平面向量專題

1、向量專題零向量：長度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行 單位向量：模為1個單位長度的向量 向量為單位向量1平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量平行向量也稱為共線向量向量加法=向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”：，但這時必須“首尾相連”實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：（）；（）當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，方向是任意的兩個向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個實數(shù)，使得=平面向量的基本定理：如果是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)使：，其中不共線的向量

2、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底平面向量的坐標運算：(1) 若，則，(2) 若，則(3) 若=(x,y)，則=(x, y)(4) 若，則(5) 若，則，向量的運算向量的加減法，數(shù)與向量的乘積，向量的數(shù)量（內(nèi)積）及其各運算的坐標表示和性質(zhì) 兩個向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則·=·cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積） 規(guī)定向量的投影：cos=R，稱為向量在方向上的投影投影的絕對值稱為射影數(shù)量積的幾何意義： ·等于的長度與在方向上的投影的乘積向量的模與平方的關(guān)系：乘法公式成立： ；向量的夾角：已知兩個非零向量與，作=, =,則AOB= （）叫做向量與的

3、夾角cos=當且僅當兩個非零向量與同方向時，=00，當且僅當與反方向時=1800，同時與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題補充：線段的定比分點 平面向量常見題型類型（一）：向量的夾角問題1.平面向量，滿足且滿足，則的夾角為 2.已知非零向量滿足，則的夾角為 3.已知平面向量滿足且，則的夾角為 4.設(shè)非零向量、滿足，則 5.已知6.若非零向量滿足則的夾角為 類型（二）：向量共線問題1. 已知平面向量，平面向量若，則實數(shù) 2. 設(shè)向量若向量與向量共線，則 3.已知向量若平行，則實數(shù)的值是（ ）A-2B0C1D25已知=（1，2），=（-3，2）若k+2與2-4共線，求實數(shù)k的值；6已知，是同一平

4、面內(nèi)的兩個向量，其中=（1，2）若，且，求的坐標類型（三）: 向量的垂直問題1已知向量，則實數(shù)的值為 2已知=（1，2），=（-3，2）若k+2與2-4垂直，求實數(shù)k的值3已知求與垂直的單位向量的坐標。4. 已知向量 5. 6. ，類型（四）投影問題1 已知，的夾角，則向量在向量上的投影為 2 在中， 3關(guān)于且，有下列幾種說法： ； ； 在方向上的投影等于在方向上的投影 ；其中正確的個數(shù)是 （ ） （A）4個 （B）3個 （C）2個 （D）1個類型（五）求向量的模的問題1. 已知零向量 2. 已知向量滿足 3. 已知向量， 4已知向量的最大值為 6. 設(shè)向量，滿足及，求的值類型（六）平面向量基

5、本定理的應(yīng)用問題1若=（1，1），=（1，-1），=（-1，-2），則等于 （ ）(A) (B)(C) (D)2.已知3.設(shè)是平面向量的一組基底，則當時，4.下列各組向量中，可以作為基底的是（ ）(A) (B) (C) (D) 5. (A) (B) (C) (D) 類型（七）平面向量與三角函數(shù)結(jié)合題1.已知向量，設(shè)函數(shù) 求函數(shù)的解析式（2）求的最小正周期；（3）若，求的最大值和最小值2. 已知的三個內(nèi)角A、B、C所對的三邊分別是a、b、c，平面向量，平面向量 （I）如果求a的值； （II）若請判斷的形狀.3. 已知向量,函數(shù)(1)求的周期和單調(diào)增區(qū)間；(2)若在中，角所對的邊分別是，求的取值范

6、圍。 向量與三角形內(nèi)心、外心、重心、垂心一、四心的概念介紹（1）重心中線的交點：重心將中線長度分成2：1；（2）垂心高線的交點：高線與對應(yīng)邊垂直；（3）內(nèi)心角平分線的交點（內(nèi)切圓的圓心）：角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等；（4）外心中垂線的交點（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點的距離相等。二、四心與向量的結(jié)合（1）是的重心.證法1：設(shè) 是的重心.證法2：如圖三點共線，且分為2：1是的重心（2）為的垂心.證明：如圖所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.同理，為的垂心（3）設(shè),是三角形的三條邊長，O是ABC的內(nèi)心為的內(nèi)心.證明：分別為方向上的單位向量，平分,

7、)，令（)化簡得（4）為的外心。典型例題：例1：是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足， ，則點的軌跡一定通過的（ ）A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心分析：如圖所示，分別為邊的中點./點的軌跡一定通過的重心，即選.例2：是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足， ，則點的軌跡一定通過的（ B ）A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心分析：分別為方向上的單位向量，平分,點的軌跡一定通過的內(nèi)心，即選.例3：是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足， ，則點的軌跡一定通過的（ ）A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心 分析：如圖所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足.=+=0點的軌跡

8、一定通過的垂心，即選.空間向量  空間直角坐標系的原則：              規(guī)定：一切空間向量的起點都是坐標系原點，于是，空間任意一個向量與它的終點坐標一一對應(yīng)。       一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標。        

9、0;  設(shè)，           則：   空間向量的直角坐標運算：空間兩點間距離：；      空間線段的中點M（x，y，z）的坐標：；1：利用空間向量證明空間位置關(guān)系（同平面向量）2：利用空間向量求線線角、線面角（1）異面直線所成角設(shè)分別為異面直線的方向向量，則（2）線面角設(shè)是直線的方向向量，是平面的法向量，則3：利用空間向量求二面角其計算公式為：設(shè)分別為平面的法向量，則與互補或相等， 操作方法：1空間

10、中各種角包括：異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角。（1）異面直線所成的角的范圍是。轉(zhuǎn)化為共面問題。（2）直線與平面所成的角的范圍是。射影轉(zhuǎn)化法。（3）二面角的范圍一般是指，解題時要注意圖形的位置和題目的要求。作二面角的平面角常有三種方法棱上一點雙垂線法：面上一點三垂線法：空間一點垂面法：斜面面積和射影面積的關(guān)系公式：(為原斜面面積,為射影面積,為斜面與射影所成二面角的平面角)這個公式對于斜面為三角形,任意多邊形都成立.是求二面角的好方法.當作二面角的平面角有困難時,如果能找得斜面面積的射影面積,可直接應(yīng)用公式,求出二面角的大小。2空間的距離點線距，點面距，線線距，線面距，面面距都是

11、對應(yīng)圖形上兩點間的最短距離。abEF3空間向量的應(yīng)用（1）用法向量求異面直線間的距離如右圖所示，a、b是兩異面直線，是a和b 的法向量，點Ea，F(xiàn)b，則異面直線 a與b之間的距離是 ；（2）用法向量求點到平面的距離ABC如右圖所示，已知AB是平面的 一條斜線，為平面的法向量，則 A到平面的距離為；（3）用法向量求直線到平面間的距離首先必須確定直線與平面平行，然后將直線到平面的距離問題轉(zhuǎn)化成直線上一點到平面的距離問題。（4）用法向量求兩平行平面間的距離首先必須確定兩個平面是否平行，這時可以在一個平面上任取一點，將兩平面間的距離問題轉(zhuǎn)化成點到平面的距離問題。（5）用法向量求二面角如圖，有兩個平面與

12、，分別作這兩個平面的法向量與，則平面與所成的角跟法向量與所成的角相等或互補，所以首先必須判斷二面角是銳角還是鈍角。（6）法向量求直線與平面所成的角要求直線a與平面所成的角，先求這個平面的法向量與直線a的夾角的余弦，易知=或者。向量的應(yīng)用1.在四邊形ABCD中，·=0，=，則四邊形ABCD是A.直角梯形B.菱形C.矩形D.正方形解析：由·=0知.由=知BCAD.四邊形ABCD是矩形. 答案：C2. 已知a、b是兩個非零向量，當a+tb（tR）的模取最小值時，（1）求t的值； （2）求證：b（a+tb）.解：（1）設(shè)a與b的夾角為，則 |a+tb|2=（a+tb）2=|a|2+

13、t2|b|2+2a·（tb）=|a|2+t2|b|2+2t|a|b|cos=|b|2（t+cos）2+|a|2sin2，所以當t=cos=時，|a+tb|有最小值.（2）證明：因為b·（a+tb）=b·（a·b）=a·ba·b=0，所以b（atb）.已知=a，=b，a·b=|ab|=2，當AOB面積取最大值時，求a與b的夾角.解：因為|ab|2=4，所以a22a·b+b2=4.所以|a|2+|b|2=4+2a·b=8，SAOB=·sin=|a|b|=，（當且僅當|a|=|b|=2時取等號）所以當

14、|a|=|b|=2時，AOB的面積取最大值，這時，cos=，所以=60°.3.如圖，ABC的BC邊的中點為M，利用向量證明：AB2+AC2=2（AM2+BM2）. 證明：設(shè)=m，=b，=c，則m=，m·m=·=b2+b·c+c2=AB2+AC2+AB·AC·cosBAC=AB2+AC2+AB·AC·=AB2+AC2+（AB2+AC2BC2）. AM2=AB2+AC2BC2.又BC2=4BM2，AB2+AC2=2（AM2+BM2）.4.已知A（4，0），N（1，0），若點P滿足·=6|.（1）求點P的軌跡方

15、程，并說明該軌跡是什么曲線； （2）求|的取值范圍；（3）若M（1，0），求MPN在0，上的取值范圍.解：（1）設(shè)P（x，y），=（x4，y），=（1x，y），=（3，0），·=6|，3（x4）=6，即3x2+4y2=12.=1.P點的軌跡是以（1，0）、（1，0）為焦點，長軸長為4的橢圓.（2）N（1，0）為橢圓的右焦點，x=4為右準線，設(shè)P（x0，y0），P到右準線的距離為d，d=4x0，=e=，|PN|=d=.2x02，1|PN|3. 當|PN|=1時，P（2，0）；當|PN|=3時，P（2，0）.（3）令|PN|=t（1t3），則|PM|=4t，|MN|=2，cosMPN=1+.由1t3，得3t（4t）4， cosMPN1. 0MPN.5.如圖，已知ABC的頂點坐標依次為A（1，0），B（5，8），C（7，4），在邊AB上有一點P，其橫坐標為4，在AC上求一點Q，使線段PQ把ABC分成面積相等的兩部分.解：設(shè)P分的比為1，則4=1=3，即=3，=.又=·=， =，即=2.設(shè)2=，則2=2.xQ=5， yQ=.Q（5，）.6