線性代數(shù)復(fù)習(xí)題

1、復(fù)習(xí)題、填空題11 .設(shè)A為3階萬(wàn)陣，B為2階萬(wàn)陣，A為A的伴隨矩陣，|A| 二2, |B| 二,4CA*。1 O 2 B，則C =2 設(shè)頭矩陣A=(aij)3*, Aij 為aij的代數(shù)余子式，且 a。=Aj(i ,j=1,2,3) ,a11豐 0 ,則 Al =.3 .設(shè)向量組%,磔2,%線性無(wú)關(guān),向量組僅2 -10t1，m3戊2，%-中3線性相關(guān),則常數(shù)l,m滿足的條件是4 .設(shè)A為4階方陣，且R(A) =2, A*為A的伴隨矩陣，則齊次線性方程組A * x = 0 的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為 .5 .二次型 f (x1, x2, x3) =3x12 +2x2 +tx； +4x1x2

2、+2x1x3 + 2x2x3 正定，貝U t 的取值 范圍是.6 .二次型 f (x1, x2, x3) =x； +x2 2x24x1x2+2x1x3+2x2x3的規(guī)范形為12-1、一 一7 .設(shè) A = 0 3 5 ，則 3A =.：2 4 -L8 .已知向量組%,a2 a3線性無(wú)關(guān)，若a1 +t«2, a2 +a3,a1, + a3也線性無(wú)關(guān)，則t.9.設(shè)B為3階非零矩陣，滿足AB = O ,若R( A) = 2 ,則秩R(B)=.1 0 -210 .已知矩陣 A* = 1 21 ，且 A <0 ,則 A* A=.：3 1 0 1|一10011 .若實(shí)對(duì)稱矩陣A與B= 0

3、-1 2合同，則二次型xT Ax的正慣性指數(shù)為.0221 ,E22=10 0】為數(shù)域F上的|(0 1線性空間F 2.的一組基，向量i=22"2 34 t , BOH AB=O ,則下面結(jié)論正確的是(6 9在這組基下的坐標(biāo)為.3 4一5 4 31 、-*-*113 .設(shè)矩陣A= 0 2 2 , A為A的伴隨矩陣，則(A ) =. ：0 0 1_14 .設(shè)向量組 5 =(1,1,0口2=(1,3,_1內(nèi)3=(5,3,。線性相關(guān)，則 t=.15 .設(shè)B為3階非零矩陣，滿足AB=O,若R(A)=2,則秩RB )=3-1216 .已知矩陣 A= -3 1-2 , WJ An =.6-2 4 J

4、17 .二次型 “、,乂2,乂3 )=2x2 +x； +x； -2ax1x2+2x1X3正定時(shí)，a應(yīng)滿足的條件是18 .設(shè)E1=101,E2 = F21,E31 0 I為數(shù)域F上的所有二階對(duì)稱陣構(gòu)1(00|t_200 32 4成的線性空間的一組基，向量支= 在這組基下的線性表示4 5為.二、選擇題1.設(shè)A為3階方陣，將A的第1列與第2列交換得B ,再把B的第2列加到第3列得C ,則滿足AQ = C的可逆矩陣Q為().0 1 0(A) 1 0 0J 0 1一010(B) 101001.0 1 1(C) 1 0 00 0 1 一0 1 0(D) 1 0 00 1 1 一12.已知A = 2：3(A

5、)若 t=6, M R(B)=1;(B)若 t=6,則 R( B )=2 ；(C)若t=6,則 R(B)=2；(D)若 t#6,貝U R(B) = 1 .3.設(shè)向量組 %產(chǎn)2產(chǎn)3； (n)巴產(chǎn)2產(chǎn)3產(chǎn)4； (m) 口1產(chǎn)2產(chǎn)3產(chǎn)5.如果各向量組).的秩分別為r(d = r(h)=3,R( m) =4則向量組%M2Q3U4+S5的秩為(A) 2；(B) 3;(C) 4;(D) 5.34 .設(shè)”2是非奇異陣A臼q個(gè)特征值，則(3 A2/有一個(gè)特征值為().411(D) 7(A) 4；(B) 1；(C) 1 ；3425 .不能相似對(duì)角化的矩陣是()1 2 1(A) 0 3 0-0 0 0 一1 2

6、1(B) 0 1 0：0 0 311 1 1(C) 2 2 2：3 3 311 2 3(D) 2 4 5：3 5 61一16.設(shè)人=0：00 00 2，則與A合同的矩陣是(2 0).100(A) 020001_1 0 0(B) 0 1 0 0 0 9_100(00-1 000 -1 _1 0 0(D) 0 1 0 0 0 1-一17.與矩陣A = 0010(A)010 10 01 0相似的矩陣是()0 20101101 ;(B)020 ;(C)022 一-0011_000-11 ； (D) 01J.。8.設(shè)A、B為n階可逆矩陣，C|A O 1則C的伴隨矩陣P B，=(9.(A)(C)O *B

7、BO*B A| 1-2 4I已知矩陣A= -2 x -24 21(B)(D)與A:BA* 一 O :B B* . O"5O 1*;A BO* A A1相似，則-'4(A) x = 4, y =5(B) x = 3, y = 5 ; (C) x = 3, y = 4(D) x = 5, y = 4 .10.設(shè)A為3階方陣，%,U2,% 是A的列向量組，則|A=().(A)(B)a +a 12,a +a a +ct3, 1(C) |«1,«1 +«2,«1 +«2 +«3 ；(D)-«1 ,-«2,-

8、«311 .設(shè)A是n階方陣，n維非零列向量a是A的屬于特征值 人的特征向量，P是 n階可逆矩陣，則矩陣PAP-1屬于特征值人的特征向量是()T1(A) Pot ;(B) Pa; (C) Pa; (D) a .12 . n元實(shí)二次型f =xTAx為正定的充分必要條件是()(A) A >0;( B)存在 n 階矩陣 C,使 A=CTC；(C)負(fù)慣性指數(shù)為零；(D) A合同于單位矩陣.13 .設(shè)A是mn矩陣，B是nm矩陣，則下列結(jié)論正確的是 ().(A)當(dāng)m An時(shí)，必有行列式|AB #0;(B)當(dāng)m >n時(shí)，必有行列式 AB=0;(C)當(dāng)nm時(shí)，必有行列式|AB#0;(D)當(dāng)

9、nm時(shí)，必有行列式|AB=0.14 .設(shè)非齊次線性方程組Ax=b所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組為 Ax = 0,則下面結(jié)論 中正確的是().(A)若Ax =0有唯一解，則Ax = b必有唯一解；(B)若Ax =0有唯一解，則Ax = b必?zé)o解；(C)若Ax =0有無(wú)窮多個(gè)解，則Ax = b也有無(wú)窮多個(gè)解；(D)若Ax =b有無(wú)窮多個(gè)解，則Ax = 0也有無(wú)窮多個(gè)解.1-1 115 .已知A有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，兒=2是人=x 4 y的二重特征 ：-3 -3 5.值，則().(A) x =-2, y=2； (B) x = 1, y =-1; (C)x = 2, y =-2 ； (D)x=-1, y

10、= 1 .16 .設(shè)A為n階可逆方陣，九是A的一個(gè)特征值，則A的伴隨矩陣A*有一個(gè)特征值一定是().(A)九An;(B)k A;(C)九 A;(D)九 An.17 .設(shè)A為n階對(duì)稱矩陣，B為n階反稱矩陣，則下列矩陣中為反稱矩陣的是 ().一_ _ 2(A) AB-BA;(B) AB + BA;(C) (AB);(D) BAB.18 .實(shí)二次型f =xTAx為正定的充分必要條件是().(A) A合同于單位矩陣;(B)存在n階矩陣C ,使A= CC ;(C) |A>0；(D)負(fù)慣性指數(shù)為零.三、計(jì)算及證明題1.設(shè) a =(1,0,1)T ,矩陣 A T, n為正整數(shù)，a為非零實(shí)數(shù)，求行列式a

11、E An的值.2.已知 A2 = A,一 12A-B-AB =E，若 A= 0-03 -1 ,求(A-B尸及矩陣B .-23.設(shè)矩陣B =-00-1,已知矩陣A相似于B ,求R( A-2E ) + R(A- E).4.設(shè)向量組 %,。2戶3是向量空間 R3的一組基，求由基11.«1-«2,-«3 到基53+ C(2,a2 +0(3,«1十13的過(guò)渡矩陣.5.設(shè)A是n階正定矩陣，1a 1產(chǎn)2,a n為n維非零列向量,滿足 由 Aa j = 0,(i#j, i, j =1,21，n),試證支2,a1 + xa2a3!a1a2 + xa3sa1a2 a3+Xa

12、1a2a31，計(jì)算AJ ana na n- .an十x 一i6.設(shè)矩陣A"12-17 .已知 A= 36-3 , (1) 求( A); (2)求 A n.2 -428 .求向量組%=(1,2, 1,1)T , a2 =(0, 4,5, 2)T , 口3 =(2,0,t,0)T «4 =(3, -2,t+4, -1)T的秩和一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.9 .設(shè)矩陣A, B為3階矩陣，且滿足2A-1B = B- E ,其中E為3階單位矩陣,1-2 0（1）證明A - 2 E可逆；（2）已知A= 120 ,求矩陣B .：0 0 1一1 0 010 .設(shè)A為3階方陣，P為3階可逆方陣，且 P-

13、1 AP = 0 2 0 ,若：。0 2 一P =但，口24 3） , Q =（口1尸12P3）,求 Q/AQ .11 .設(shè)3階矩陣1 。A |2 1 , B =,3" MJ其中SP, Z,尸2均為3維行向量，且|A =18, B = 2 ,求A-B12 .設(shè)線性方程組x1 3x2 2x3 x4 =1乜十9一”"1,兇 + 2x2 +3x4 =3問(wèn)a為何值時(shí)方程組有解？并在有解時(shí)，求方程組的通解|-1 0 013 .設(shè)矩陣A= 1 0 1滿足AB = A _2B,求矩陣B .2 2 2_14 .對(duì)于n階方陣A,如果存在整數(shù)k使Ak=O,則稱A為幕零矩陣.設(shè)A¥ O

14、 , 試證A不能相似對(duì)角化.15 .設(shè)有兩組基匕=(0,1,1 F42= (1,0,1 9鼻=(1,1,0 F；1=(1,0,0 )T產(chǎn)2 =(1,1,0 F, % =(1,1,1 F,求由基匕占3到，尸2尸3的過(guò)渡矩陣，并求。=十?2+5“3在 基"右，匕下的坐標(biāo).四、2x1 x2 x3 2x4 = 0,1、已知非齊次線性方程組x2+3x3+x4=1, 如果=(1 -1 1 -1是方程x1 + ax2 + cx3 + x4 =0.組的一個(gè)解，試求方程組的通解.2、設(shè)向量組 % =(2,1,5)T , 口2 =(a,2,10)T 口3 = (1,1,4)tP =(1,b,c)T .試

15、問(wèn)：當(dāng)a,b,c滿足什么條件時(shí)， P可有生,a2,。3線性表示，且表示式惟一；P不能由%,%,%線性表示；(3) P可由%,a2,%線性表示，但表示式不惟一？并求出一般的表示.3、設(shè)向量組1 二 1,1,1,3一，二 2 = -1,-3,5,1 ； 3 = 3,2,7, p 2 ,1 4-2,-6,10,p ； = 4,1,14,10 -，(D P為何值時(shí),口 1P2,%產(chǎn)4線性無(wú)關(guān)？并在此時(shí)將向量«用產(chǎn)2p3p4線性表示；(2) P為何值時(shí)，小02«3«4線性相關(guān)？并在此時(shí)求它的秩和一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.五、1、設(shè)二次型 f(Xi,X2,X3)=ax；+2x2 2x2 +2bx1x3, b>0,其中二次型的矩陣 A 的 特征值之和為1,特征值之積為-12.(1)求a,b的值;(2)求一個(gè)正交變換 x = Py把二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形.2、已知實(shí)二次型f