義及簡(jiǎn)單的應(yīng)用.課時(shí)安排2課時(shí)教學(xué)過(guò)程第1課時(shí)導(dǎo)入新課 思路1.人的情緒、體力、智力都有周期性的變化現(xiàn)象,在日常生活和工作中,人們常常有這樣的自我感覺(jué),有的時(shí)候體力充沛,心情愉快,思維敏捷;有的時(shí)候卻疲倦乏力,心灰意冷,反應(yīng)遲鈍;也有的時(shí)候思緒不穩(wěn),喜怒無(wú)常,煩躁不安,糊涂健忘,這些感覺(jué)呈周期性發(fā)生,貫穿人的一生,這就是人體節(jié)律.這種有規(guī)律性的重復(fù),我們稱之為周期性現(xiàn)象.請(qǐng)同學(xué)們舉出生活中存在周期現(xiàn)象的例子,在學(xué)生熱烈的爭(zhēng)論中引入新課. 思路2.取出一個(gè)鐘表,實(shí)際操作,我們發(fā)現(xiàn)鐘表上的時(shí)針、分針和秒針

4、每經(jīng)過(guò)一周就會(huì)重復(fù),這是一種周期現(xiàn)象.我們這節(jié)課要研究的主要內(nèi)容就是周期現(xiàn)象與周期函數(shù).那么我們?cè)鯓訌臄?shù)學(xué)的角度研究周期現(xiàn)象呢?在圖形上讓學(xué)生觀察正弦線“周而復(fù)始”的變化規(guī)律,在代數(shù)式上讓學(xué)生思考誘導(dǎo)公式:sin(x+2k)=sinx又是怎樣反映函數(shù)值的“周而復(fù)始”的變化規(guī)律的.要求學(xué)生用日常語(yǔ)言敘述這個(gè)公式,通過(guò)對(duì)圖象、函數(shù)解析式的特點(diǎn)的描述,使學(xué)生建立在比較牢固的理解周期性的認(rèn)知基礎(chǔ)上,來(lái)理解“周而復(fù)始”變化的代數(shù)刻畫,由此引出周期函數(shù)的概念.推進(jìn)新課新知探究提出問(wèn)題 問(wèn)題正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是周期函數(shù)嗎?如果是,又是怎樣周期性變化的?問(wèn)題閱讀教材并思考:怎樣從代數(shù)的角度定義周期函數(shù)? 活動(dòng)

5、:教師可先引導(dǎo)學(xué)生查閱思考上節(jié)學(xué)過(guò)的正弦函數(shù)圖象,讓學(xué)生觀察正弦線的變化規(guī)律,有什么新的發(fā)現(xiàn)?再讓學(xué)生描述這種規(guī)律是如何體現(xiàn)在正弦函數(shù)的圖象上的,即描述正弦函數(shù)圖象是如何體現(xiàn)“周而復(fù)始”的變化規(guī)律的.通過(guò)研究圖象,學(xué)生很容易看出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是周期函數(shù).怎樣變化呢?從圖1中也能看出是每隔2就重復(fù)一次. 對(duì)問(wèn)題,學(xué)生對(duì)正弦函數(shù)是周期函數(shù)是沒(méi)有疑問(wèn)的,至于怎樣描述,學(xué)生一時(shí)很難回答.教師可引導(dǎo)學(xué)生思考討論,正弦函數(shù)圖象是怎樣重復(fù)出現(xiàn)的?對(duì)于回答對(duì)的學(xué)生給予肯定,鼓勵(lì)繼續(xù)探究.對(duì)于找不到思路的學(xué)生給予提示,指導(dǎo)其正確的探究思路.圖1 問(wèn)題,從圖象上能夠看出,但關(guān)鍵是怎樣對(duì)“周而復(fù)始”的變化規(guī)律作

6、出代數(shù)描述,這對(duì)學(xué)生有一定的難度.在引入正式定義之前,可以引導(dǎo)學(xué)生先從不同角度進(jìn)行描述.例如:對(duì)于函數(shù)f(x)自變量每增加或減少一個(gè)定值(這樣的定值可以有很多個(gè)),函數(shù)值就重復(fù)出現(xiàn),那么這個(gè)函數(shù)就叫做周期函數(shù).教師也可以引導(dǎo)點(diǎn)撥學(xué)生從誘導(dǎo)公式進(jìn)行描述.例如: sin(+2k)=sin,cos(+2k)=cos,kZ. 這表明,正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在定義域內(nèi)自變量每增加(k>0時(shí))或減少(k<0時(shí))一個(gè)定值2k,它的函數(shù)值就重復(fù)出現(xiàn),所以正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù).還可以通過(guò)類比奇函數(shù)、偶函數(shù)、周期函數(shù)的研究方法來(lái)加深理解周期性概念. 如果函數(shù)f(x)對(duì)于其定義域內(nèi)的每一個(gè)值,都有

7、: f(-x)=-f(x),那么f(x)叫做奇函數(shù); f(-x)=f(x),那么f(x)叫做偶函數(shù); f(x+T)=f(x),其中T是非零常數(shù),那么f(x)叫做周期函數(shù). 從上述定義可以看到,函數(shù)的性質(zhì)是對(duì)函數(shù)的一種整體考察結(jié)果,反映了同一類函數(shù)的共同特點(diǎn),它們可以從代數(shù)角度得到統(tǒng)一刻畫.這種共同特點(diǎn)還可以從函數(shù)的圖象上得到反映. 討論結(jié)果:正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是周期函數(shù),每隔2就重復(fù)一次.略.定義:對(duì)于函數(shù)f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí),都有f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù).非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中

8、存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.正弦函數(shù)是周期函數(shù),2k(kZ且k0)都是它的周期,最小正周期是2. 提出問(wèn)題 怎樣正確理解三角函數(shù)是周期函數(shù)的定義?并舉例說(shuō)明. 通過(guò)探求思考怎樣求一些簡(jiǎn)單三角函數(shù)的周期? 活動(dòng):對(duì)問(wèn)題,學(xué)生一時(shí)可能難于理解周期的代數(shù)刻畫.教師在引導(dǎo)學(xué)生閱讀、討論、思考問(wèn)題時(shí)可多舉些具體例子,以使抽象概念具體化.如常數(shù)函數(shù)f(x)=c(c為常數(shù),xR)是周期函數(shù),所有非零實(shí)數(shù)T都是它的周期.同時(shí)應(yīng)特別強(qiáng)調(diào):(1)對(duì)周期函數(shù)與周期定義中的“當(dāng)x取定義域內(nèi)每一個(gè)值時(shí)”這句話,要特別注意“每一個(gè)值”的要求.如果只是對(duì)某些x有f(x+T)=f(x),那

9、么T就不是f(x)的周期.例如,分別取 x1=2k+(kZ),x2=,則由sin(2k+)sin(2k+),sin(+)sin,可知不是正弦函數(shù)的周期.又如sin(30°+120°)=sin30°,但不是對(duì)所有x都有f(x+120°)=f(x),所以120°不是f(x)的周期.(2)從上述定義還可以看到周期函數(shù)的周期不唯一,例如2,4,6,8,都是它的周期,有無(wú)窮多個(gè),即2k(kZ,k0)都是正弦函數(shù)的周期.這一點(diǎn)可以從周期函數(shù)的圖象上得到反映,也可以從代數(shù)上給以證明:設(shè)T是函數(shù)f(x)的周期,那么對(duì)于任意的kZ,k0,kT也是函數(shù)f(x)的周

10、期.(3)對(duì)于周期函數(shù)來(lái)說(shuō),如果所有的周期中存在著一個(gè)最小的正數(shù),就稱它為最小正周期.但周期函數(shù)不一定存在最小正周期,例如,對(duì)于常數(shù)函數(shù)f(x)=c(c為常數(shù),xR),所有非零實(shí)數(shù)T都是它的周期,由于T可以是任意不為零的常數(shù),而正數(shù)集合中沒(méi)有最小值,即最小正數(shù)是不存在的,所以常數(shù)函數(shù)沒(méi)有最小正周期.(4)正弦函數(shù)中,正周期無(wú)窮多,2是最小的一個(gè),在我們學(xué)習(xí)的三角函數(shù)中,如果不加特別說(shuō)明,教科書提到的周期,一般都是指最小正周期. 對(duì)問(wèn)題,教師要指導(dǎo)學(xué)生緊扣定義,可先出一些簡(jiǎn)單的求周期的例子,如:若T是f(x)的周期,那么2T、3T、呢?怎樣求?實(shí)際上,由于T是f(x)的周期,那么2T、3T、也是

11、它的周期.因?yàn)閒(x+2T)=f(x+T+T)=f(x+T)=f(x).這樣學(xué)生就會(huì)明白,數(shù)學(xué)中的周期函數(shù),其實(shí)就是在獨(dú)立變量上加上一個(gè)確定的周期之后數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的函數(shù). 討論結(jié)果:略. 定義法、公式法和圖象法.應(yīng)用示例思路1例1 求下列函數(shù)的周期:(1)y=3cosx,xR;(2)y=sin2x,xR;(3)y=2sin(-),xR. 活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生緊扣定義,一切從定義出發(fā)來(lái)求.(1)因?yàn)?cos(x+2)=3cosx,根據(jù)周期函數(shù)的定義可知,原函數(shù)的周期為2.有的學(xué)生可能會(huì)提出是不是呢?讓學(xué)生自己試一試,加深對(duì)概念的理解.因?yàn)?cos(x+)=-3cosx3cosx,所以不是周期.(2

12、)教師引導(dǎo)學(xué)生觀察2x,可把2x看成一個(gè)新的變量u,那么cosu的最小正周期是2,就是說(shuō),當(dāng)u增加到u+2時(shí),函數(shù)cosu的值重復(fù)出現(xiàn),而u+2=2x+2=2(x+),所以當(dāng)自變量x增加到x+且必須增加到x+時(shí)函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn).因?yàn)閟in2(x+)=sin(2x+2),所以由周期函數(shù)的定義可知,原函數(shù)的周期為.(3)因?yàn)?sin(x+4)-=2sin(-)+2=2sin(-).所以由周期函數(shù)的定義可知,原函數(shù)的周期為4.解:(1)周期為2;(2)周期為;(3)周期為4. 點(diǎn)評(píng):通過(guò)本例我們看到函數(shù)周期的變化僅與自變量的系數(shù)有關(guān),關(guān)鍵是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到,f(x+T)=f(x)中,T是相對(duì)于自變量x而言

13、的,讓學(xué)生總結(jié)歸納一下這些函數(shù)的周期與解析式中哪些量有關(guān). 一般地,函數(shù)y=Asin(x+)(其中A、為常數(shù),A0,>0,xR)的周期為T=.可以按照如下的方法求它的周期:y=Asin(x+2)=Asin(x+)+=Asin(x+).于是有f(x+)=f(x), 所以其周期為.例如,在第(3)小題,y=2sin(x-),xR中,=,所以其周期是4.由上述解法可以看到,思考的基本依據(jù)還是y=sinx的周期為2. 根據(jù)這個(gè)結(jié)論,我們可以由這類函數(shù)的解析式直接寫出函數(shù)的周期.如例3中的第(3)小題:T=4.這是求簡(jiǎn)單三角函數(shù)周期的最基本方法,即公式法.變式訓(xùn)練1.已知f(x)是周期為5的周期函

14、數(shù),且f(1)=2 007,求f(11).解:因?yàn)?是函數(shù)f(x)在R上的周期,所以f(11)=f(6+5)=f(6)=f(1+5)=f(1)=2 007.2.已知奇函數(shù)f(x)是R上的函數(shù),且f(1)=2,f(x+3)=f(x),求f(8).解:由題意知,3是函數(shù)f(x)的周期,且f(-x)=-f(x),所以f(8)=f(2+2×3)=f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)=-2.思路2例1 判斷函數(shù)f(x)=2sin2x+cosx,xR的周期性.如果是周期函數(shù),最小正周期是多少? 活動(dòng):本例的難度較大,教師可引導(dǎo)學(xué)生從定義出發(fā),結(jié)合誘導(dǎo)公式,尋求使f(x+T)=f(x)

15、成立的T的值.學(xué)生可能會(huì)很容易找出4,2,這的確是原函數(shù)的周期,但是不是最小正周期呢?教師引導(dǎo)學(xué)生選其他幾個(gè)值試試.如果學(xué)生很快求出,教師給予表?yè)P(yáng)鼓勵(lì);如果學(xué)生做不出,教師點(diǎn)撥學(xué)生的探究思路,主要讓學(xué)生自己討論解決.解:因?yàn)閒(x+)=2sin2(x+)+cos(x+)=2sin2x+cosx=f(x).所以原函數(shù)是周期函數(shù),最小正周期是. 點(diǎn)評(píng):本題能很容易判斷是周期函數(shù),但要求的是“最小正周期”,那就要多加小心了.雖然將4,2帶入公式后也符合要求,但還必須進(jìn)一步變形,即f(x)中的x以x+代替后看看函數(shù)值變不變.為此需將, 等都代入試一試.實(shí)際上,在f(x)=2sin2x+cosx,xR中

16、,學(xué)生應(yīng)看到平方與絕對(duì)值的作用是一樣的,與負(fù)號(hào)沒(méi)有關(guān)系.因而肯定是原函數(shù)的一個(gè)周期.變式訓(xùn)練1.求函數(shù)y=2sin(-x)的周期.解:因?yàn)閥=2sin(-x)=-2sin(x-),所以周期T=6.2.證明正弦、余弦函數(shù)的最小正周期是2.證明:(反證法)先證正弦函數(shù)的最小正周期是2.由于2是它的一個(gè)周期,所以只需證明任意一個(gè)小于2的正數(shù)都不是它的周期.假設(shè)T是正弦函數(shù)的周期,且0<T<2,那么根據(jù)周期函數(shù)的定義,當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí),都有sin(x+T)=sinx.令x=,代入上式,得sin(+T)=sin=1,但sin(+T)=cosT,于是有cosT=1.根據(jù)余弦函數(shù)的定義

17、,當(dāng)T(0,2)時(shí),cosT<1.這說(shuō)明上述cosT=1是不可能的.于是T必須等于2,即正弦函數(shù)的最小正周期是2.同理可證,余弦函數(shù)的最小正周期也是2.知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)解答:1.成立.但不能說(shuō)12°是正弦函數(shù)的一個(gè)周期,因?yàn)榇说仁讲皇菍?duì)x的一切值都成立.例如sin(20°+120°)sin20°.點(diǎn)評(píng):理解周期函數(shù)概念中“當(dāng)x取定義域內(nèi)每一個(gè)值時(shí)”的“每一個(gè)值”的含義.2.(1); (2); (3)2; (4)6. 點(diǎn)評(píng):利用周期函數(shù)的圖象和定義求周期,體會(huì)周期與自變量x的系數(shù)有關(guān).3.可以先在一個(gè)周期的區(qū)間上研究函數(shù)的其他性質(zhì),再利用函數(shù)的周

18、期性,將所研究的性質(zhì)擴(kuò)展到整個(gè)定義域. 點(diǎn)評(píng):了解如何利用函數(shù)的周期性來(lái)認(rèn)識(shí)周期函數(shù)的其他性質(zhì).可讓學(xué)生課堂討論,然后歸納總結(jié).課堂小結(jié)由學(xué)生回顧本節(jié)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)有哪些?周期函數(shù)的概念,最小正周期的定義,正弦、余弦函數(shù)的周期性,y=Asin(x+)(>0)的周期.并思考總結(jié)本節(jié)都用了哪些數(shù)學(xué)方法?(觀察與歸納,特殊到一般,定義法,數(shù)形結(jié)合,辯證的觀點(diǎn))作業(yè)1.課本習(xí)題 A組3,B組3.2.預(yù)習(xí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性.設(shè)計(jì)感想1.本節(jié)課的設(shè)計(jì)思想是:在學(xué)生的探究活動(dòng)中突破正弦、余弦函數(shù)的周期性這個(gè)教學(xué)難點(diǎn).因此一開(kāi)始要讓學(xué)生從圖形、代數(shù)兩方面深入探究,不要讓開(kāi)始的探究成為一種擺設(shè).如

19、果學(xué)生一開(kāi)始沒(méi)有很好的理解,那么,以后有些題就會(huì)很難做.通過(guò)探究讓學(xué)生找出周期這個(gè)規(guī)律性的東西,并明確知識(shí)依附于問(wèn)題而存在,方法為解決問(wèn)題的需要而產(chǎn)生.將周期性概念的形成過(guò)程自然地貫徹到教學(xué)活動(dòng)中去,由此把學(xué)生的思維推到更高的廣度.2.本節(jié)設(shè)計(jì)的特點(diǎn)是從形到數(shù)、由特殊到一般、由易到難,這符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.讓學(xué)生在探究中積累知識(shí),發(fā)展能力,對(duì)形成科學(xué)的探究未知世界的嚴(yán)謹(jǐn)作風(fēng)有著良好的啟導(dǎo).但由于學(xué)生知識(shí)水平的限制,本節(jié)不能擴(kuò)展太多,建議讓學(xué)有余力的學(xué)生繼續(xù)探討函數(shù)的周期性的規(guī)律及一般三角函數(shù)的周期的求法.3.根據(jù)本節(jié)課的特點(diǎn)可考慮分層推進(jìn)、照顧全體.對(duì)優(yōu)等生,重在引導(dǎo)他們進(jìn)行一題多解,多題合一

20、,變式思考的訓(xùn)練,培養(yǎng)他們求同思維、求異思維能力,以及思維的靈活性、深刻性與創(chuàng)造性,鼓勵(lì)他們獨(dú)立思考,勇于探索,敢于創(chuàng)新,對(duì)正確的要予以肯定,對(duì)暴露出來(lái)的問(wèn)題要及時(shí)引導(dǎo)、剖析糾正,使課堂學(xué)習(xí)成為再發(fā)現(xiàn)再創(chuàng)造的過(guò)程.(設(shè)計(jì)者:鄭吉星)第2課時(shí)導(dǎo)入新課 思路1.(類比導(dǎo)入)我們?cè)谘芯恳粋€(gè)函數(shù)的性質(zhì)時(shí),如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),往往通過(guò)它們的圖象來(lái)研究.先讓學(xué)生畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象,從學(xué)生畫圖象、觀察圖象入手,由此展開(kāi)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)的探究. 思路2.(直接導(dǎo)入)研究函數(shù)就是要討論函數(shù)的一些性質(zhì),y=sinx,y=cosx是函數(shù),我們當(dāng)然也要探討它們的一些性質(zhì).本節(jié)課,我們就

21、來(lái)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)最基本的幾條性質(zhì).請(qǐng)同學(xué)們回想一下,一般來(lái)說(shuō),我們是從哪些方面去研究一個(gè)函數(shù)的性質(zhì)的呢(定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、最值)?然后逐一進(jìn)行探究.推進(jìn)新課新知探究提出問(wèn)題回憶并畫出正弦曲線和余弦曲線,觀察它們的形狀及在坐標(biāo)系中的位置;觀察正弦曲線和余弦曲線,說(shuō)出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域各是什么;觀察正弦曲線和余弦曲線,說(shuō)出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域各是什么;由值域又能得到什么;觀察正弦曲線和余弦曲線,函數(shù)值的變化有什么特點(diǎn)?觀察正弦曲線和余弦曲線,它們都有哪些對(duì)稱?(1)(2)圖2 活動(dòng):先讓學(xué)生充分思考、討論后再回答.對(duì)回答正確的學(xué)生,教師可鼓勵(lì)他們按自己的思路繼續(xù)探究

22、,對(duì)找不到思考方向的學(xué)生,教師可參與到他們中去,并適時(shí)的給予點(diǎn)撥、指導(dǎo).在上一節(jié)中,要求學(xué)生不僅會(huì)畫圖,還要識(shí)圖,這也是學(xué)生必須熟練掌握的基本功.因此,在研究正弦、余弦函數(shù)性質(zhì)時(shí),教師要引導(dǎo)學(xué)生充分挖掘正弦、余弦函數(shù)曲線或單位圓中的三角函數(shù)線,當(dāng)然用多媒體課件來(lái)研究三角函數(shù)性質(zhì)是最理想的,因?yàn)閱挝粓A中的三角函數(shù)線更直觀地表現(xiàn)了三角函數(shù)中的自變量與函數(shù)值之間的關(guān)系,是研究三角函數(shù)性質(zhì)的好工具.用三角函數(shù)線研究三角函數(shù)的性質(zhì),體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法,有利于我們從整體上把握有關(guān)性質(zhì).對(duì)問(wèn)題,學(xué)生不一定畫準(zhǔn)確,教師要求學(xué)生盡量畫準(zhǔn)確,能畫出它們的變化趨勢(shì).對(duì)問(wèn)題,學(xué)生很容易看出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定

23、義域都是實(shí)數(shù)集R或(-,+).對(duì)問(wèn)題,學(xué)生很容易觀察出正弦曲線和余弦曲線上、下都有界,得出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是-1,1.教師要引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)的角度思考并給出證明.正弦線、余弦線的長(zhǎng)度小于或等于單位圓的半徑的長(zhǎng)度,sinx1,cosx1,即-1sinx1,-1cosx1.也就是說(shuō),正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是-1,1.對(duì)于正弦函數(shù)y=sinx(xR),(1)當(dāng)且僅當(dāng)x=+2k,kZ時(shí),取得最大值1.(2)當(dāng)且僅當(dāng)x=-+2k,kZ時(shí),取得最小值-1.對(duì)于余弦函數(shù)y=cosx(xR),(1)當(dāng)且僅當(dāng)x=2k,kZ時(shí),取得最大值1.(2)當(dāng)且僅當(dāng)x=(2k+1),kZ時(shí),取得最小值-1.對(duì)問(wèn)

24、題,教師可引導(dǎo)、點(diǎn)撥學(xué)生先截取一段來(lái)看,選哪一段呢?如圖3,通過(guò)學(xué)生充分討論后確定,選圖象上的-,(如圖4)這段.教師還要強(qiáng)調(diào)為什么選這段,而不選0,2的道理,其他類似.圖3圖4這個(gè)變化情況也可從下表中顯示出來(lái):x-0sinx-1010-1就是說(shuō),函數(shù)y=sinx,x-,.當(dāng)x-,時(shí),曲線逐漸上升,是增函數(shù),sinx的值由-1增大到1;當(dāng)x,時(shí),曲線逐漸下降,是減函數(shù),sinx的值由1減小到-1.類似地,同樣可得y=cosx,x-,的單調(diào)變化情況.教師要適時(shí)點(diǎn)撥、引導(dǎo)學(xué)生先如何恰當(dāng)?shù)剡x取余弦曲線的一段來(lái)研究,如圖5,為什么選-,而不是選0,2.圖5引導(dǎo)學(xué)生列出下表:x-0cosx-1010-1

25、 結(jié)合正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性可知: 正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間-+2k,+2k(kZ)上都是增函數(shù),其值從-1增大到1;在每一個(gè)閉區(qū)間+2k,+2k(kZ)上都是減函數(shù),其值從1減小到-1. 余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間(2k-1),2k(kZ)上都是增函數(shù),其值從-1增加到1;在每一個(gè)閉區(qū)間2k,(2k+1)(kZ)上都是減函數(shù),其值從1減小到-1. 對(duì)問(wèn)題,學(xué)生能直觀地得出:正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱,余弦曲線關(guān)于y軸對(duì)稱.在R上,y=sinx為奇函數(shù),y=cosx為偶函數(shù).教師要恰時(shí)恰點(diǎn)地引導(dǎo),怎樣用學(xué)過(guò)的知識(shí)方法給予證明? 由誘導(dǎo)公式:sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx, y=

26、sinx為奇函數(shù),y=cosx為偶函數(shù). 至此,一部分學(xué)生已經(jīng)看出來(lái)了,在正弦曲線、余弦曲線上還有其他的對(duì)稱點(diǎn)和對(duì)稱軸,如正弦曲線還關(guān)于直線x=對(duì)稱,余弦曲線還關(guān)于點(diǎn)(,0)對(duì)稱,等等,這是由它的周期性而來(lái)的.教師可就此引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探討,為今后的學(xué)習(xí)打下伏筆.討論結(jié)果:略.定義域?yàn)镽.值域?yàn)?1,1,最大值都是1,最小值都是-1.單調(diào)性(略).奇偶性(略). 當(dāng)我們仔細(xì)對(duì)比正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)后,會(huì)發(fā)現(xiàn)它們有很多共同之處.我們不妨把兩個(gè)圖象中的直角坐標(biāo)系都去掉,會(huì)發(fā)現(xiàn)它們其實(shí)都是同樣形狀的曲線,所以它們的定義域相同,都為R,值域也相同,都是-1,1,最大值都是1,最小值都是-1,只不過(guò)由于

27、y軸放置的位置不同,使取得最大(或最小)值的時(shí)刻不同;它們的周期相同,最小正周期都是2;它們的圖象都是軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形,且都是以圖象上函數(shù)值為零所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為對(duì)稱中心,以過(guò)最值點(diǎn)且垂直于x軸的直線為對(duì)稱軸.但是由于y軸的位置不同,對(duì)稱中心及對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)也不同.它們都不具備單調(diào)性,但都有單調(diào)區(qū)間,且都是增、減區(qū)間間隔出現(xiàn),也是由于y軸的位置改變,使增減區(qū)間的位置有所不同,也使奇偶性發(fā)生了改變.應(yīng)用示例思路1例1 數(shù)有最大值、最小值嗎?如果有,請(qǐng)寫出取最大值、最小值時(shí)的自變量x的集合,并說(shuō)出最大值、最小值分別是什么.(1)y=cosx+1,xR;(2)y=-3sin2x,xR.

28、活動(dòng):通過(guò)這道例題直接鞏固所學(xué)的正弦、余弦的性質(zhì).容易知道,這兩個(gè)函數(shù)都有最大值、最小值.課堂上可放手讓學(xué)生自己去探究,教師適時(shí)的指導(dǎo)、點(diǎn)撥、糾錯(cuò),并體會(huì)對(duì)應(yīng)取得最大(小)值的自變量為什么會(huì)有無(wú)窮多個(gè).解:(1)使函數(shù)y=cosx+1,xR取得最大值的x的集合,就是使函數(shù)y=cosx,xR取得最大值的x的集合x(chóng)|x=2k,kZ;使函數(shù)y=cosx+1,xR取得最小值的x的集合,就是使函數(shù)y=cosx,xR取得最小值的x的集合x(chóng)|x=(2k+1),kZ.函數(shù)y=cosx+1,xR的最大值是1+1=2,最小值是-1+1=0.(2)令Z=2x,使函數(shù)y=-3sinZ,ZR取得最大值的Z的集合是Z|Z

29、=-+2k,kZ,由2x=Z=-+2k,得x=-+k.因此使函數(shù)y=-3sin2x,xR取得最大值的x的集合是x|x=-+k,kZ.同理,使函數(shù)y=-3sin2x,xR取得最小值的x的集合是x|x=+k,kZ.函數(shù)y=-3sin2x,xR的最大值是3,最小值是-3. 點(diǎn)評(píng):以前我們求過(guò)最值,本例也是求最值,但對(duì)應(yīng)的自變量x的值卻不唯一,這從正弦函數(shù)的周期性容易得到解釋.求解本例的基本依據(jù)是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大(小)值的性質(zhì),對(duì)于形如y=Asin(x+)+B的函數(shù),一般通過(guò)變量代換(如設(shè)Z=x+化歸為y=AsinZ+B的形式),然后進(jìn)行求解.這種思想對(duì)于利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的其他性質(zhì)解決問(wèn)

30、題時(shí)也適用.例2 函數(shù)的單調(diào)性,比較下列各組數(shù)的大小:(1)sin(-)與sin(-);(2)cos()與cos(). 活動(dòng):學(xué)生很容易回憶起利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行大小比較,充分利用學(xué)生的知識(shí)遷移,有利于學(xué)生能力的快速提高.本例的兩組都是正弦或余弦,只需將角化為同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),然后根據(jù)單調(diào)性比較大小即可.課堂上教師要讓學(xué)生自己獨(dú)立地去操作,教師適時(shí)地點(diǎn)撥、糾錯(cuò),對(duì)思考方法不對(duì)的學(xué)生給予幫助指導(dǎo).解:(1)因?yàn)?lt;<<0,正弦函數(shù)y=sinx在區(qū)間,0上是增函數(shù),所以sin()>sin().(2)cos()=cos=cos,cos()=cos=cos.因?yàn)?/p>

31、0<<<,且函數(shù)y=cosx,x0,是減函數(shù),所以cos>cos,即cos()<cos(). 點(diǎn)評(píng):推進(jìn)本例時(shí)應(yīng)提醒學(xué)生注意,在今后遇到的三角函數(shù)值大小比較時(shí),必須將已知角化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),其次要注意首先大致地判斷一下有沒(méi)有符號(hào)不同的情況,以便快速解題,如本例中,cos>0,cos<0,顯然大小立判.例3 函數(shù)y=sin(x+),x-2,2的單調(diào)遞增區(qū)間. 活動(dòng):可以利用正弦函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求所給函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.教師要引導(dǎo)學(xué)生的思考方向:把x+看成Z,這樣問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求y=sinZ的單調(diào)區(qū)間問(wèn)題,而這就簡(jiǎn)單多了.解:令Z=x+.函數(shù)y=sinZ的單調(diào)

32、遞增區(qū)間是+2k,+2k.由-+2kx+2k,得+4kx+4k,kZ.由x-2,2可知,-2+4k且+4k2,于是k,由于kZ,所以k=0,即x,而,-2,2,因此,函數(shù)y=sin(+),x-2,2的單調(diào)遞增區(qū)間是, . 點(diǎn)評(píng):本例的求解是轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用,即利用正弦函數(shù)的單調(diào)性,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于x的不等式問(wèn)題.然后通過(guò)解不等式得到所求的單調(diào)區(qū)間,要讓學(xué)生熟悉并靈活運(yùn)用這一數(shù)學(xué)思想方法,善于將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化.思路2例1 求下列函數(shù)的定義域:(1)y=;(2)y=. 活動(dòng):學(xué)生思考操作,教師提醒學(xué)生充分利用函數(shù)圖象,根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)點(diǎn)撥,糾正出現(xiàn)的一些錯(cuò)誤或書寫不規(guī)范等.解:

33、(1)由1+sinx0,得sinx-1,即x+2k(kZ).原函數(shù)的定義域?yàn)閤x+2k,kZ.(2)由cosx0,得+2kx+2k(kZ).原函數(shù)的定義域?yàn)?2k,+2k(kZ). 點(diǎn)評(píng):本例實(shí)際上是解三角不等式,可根據(jù)正弦曲線、余弦曲線直接寫出結(jié)果.本例分作兩步,第一步轉(zhuǎn)化,第二步利用三角函數(shù)曲線寫出解集.例2 在下列區(qū)間中,函數(shù)y=sin(x+)的單調(diào)增區(qū)間是( )A., B.0, C.-,0 D., 活動(dòng):函數(shù)y=sin(x+)是一個(gè)復(fù)合函數(shù),即y=sin(x),(x)=x+,欲求y=sin(x+)的單調(diào)增區(qū)間,因(x)=x+在實(shí)數(shù)集上恒遞增,故應(yīng)求使y隨(x)遞增而遞增的區(qū)間.也可從轉(zhuǎn)

34、化與化歸思想的角度考慮,即把x+看成一個(gè)整體,其道理是一樣的.解:(x)=x+在實(shí)數(shù)集上恒遞增,又y=sinx在2k-,2k+(kZ)上是遞增的,故令2k-x+2k+.2k-x2k+.y=sin(x+)的遞增區(qū)間是2k-,2k+.取k=-1、0、1分別得,、,、,對(duì)照選擇肢,可知應(yīng)選B.答案:B 點(diǎn)評(píng):像這類題型,上述解法屬常規(guī)解法,而運(yùn)用y=Asin(x+)的單調(diào)增區(qū)間的一般結(jié)論,由一般到特殊求解,既快又準(zhǔn)確,若本題運(yùn)用對(duì)稱軸方程求單調(diào)區(qū)間,則是一種頗具新意的簡(jiǎn)明而又準(zhǔn)確、可靠的方法.當(dāng)然作為選擇題還可利用特殊值、圖象變換等手段更快地解出.解題規(guī)律:求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般思路是:(1)求定

35、義域;(2)確定復(fù)合過(guò)程,y=f(t),t=(x);(3)根據(jù)函數(shù)f(t)的單調(diào)性確定(x)的單調(diào)性;(4)寫出滿足(x)的單調(diào)性的含有x的式子,并求出x的范圍;(5)得到x的范圍,與其定義域求交集,即是原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.結(jié)論:對(duì)于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,可以直接根據(jù)構(gòu)成函數(shù)的單調(diào)性來(lái)判斷.變式訓(xùn)練1.如果函數(shù)f(x)=sin(x+)(0<<2)的最小正周期是T,且當(dāng)x=2時(shí)取得最大值,那么( )A.T=2,= B.T=1,= C.T=2,= D.T=1,=解:T=2,又當(dāng)x=2時(shí),sin(·2+)=sin(2+)=sin,要使上式取得最大值,可取=.答案:A2.求函數(shù)y=si

36、n(-)的單調(diào)遞減區(qū)間及單調(diào)遞增區(qū)間.解:y=sin(-)=-sin(-).由2k-2k+,可得3kx3k+(kZ),為單調(diào)減區(qū)間;由2k+-2k+,可得3k+x3k+(kZ),為單調(diào)增區(qū)間.所以原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為3k,3k+(kZ);原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為3k+,3k+(kZ).知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)解答:1.(1)(2k,(2k+1),kZ;(2)(2k-1),2k),kZ;(3)(-+2k,+2k),kZ;(4)(+2k,+2k),kZ. 點(diǎn)評(píng):只需根據(jù)正弦曲線、余弦曲線寫出結(jié)果,不要求解三角不等式,要注意結(jié)果的規(guī)范及體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想方法的靈活運(yùn)用.2.(1)不成立.因?yàn)橛嘞液瘮?shù)的最大值是1,而cosx=>1.(2)成立.因?yàn)閟in2x=0.5,即sinx=±,而正弦函數(shù)的值域是-1,1,±-1,1. 點(diǎn)評(píng):比較是學(xué)習(xí)的關(guān)鍵,反例能加深概念的深刻理解.通過(guò)本題準(zhǔn)確理解正弦、余弦函數(shù)的最大值、最小值性質(zhì).3.(1)當(dāng)xx|x=+2k,kZ時(shí),函數(shù)取得最大值2;當(dāng)xx|x=+2k,kZ時(shí),