數(shù)理統(tǒng)計(jì)考研復(fù)試題庫(kù)及答案

1、精品文檔2（ 1）未知函數(shù) u 的導(dǎo)數(shù)最高階為 2， u ,u ,u 均為一次，所以它是二階線性方程。（ 2）為 y 最高階導(dǎo)數(shù)為1，而 y 2 為二次，故它是一階非線性常微分方程。（ 3）果 y 是未知函數(shù)，它是一階線性方程；如果將x 看著未知函數(shù)，它是一階非線性方程。3. 提示：所滿足的方程為y 2 y +y=04 直接代入方程，并計(jì)算Jacobi 行列式。5.方程變形為 dy=2xdx=d(x2 ),故 y= x 2 +C6. 微分方程求解時(shí)，都與一定的積分運(yùn)算相聯(lián)系。因此，把求解一個(gè)微分方程的過(guò)程稱為一個(gè)微分方程。微分方程的解又稱為（一個(gè)）積分。7 把微分方程的通解用初等函數(shù)或通過(guò)它們

2、的積分來(lái)表達(dá)的方法。注意如果通解能歸結(jié)為初等函數(shù)的積分表達(dá)，但這個(gè)積分如果不能用初等函數(shù)表示出來(lái)，我們也認(rèn)為求解了這個(gè)微分方程，因?yàn)檫@個(gè)式子里沒(méi)有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分。8 y f(x,y) 主要特征是 f(x,y) 能分解為兩個(gè)因式的乘積，其中一個(gè)因式僅含有x,另一因式僅含 y，而方程 p(x,y)dx+q(x,y)dy=0 是可分離變量方程的主要特征，就像f(x,y) 一樣， p,q 分別都能分解成兩個(gè)因式和乘積。9（ 1）積分得 x=-cosx+c（ 2）將方程變形為 x 2y 2 dy=(y-1)dx 或 y 2 dx ，當(dāng) xy 0,y1 時(shí)積分得y - 1x2x2 y+lny 1 +

3、 1=c2x(3) 方程變形為dy cos x dx, 當(dāng) y -1,sinx 0 時(shí)積分得1ysin xy=Csinx-1(4) 方程變形為exp(y)dy=exp(2x)dx, 積分得1exp(y) exp(2x) C2(5)當(dāng) yy11 時(shí)，求得通積分 ln=x+cy1222x 21 y 2(6)方程化為 x ydx=(1- y)(1+x)dx 或1x 2 dx=ydy,積分得x arctgx lny +1y 2 =C2.精品文檔20 時(shí)，方程變形得(7) 當(dāng) x(y -1)x21ydy=0xdx+2y1兩邊積分并化簡(jiǎn)得y21Cexp(-x2x2)10.二元函數(shù) f(x,y) 滿足 f(

4、rx,ry)=rm f(x,y),r.>0, 則稱 f(x,y) 為 m 次齊次函數(shù)。 m=0則稱它為 0 次齊次函數(shù)。11如果 f(x,y) 是 0次齊次函數(shù)，則 y f(x,y) 稱為齊次方程。如果 p(x,y) 和 q(x,y) 同為 m 次齊次函數(shù)，則 pdx+qdy=0 為齊次方程。如果 q 0 則 dy p(x, y)f(x,y) ，由 p,q 為 m 次齊次函數(shù)推知f(x,y) 為 0次齊次函數(shù)故dxq(x, y)y f(x,y) 為齊次方程。12 求解齊次方程經(jīng)常用變換y=zx. 用函數(shù)乘積導(dǎo)數(shù)的公式得dy=x dz zdxdxdy =x dz z,將方程化為13 這是齊

5、次方程。令 y=zx,dxdxdz=2z, 并 即 xdzzz3(z21) dzdx積 分 得z+xz2dx1分離變量得z(z21)xdx1z2ln|n|+ln(z2x( z21)用 z=yx 代入得原來(lái)的變量。x2 y2Cy.+2)-ln|z|=ln|C|, 或 Cz注意 y=0 方程的解。14（1）當(dāng) x 0 時(shí)，方程化為 dy =1 2y 令 y=ux, 則原方程化為x du =1+u, 當(dāng) 1+u 0dxxdx時(shí) ,可分離變量得 u+1=cx:; 通解為 y=cx 2 +x（2）作變換 y=ux, 則原方程化為2udu= dx 于是 u 2 =ln|x|+C, 代回原變量， 得通積分：

6、xy 2 x 2 （ ln|x|+C ）15. 這是齊次方程。令y=zx 原方程化為.精品文檔 1u2du= dx 兩邊積分得1 ln|z|=ln|cx|u3x2z2用 z=y 代入得x1 x 2y= c exp(2y2)y=0 也是原方程的解。16.變形為 dy =x+y，令 y=ux 得2u2= dx 積分得 -ln|1-u 2 |=ln|x|-c, 代原變量得dx2 y2x1 ux通積分 x 2- y2=cx17. 方程右邊分子，分母兩條直線交點(diǎn)為（x 0, y 0 ）=(-2,1) 作變換 u=x+2,v=y-1, 原方程化為dv 2v u du 2u v，此為齊次方程， 令 v=uz,經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算得2zduz1Cz21dz=,積分得( z1) 3 u 3u原方程通積分為y=x+c(x+y+1) 3+318 1920 27.精品文檔.精品文檔28 3738 44.精品文檔.精品文檔45 4950 56.精品文檔57 6263 68.精品文檔69