麥克斯韋速率分布律的推導和驗證

1、麥克斯市速度分布律的推導與實驗驗證摘要:本文對麥克斯韋速度分布律的內(nèi)容及其歷史來歷做了簡略概述， 重點是用初等方法推導了麥克斯韋速度分布律，同時簡單地描述了一下它的實驗驗證。關(guān)鍵詞:速度分布函數(shù)，實驗驗證。內(nèi)容1、麥克斯韋速度分布律的內(nèi)容當氣體處丁平衡態(tài)時，氣體分子的速度在 vv+dv 間隔內(nèi)，及分子速度分量在vxvx+dvx,VyVy+dVy,Vz-vdvz間隔內(nèi)的分子數(shù)dN（v）占總分子數(shù) N的比率為：3dN（v）mX2_m（vX常書Z）/2kT=（打edvxdvydvz其中 m 為分子的質(zhì)量，T 為氣體溫度，k 為波爾茲曼常數(shù)，】m（v；+vj+v；）=mv2y2為氣體分子平動能。也丑表

2、示速度欠量的端點在速度體元d內(nèi)的分子數(shù)占總N分子數(shù)的比率，換言之，一個分子取得 vv+dv 間隔內(nèi)速度的幾率。2、分子速度分布函數(shù)3/m、25叱無龍)/2kT()2ey2二kTf（v）的物理意義是：分子速度在 v 附近，單位時間間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。3、速度分量分布函數(shù)1dN(vx)m2mv：/2kT=()2eNdvx2二kTdN(vy),m、；-v2/2kT=()2eyNdvy2二kT1dN(vz)m2-mvz/2kTf(v)=dN(v)Ndqdvydvz=-=()2ezNdvz2二kT3、麥克斯韋速率分布律學習指導參考資料范文范例參考完美Word格式整理版將以Vx，Vy,Vz為軸

3、的笛氏坐標進行坐標變換，變?yōu)榍蜃鴺薞x，Vy，VzT，m2dVxdVydV_,VsinF淚.dV分子速度在 VV+dV,88+de,B中+d 中內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率3竺也二（工滬/山喝驢汕ddVN2二kT對積分，得分子的速度在 VV+dV內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為dN(v)m|4二()2eN2二kT4、分子速率分布函數(shù)/、dN(v)mf(V)=一=4兀(一Ndv2二kT物理意義：分子速率在 V 附近，單位速率間隔內(nèi)的幾率。二.歷史1859 年 4 月,麥克斯韋偶然的讀到克勞修斯關(guān)丁平均自由路程的那篇論文，很受鼓舞，重燃了他原來在土星衛(wèi)環(huán)問題上運用概率理論的信念， 認為可以用所掌握的概率理

4、論對動理論進行更全面的論證。1859 年麥克斯韋寫了氣體動力理論的說明一文。接著他用概率方法找出粒子速度在某一限值內(nèi)的粒子的平均數(shù)，即速率分布律。麥克斯韋的這一推導受到了克勞修斯的批評，也引起了其他物理學家的懷疑。這是因為他在推導中把速度分解為 x,y 和 z 三個分量，并假設他們相互獨立的分布。直到 1866 年，麥克斯韋對氣體分子運動理論做了進一步的研究以后，他寫了氣體的動力理論的長篇論文，討論氣體的輸運過程。其中有一段是關(guān)丁速度分布律的嚴格推導，這一推導不再有“速度三個分量的分布相互獨立”的假設，也得出了上述速度分布律。它不依賴丁任何假設，因而結(jié)論是普遍的。_mv2/2kT2,Vdv2_

5、mv2/2kT2范文范例參考完美Word格式整理版三.麥克斯韋速度分布律的推導設容器內(nèi)有一定量的氣體處丁平衡態(tài)，氣體總分子數(shù)為 N,分子速度在 x,y,范文范例參考完美Word格式整理版z 三個方向上的分量為Vx，Vy,Vz。處丁平衡態(tài)的氣體分子速度分布應該是各向同性的，在速度區(qū)間VxVx+dVx,VyVy+dVy,VzVz+Wz內(nèi)的分子數(shù)dN 顯然與總分子數(shù) N 和速度間隔體元dVxdVydVz成正比即 dN=NF(U2)dVxdVydVz(U2=V2+V；+V2)(1)為速度分布函數(shù)由丁速度分布函數(shù)的各向同性，速度的任一分量的分布丁其它量無關(guān)，故可設F(U2)=f(Vx)+f(Vy)+f(

6、Vz)(3)對上式兩邊取對數(shù)的lnF(U2)=lnf(vx)Inf(vy)Inf(vz)上式分別對Vx，Vy,Vz求偏導以上三式左邊相同，故右邊也相等11df(vx)11df(vy)11df(vz)，=2Vxf(vx)dVx2Vyf(vy)dVy2Vzf(vz)dVz對上式積分得 f(V=Aexf(Vy)=Ae*f(v=Aez將其帶入(3)式有F(U2)=A3eZST(5)考慮到具有無限大速率的分子出現(xiàn)的幾率極小，故舄應為負值這里比例系數(shù)F(U2、dN)=rr-;:NdvxdVvdv(2)先對Vx1dF；U1；:f(vx)ni=i22F(U)dU:Vxf(vx):Vx且世Wx=2V整理后可得d

7、F12=1f(Vx)df(vx)dVx同理有dF1dU2一2vy1f(vy)df(Vy)dVydF121F(U2)dU22Vzf(vz)df(vz)dVz可令范文范例參考完美Word格式整理版3kTm(U2)F(U2)dVxdVydVz=四mJJJ(V2+V2+。)(號)電，(Vx+Vy+Vz)dVxdVydVz有歸一條件有:a22二!F(U)dVxdVydVz=A“exdVxe22-aVy二a2V2dVyezdVz=1由積分公式伍蕓誠=豆可知a上式A3(乎)3=1得A=j丁是F(U2)=(#)3eaE+Vy+VZ)(6)在利用分子平均動能等丁3kT21mU=3kTPPrr2-avX+Vy+v

8、z)!.Vxe2-a2(vX+vy+v：)Vye2-a2(vX+vy+v：)vzedVxdVydVz僅取上積分式中一項川店5)dvxdvqvzxxyzJJJv2e-aVxe-aVyeaVzdvxdvydv=vxeVdvxe次dvye*Vzdvzz-av2由積分公式x2ewxdx=-32a3_g2x2edx=a可得31二22 a5(7)范文范例參考完美Word格式整理版331克3kT3(3f=2amI.2_a2(v：+；戒)Vyedvy2_a2(v：+；)invzeydVz31羊31W2 春代入（6）式有2m:mi的對F(U)=(/r)2e2kT(8)通常說的速率分函數(shù)，f（u）指的是不論速度方

9、向如何，只考慮速度的大小點的分布，在這種情況下，自然應該用球坐標系表示速度區(qū)間J 球坐標空間 r、e 中 dV=r2sinBjtfdr球速度空間 v、BCpd2sin 停停誡dN可得:c 一3(-)e5v2/2kTv2sinududdv002二kT3m2mv2/2kT2=4()2evdv2二kT3dNm2-mv2/2kT2f(u)=4二()2evNdV2二kT在麥克斯韋從理論推導速度分布律后的近半個世紀，由丁當時的技術(shù)條件，主要是高真空技術(shù)和測量技術(shù)的限制，要從實驗上來驗證麥克斯韋速度分布律是非常困難的，直到 1920 年， 英國物理學家斯特恩才做了第一次的嘗試。 雖然實驗技術(shù)曾經(jīng)有許多物理工

10、作者做了進一步的改進，但直到 1955 年才由哥倫比業(yè)大學的密勒和庫士提出了這個定律的高精確的實驗證明。1、實驗裝置簡介代入（7）式有范文范例參考完美Word格式整理版范文范例參考完美Word格式整理版實驗裝置接抽宅系(1)、o 為分子或原子射線源(2)、R 是用鋁合金制成的圓柱體，圓柱體上均勻地刻制了一些螺旋形的細槽，細槽的入口狹縫與出口狹縫之間的火角中=4.8(3) 、D 是根據(jù)電離計原理制成的檢測器，用來接收原子射線，并測定其強度(4)、整個裝置都放在抽成真空的容器內(nèi)2、實驗原理實驗時，圓柱體 R 以一定的角速度。轉(zhuǎn)動，由丁不同的速率的分子通過細槽所需的時間不同，各種速率的分子射入入口狹

11、縫后，只有速率嚴格限定的分子才能通過這些細槽，而不和細槽壁碰撞。分子沿細槽前進所需的時間I工l為t,從而有v=v:只有速率滿足上述關(guān)系的分子才能通過細槽，其它速率的分子將沉積在細槽的內(nèi)壁上。因此旋轉(zhuǎn)主體起到了速率選擇器的作用，改變角速度與，就可以使不同的分子通過。3、實驗過程與結(jié)果改變圓柱體轉(zhuǎn)動的角速度， 依次測定相應分子射線的強度， 就可以確定分子射線的速率分布情況。試驗表明，射線強度確為速率v的函數(shù)，強度大，表明分布在該速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)所占的比率較大，反之亦然。實驗還表明，在相同條件下，各相等速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)比率不同，多次實驗得到同一速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)比率大致相同。這就說明分子速率確實

12、存在一個包定的分布律。1955 年密勒與庫士測定了從加熱爐內(nèi)發(fā)射出來的錠原子速率分布，實驗溫度為 1400K，并由實驗數(shù)據(jù)會出了銘原子速率分布的試驗曲線(見下圖)。范文范例參考完美Word格式整理版由試驗曲線可知：(1)、f(v)值兩頭小，中間大,f(v)有一極大值(2)、 可認為大量原子(或分子)的速率是連續(xù)分布的，當Av取得很小時，則有=f(v)dvNf(v)這一函數(shù)，麥克斯韋首先從理論上找到了密勒與庫士丁 1955 年在實驗上比較精確的證明了麥克斯韋速度分布律?？偨Y(jié)：應用麥克斯韋速率分布律可以求與速度有關(guān)的函數(shù)的各種平均值；可以計算速率在vv+dv內(nèi)的分子數(shù)dN;可以計算速率在有限間隔v1v2內(nèi)的分子數(shù)AN或者白分數(shù)AN/N;也可以推導理想氣體的壓強公式、溫度公式、狀態(tài)方程及幾個實驗定律