平面向量專題

1、向量專題零向量：長度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行 單位向量：模為1個單位長度的向量 向量為單位向量1平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量平行向量也稱為共線向量向量加法=向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”：，但這時(shí)必須“首尾相連”實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：（）；（）當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，方向是任意的兩個向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個實(shí)數(shù)，使得=平面向量的基本定理：如果是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)使：，其中不共線的向量

2、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：(1) 若，則，(2) 若，則(3) 若=(x,y)，則=(x, y)(4) 若，則(5) 若，則，向量的運(yùn)算向量的加減法，數(shù)與向量的乘積，向量的數(shù)量（內(nèi)積）及其各運(yùn)算的坐標(biāo)表示和性質(zhì) 兩個向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則·=·cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積） 規(guī)定向量的投影：cos=R，稱為向量在方向上的投影投影的絕對值稱為射影數(shù)量積的幾何意義： ·等于的長度與在方向上的投影的乘積向量的模與平方的關(guān)系：乘法公式成立： ；向量的夾角：已知兩個非零向量與，作=, =,則AOB= （）叫做向量與的

3、夾角cos=當(dāng)且僅當(dāng)兩個非零向量與同方向時(shí)，=00，當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時(shí)=1800，同時(shí)與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題補(bǔ)充：線段的定比分點(diǎn) 平面向量常見題型類型（一）：向量的夾角問題1.平面向量，滿足且滿足，則的夾角為 2.已知非零向量滿足，則的夾角為 3.已知平面向量滿足且，則的夾角為 4.設(shè)非零向量、滿足，則 5.已知6.若非零向量滿足則的夾角為 類型（二）：向量共線問題1. 已知平面向量，平面向量若，則實(shí)數(shù) 2. 設(shè)向量若向量與向量共線，則 3.已知向量若平行，則實(shí)數(shù)的值是（ ）A-2B0C1D25已知=（1，2），=（-3，2）若k+2與2-4共線，求實(shí)數(shù)k的值；6已知，是同一平

4、面內(nèi)的兩個向量，其中=（1，2）若，且，求的坐標(biāo)類型（三）: 向量的垂直問題1已知向量，則實(shí)數(shù)的值為 2已知=（1，2），=（-3，2）若k+2與2-4垂直，求實(shí)數(shù)k的值3已知求與垂直的單位向量的坐標(biāo)。4. 已知向量 5. 6. ，類型（四）投影問題1 已知，的夾角，則向量在向量上的投影為 2 在中， 3關(guān)于且，有下列幾種說法： ； ； 在方向上的投影等于在方向上的投影 ；其中正確的個數(shù)是 （ ） （A）4個 （B）3個 （C）2個 （D）1個類型（五）求向量的模的問題1. 已知零向量 2. 已知向量滿足 3. 已知向量， 4已知向量的最大值為 6. 設(shè)向量，滿足及，求的值類型（六）平面向量基

5、本定理的應(yīng)用問題1若=（1，1），=（1，-1），=（-1，-2），則等于 （ ）(A) (B)(C) (D)2.已知3.設(shè)是平面向量的一組基底，則當(dāng)時(shí)，4.下列各組向量中，可以作為基底的是（ ）(A) (B) (C) (D) 5. (A) (B) (C) (D) 類型（七）平面向量與三角函數(shù)結(jié)合題1.已知向量，設(shè)函數(shù) 求函數(shù)的解析式（2）求的最小正周期；（3）若，求的最大值和最小值2. 已知的三個內(nèi)角A、B、C所對的三邊分別是a、b、c，平面向量，平面向量 （I）如果求a的值； （II）若請判斷的形狀.3. 已知向量,函數(shù)(1)求的周期和單調(diào)增區(qū)間；(2)若在中，角所對的邊分別是，求的取值范

6、圍。 向量與三角形內(nèi)心、外心、重心、垂心一、四心的概念介紹（1）重心中線的交點(diǎn)：重心將中線長度分成2：1；（2）垂心高線的交點(diǎn)：高線與對應(yīng)邊垂直；（3）內(nèi)心角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心）：角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等；（4）外心中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。二、四心與向量的結(jié)合（1）是的重心.證法1：設(shè) 是的重心.證法2：如圖三點(diǎn)共線，且分為2：1是的重心（2）為的垂心.證明：如圖所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.同理，為的垂心（3）設(shè),是三角形的三條邊長，O是ABC的內(nèi)心為的內(nèi)心.證明：分別為方向上的單位向量，平分,

7、)，令（)化簡得（4）為的外心。典型例題：例1：是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)滿足， ，則點(diǎn)的軌跡一定通過的（ ）A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心分析：如圖所示，分別為邊的中點(diǎn)./點(diǎn)的軌跡一定通過的重心，即選.例2：是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)滿足， ，則點(diǎn)的軌跡一定通過的（ B ）A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心分析：分別為方向上的單位向量，平分,點(diǎn)的軌跡一定通過的內(nèi)心，即選.例3：是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)滿足， ，則點(diǎn)的軌跡一定通過的（ ）A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心 分析：如圖所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足.=+=0點(diǎn)的軌跡

8、一定通過的垂心，即選.空間向量  空間直角坐標(biāo)系的原則：              規(guī)定：一切空間向量的起點(diǎn)都是坐標(biāo)系原點(diǎn)，于是，空間任意一個向量與它的終點(diǎn)坐標(biāo)一一對應(yīng)。       一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。        

9、0;  設(shè)，           則：   空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：空間兩點(diǎn)間距離：；      空間線段的中點(diǎn)M（x，y，z）的坐標(biāo)：；1：利用空間向量證明空間位置關(guān)系（同平面向量）2：利用空間向量求線線角、線面角（1）異面直線所成角設(shè)分別為異面直線的方向向量，則（2）線面角設(shè)是直線的方向向量，是平面的法向量，則3：利用空間向量求二面角其計(jì)算公式為：設(shè)分別為平面的法向量，則與互補(bǔ)或相等， 操作方法：1空間

10、中各種角包括：異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角。（1）異面直線所成的角的范圍是。轉(zhuǎn)化為共面問題。（2）直線與平面所成的角的范圍是。射影轉(zhuǎn)化法。（3）二面角的范圍一般是指，解題時(shí)要注意圖形的位置和題目的要求。作二面角的平面角常有三種方法棱上一點(diǎn)雙垂線法：面上一點(diǎn)三垂線法：空間一點(diǎn)垂面法：斜面面積和射影面積的關(guān)系公式：(為原斜面面積,為射影面積,為斜面與射影所成二面角的平面角)這個公式對于斜面為三角形,任意多邊形都成立.是求二面角的好方法.當(dāng)作二面角的平面角有困難時(shí),如果能找得斜面面積的射影面積,可直接應(yīng)用公式,求出二面角的大小。2空間的距離點(diǎn)線距，點(diǎn)面距，線線距，線面距，面面距都是

11、對應(yīng)圖形上兩點(diǎn)間的最短距離。abEF3空間向量的應(yīng)用（1）用法向量求異面直線間的距離如右圖所示，a、b是兩異面直線，是a和b 的法向量，點(diǎn)Ea，F(xiàn)b，則異面直線 a與b之間的距離是 ；（2）用法向量求點(diǎn)到平面的距離ABC如右圖所示，已知AB是平面的 一條斜線，為平面的法向量，則 A到平面的距離為；（3）用法向量求直線到平面間的距離首先必須確定直線與平面平行，然后將直線到平面的距離問題轉(zhuǎn)化成直線上一點(diǎn)到平面的距離問題。（4）用法向量求兩平行平面間的距離首先必須確定兩個平面是否平行，這時(shí)可以在一個平面上任取一點(diǎn)，將兩平面間的距離問題轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離問題。（5）用法向量求二面角如圖，有兩個平面與

12、，分別作這兩個平面的法向量與，則平面與所成的角跟法向量與所成的角相等或互補(bǔ)，所以首先必須判斷二面角是銳角還是鈍角。（6）法向量求直線與平面所成的角要求直線a與平面所成的角，先求這個平面的法向量與直線a的夾角的余弦，易知=或者。向量的應(yīng)用1.在四邊形ABCD中，·=0，=，則四邊形ABCD是A.直角梯形B.菱形C.矩形D.正方形解析：由·=0知.由=知BCAD.四邊形ABCD是矩形. 答案：C2. 已知a、b是兩個非零向量，當(dāng)a+tb（tR）的模取最小值時(shí)，（1）求t的值； （2）求證：b（a+tb）.解：（1）設(shè)a與b的夾角為，則 |a+tb|2=（a+tb）2=|a|2+

13、t2|b|2+2a·（tb）=|a|2+t2|b|2+2t|a|b|cos=|b|2（t+cos）2+|a|2sin2，所以當(dāng)t=cos=時(shí)，|a+tb|有最小值.（2）證明：因?yàn)閎·（a+tb）=b·（a·b）=a·ba·b=0，所以b（atb）.已知=a，=b，a·b=|ab|=2，當(dāng)AOB面積取最大值時(shí)，求a與b的夾角.解：因?yàn)閨ab|2=4，所以a22a·b+b2=4.所以|a|2+|b|2=4+2a·b=8，SAOB=·sin=|a|b|=，（當(dāng)且僅當(dāng)|a|=|b|=2時(shí)取等號）所以當(dāng)

14、|a|=|b|=2時(shí)，AOB的面積取最大值，這時(shí)，cos=，所以=60°.3.如圖，ABC的BC邊的中點(diǎn)為M，利用向量證明：AB2+AC2=2（AM2+BM2）. 證明：設(shè)=m，=b，=c，則m=，m·m=·=b2+b·c+c2=AB2+AC2+AB·AC·cosBAC=AB2+AC2+AB·AC·=AB2+AC2+（AB2+AC2BC2）. AM2=AB2+AC2BC2.又BC2=4BM2，AB2+AC2=2（AM2+BM2）.4.已知A（4，0），N（1，0），若點(diǎn)P滿足·=6|.（1）求點(diǎn)P的軌跡方

15、程，并說明該軌跡是什么曲線； （2）求|的取值范圍；（3）若M（1，0），求MPN在0，上的取值范圍.解：（1）設(shè)P（x，y），=（x4，y），=（1x，y），=（3，0），·=6|，3（x4）=6，即3x2+4y2=12.=1.P點(diǎn)的軌跡是以（1，0）、（1，0）為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓.（2）N（1，0）為橢圓的右焦點(diǎn)，x=4為右準(zhǔn)線，設(shè)P（x0，y0），P到右準(zhǔn)線的距離為d，d=4x0，=e=，|PN|=d=.2x02，1|PN|3. 當(dāng)|PN|=1時(shí)，P（2，0）；當(dāng)|PN|=3時(shí)，P（2，0）.（3）令|PN|=t（1t3），則|PM|=4t，|MN|=2，cosMPN=1+.由1t3，得3t（4t）4， cosMPN1. 0MPN.5.如圖，已知ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)依次為A（1，0），B（5，8），C（7，4），在邊AB上有一點(diǎn)P，其橫坐標(biāo)為4，在AC上求一點(diǎn)Q，使線段PQ把ABC分成面積相等的兩部分.解：設(shè)P分的比為1，則4=1=3，即=3，=.又=·=， =，即=2.設(shè)2=，則2=2.xQ=5， yQ=.Q（5，）.6